POLYNOMIALS

బహుపది అనేది స్థిరాంకాలు, చరరాశులు మరియు ఘాతాంకాలతో కూడిన ఒక బీజగణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం ద్వారా కలుపబడుతుంది. అయితే, భాగహారం ద్వారా కాదు. ఘాతాంకాలు కేవలం 0, 1, 2, 3... వంటి పూర్ణాంకాలు మాత్రమే అయి ఉండాలి. బహుపదికి అనంతమైన పదాలు ఉండకూడదు.

• బహుపది యొక్క లక్షణాలు:
• చరరాశి యొక్క ఘాతాంకాలు ఎల్లప్పుడూ ధన పూర్ణాంకాలు (పూర్ణాంకాలు) అయి ఉండాలి.
• చరరాశి హారంలో ఉండకూడదు.
• చరరాశి వర్గమూలం లేదా ఇతర మూలాల లోపల ఉండకూడదు.
• పదాల సంఖ్య పరిమితం అయి ఉండాలి.

• బహుపదులకు ఉదాహరణలు:
• \(y^3 - 5x^2 + 3xy - 5\)
• \(x^4 - 3x^3 - 6x^2 - 5x - 1\)
• \(x + \frac{5}{3}\)

• బహుపదులు కాని వాటికి ఉదాహరణలు:
• \(x + \frac{3}{x^2}\) (చరరాశి హారంలో ఉంది)
• \(\sqrt{x} + 2\) (చరరాశి ఘాతాంకం \(\frac{1}{2}\) పూర్ణాంకం కాదు)
• \(\sqrt{x+2}\) (చరరాశి వర్గమూలంలో ఉంది)

ఒక బహుపదిలో చరరాశి యొక్క అత్యధిక ఘాతాంకం ఆ బహుపది యొక్క డిగ్రీ.

• డిగ్రీ ఆధారంగా బహుపదుల వర్గీకరణ:

1. స్థిర బహుపది (Constant polynomial): డిగ్రీ 0. ఉదాహరణలు: \(1, \frac{2}{5}, -3\)
2. రేఖీయ బహుపది (Linear polynomial): డిగ్రీ 1. ఉదాహరణలు: \(2x-3, y+2, u+1\)
3. వర్గ బహుపది (Quadratic polynomial): డిగ్రీ 2. ఉదాహరణలు: \(x^2, 2x^2-3, 5x^2+2\)
4. ఘన బహుపది (Cubic polynomial): డిగ్రీ 3. ఉదాహరణలు: \(x^3, 2x^3-3, x^3+x^2\)
5. ద్వివర్గ బహుపది (Bi-quadratic polynomial): డిగ్రీ 4. ఉదాహరణలు: \(x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 8x + 5\)

• పదాల సంఖ్య ఆధారంగా బహుపదుల వర్గీకరణ:

1. ఏకపది (Monomial): ఒకే పదం ఉంటుంది. ఉదాహరణలు: \(3x^2, 7y\)
2. ద్విపది (Binomial): రెండు పదాలు ఉంటాయి. ఉదాహరణలు: \(5x-2, x^2-3\)
3. త్రిపది (Trinomial): మూడు పదాలు ఉంటాయి. ఉదాహరణలు: \(x^2-2x+5\)

• బహుపదుల సాధారణ రూపాలు:
• రేఖీయ బహుపది: \(ax + b\), ఇక్కడ \(a \neq 0\)
• వర్గ బహుపది: \(ax^2 + bx + c\), ఇక్కడ \(a \neq 0\)
• ఘన బహుపది: \(ax^3 + bx^2 + cx + d\), ఇక్కడ \(a \neq 0\)

ఒక బహుపది \(p(x)\)లో \(x\) స్థానంలో ఒక వాస్తవ సంఖ్య \(a\)ను ప్రతిక్షేపించినప్పుడు వచ్చే విలువను \(x=a\) వద్ద బహుపది యొక్క విలువ అంటారు. దీనిని \(p(a)\)తో సూచిస్తారు.

• ఉదాహరణ: \(p(x) = 5x^2 - 4x + 2\) అనే బహుపదిని తీసుకుందాం.
• \(x=2\) వద్ద బహుపది యొక్క విలువ:

\(p(2) = 5(2)^2 - 4(2) + 2\) \(p(2) = 5(4) - 8 + 2\) \(p(2) = 20 - 8 + 2\) \(p(2) = 14\)

• కాబట్టి, \(x=2\) వద్ద బహుపది యొక్క విలువ 14.

• బహుపది యొక్క శూన్యం (Zero of a polynomial):
• ఒక వాస్తవ సంఖ్య \(k\)ను బహుపది \(p(x)\) యొక్క శూన్యం అంటారు, ఒకవేళ \(p(k) = 0\) అయితే.
• రేఖాచిత్రంగా, బహుపది \(y = p(x)\) యొక్క గ్రాఫ్ \(x\)-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల \(x\)-నిరూపకాలు ఆ బహుపది యొక్క శూన్యాలు.

• శూన్యాల సంఖ్య:
• ఒక బహుపది యొక్క డిగ్రీ ఎంత ఉంటుందో, దానికి గరిష్టంగా అన్ని శూన్యాలు ఉంటాయి.
• రేఖీయ బహుపది (డిగ్రీ 1)కి ఒక శూన్యం ఉంటుంది. ఉదాహరణ: \(p(x) = ax+b\), శూన్యం \(x = -\frac{b}{a}\).
• వర్గ బహుపది (డిగ్రీ 2)కి గరిష్టంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.
• ఘన బహుపది (డిగ్రీ 3)కి గరిష్టంగా మూడు శూన్యాలు ఉంటాయి.

• రేఖాచిత్ర ప్రాతినిధ్యం:
• \(y = p(x)\) గ్రాఫ్ \(x\)-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువుల సంఖ్య, ఆ బహుపది యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది.
• రేఖీయ బహుపది: గ్రాఫ్ ఒక సరళ రేఖ, ఇది \(x\)-అక్షాన్ని ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది.
• వర్గ బహుపది: గ్రాఫ్ ఒక పరావలయం (parabola), ఇది \(x\)-అక్షాన్ని గరిష్టంగా రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించవచ్చు (రెండు విభిన్న శూన్యాలు), లేదా ఒక బిందువు వద్ద తాకవచ్చు (రెండు సమాన శూన్యాలు), లేదా ఖండించకపోవచ్చు (వాస్తవ శూన్యాలు లేవు).
• ఘన బహుపది: గ్రాఫ్ \(x\)-అక్షాన్ని గరిష్టంగా మూడు బిందువుల వద్ద ఖండించవచ్చు.

బహుపది యొక్క శూన్యాలకు మరియు దాని గుణకాలకు మధ్య నిర్దిష్ట సంబంధాలు ఉన్నాయి. ఈ సంబంధాలు బహుపదుల సమస్యలను పరిష్కరించడంలో చాలా ఉపయోగపడతాయి.

• రేఖీయ బహుపదికి (Linear Polynomial):
• సాధారణ రూపం: \(p(x) = ax + b\), ఇక్కడ \(a \neq 0\).
• శూన్యం: \(\alpha = -\frac{b}{a}\)
• సంబంధం: శూన్యం \(= -\frac{\text{స్థిర పదం}}{\text{x గుణకం}}\) \(= -\frac{b}{a}\)

• వర్గ బహుపదికి (Quadratic Polynomial):
• సాధారణ రూపం: \(p(x) = ax^2 + bx + c\), ఇక్కడ \(a \neq 0\).
• శూన్యాలు: \(\alpha\) మరియు \(\beta\).
• సంబంధాలు:

1. శూన్యాల మొత్తం: \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) \(= -\frac{\text{x గుణకం}}{\text{x}^2 \text{ గుణకం}}\)
2. శూన్యాల లబ్ధం: \(\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}\) \(= \frac{\text{స్థిర పదం}}{\text{x}^2 \text{ గుణకం}}\)

• ఘన బహుపదికి (Cubic Polynomial):
• సాధారణ రూపం: \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), ఇక్కడ \(a \neq 0\).
• శూన్యాలు: \(\alpha, \beta\) మరియు \(\gamma\).
• సంబంధాలు:

1. శూన్యాల మొత్తం: \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\) \(= -\frac{\text{x}^2 \text{ గుణకం}}{\text{x}^3 \text{ గుణకం}}\)
2. రెండు శూన్యాల లబ్ధాల మొత్తం: \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\) \(= \frac{\text{x గుణకం}}{\text{x}^3 \text{ గుణకం}}\)
3. శూన్యాల లబ్ధం: \(\alpha \cdot \beta \cdot \gamma = -\frac{d}{a}\) \(= -\frac{\text{స్థిర పదం}}{\text{x}^3 \text{ గుణకం}}\)

• శూన్యాలు ఇచ్చినప్పుడు బహుపదిని నిర్మించడం:
• వర్గ బహుపది: \(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\)
• లేదా, \(k[x^2 - (\text{శూన్యాల మొత్తం})x + (\text{శూన్యాల లబ్ధం})]\), ఇక్కడ \(k\) ఏదైనా స్థిరాంకం.
• ఘన బహుపది: \(x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\)
• లేదా, \(k[x^3 - (\text{శూన్యాల మొత్తం})x^2 + (\text{రెండు శూన్యాల లబ్ధాల మొత్తం})x - (\text{శూన్యాల లబ్ధం})]\), ఇక్కడ \(k\) ఏదైనా స్థిరాంకం.

సాధారణ సంఖ్యల విభజన అల్గోరిథం వలెనే, బహుపదులకు కూడా విభజన అల్గోరిథం ఉంది. ఇది ఒక బహుపదిని మరొక బహుపదితో భాగించినప్పుడు భాగఫలం మరియు శేషాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

• విభజన అల్గోరిథం ప్రకటన:
• ఏవైనా రెండు బహుపదులు \(p(x)\) మరియు \(g(x)\) (ఇక్కడ \(g(x) \neq 0\)) ఇచ్చినప్పుడు, \(p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)\) అయ్యే విధంగా బహుపదులు \(q(x)\) (భాగఫలం) మరియు \(r(x)\) (శేషం) ఉంటాయి.
• ఇక్కడ, \(r(x) = 0\) లేదా \(\text{deg } r(x) < \text{deg } g(x)\).

• విభజన ప్రక్రియ (దీర్ఘ విభజన):

1. \(p(x)\) మరియు \(g(x)\) లను వాటి పదాలను అవరోహణ ఘాతాంకాల క్రమంలో అమర్చండి.
2. \(p(x)\) యొక్క మొదటి పదాన్ని \(g(x)\) యొక్క మొదటి పదంతో భాగించి, భాగఫలం యొక్క మొదటి పదాన్ని కనుగొనండి.
3. ఈ భాగఫల పదంతో \(g(x)\) మొత్తాన్ని గుణించి, \(p(x)\) నుండి తీసివేయండి.
4. మిగిలిన బహుపదిని కొత్త \(p(x)\)గా పరిగణించి, \(\text{deg } r(x) < \text{deg } g(x)\) అయ్యే వరకు ప్రక్రియను కొనసాగించండి.

• ఉపయోగాలు:
• ఒక బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొనడానికి (ఒకటి లేదా రెండు శూన్యాలు తెలిసినప్పుడు).
• బహుపది యొక్క కారణాంకాలను కనుగొనడానికి.
• తెలియని గుణకాలను కనుగొనడానికి.

• ముఖ్య గమనిక: ఒకవేళ \(r(x) = 0\) అయితే, \(g(x)\) అనేది \(p(x)\) యొక్క ఒక కారణాంకం అవుతుంది మరియు \(p(x)\) యొక్క శూన్యాలు \(g(x)\) మరియు \(q(x)\) ల శూన్యాల నుండి కనుగొనబడతాయి.