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अवर्गीकृत डेटा का माध्य, जिसे अंकगणितीय माध्य भी कहा जाता है, सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

• परिभाषा: डेटा सेट में सभी मानों का औसत।
• सूत्र: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
• \(\bar{x}\) = माध्य
• \(\sum x_i\) = सभी प्रेक्षणों का योग
• \(n\) = प्रेक्षणों की कुल संख्या
• उदाहरण: यदि अंक हैं 10, 20, 30, 40, 50, तो माध्य \(\frac{10+20+30+40+50}{5} = \frac{150}{5} = 30\) होगा।
• महत्व: यह डेटा सेट के केंद्रीय प्रवृत्ति का एक सरल माप है।

जब डेटा को वर्ग अंतरालों में समूहीकृत किया जाता है, तो हम माध्य का अनुमान लगाने के लिए प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करते हैं।

• प्रक्रिया: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु (वर्ग चिह्न) को उसकी बारंबारता से गुणा किया जाता है, फिर सभी उत्पादों का योग किया जाता है और कुल बारंबारता से विभाजित किया जाता है।
• सूत्र: \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
• \(\bar{x}\) = माध्य
• \(f_i\) = \(i\)वें वर्ग अंतराल की बारंबारता
• \(x_i\) = \(i\)वें वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न (मध्य-बिंदु)
• \(\sum f_i x_i\) = \(f_i x_i\) उत्पादों का योग
• \(\sum f_i\) = कुल बारंबारता (प्रेक्षणों की कुल संख्या)
• वर्ग चिह्न की गणना: \(x_i = \frac{\text{निचली वर्ग सीमा} + \text{ऊपरी वर्ग सीमा}}{2}\)
• कब उपयोग करें: जब \(f_i\) और \(x_i\) के मान छोटे हों और गणनाएँ आसान हों।

चरण-दर-चरण विधि:

1. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न \(x_i\) ज्ञात करें।
2. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए \(f_i x_i\) उत्पाद ज्ञात करें।
3. सभी \(f_i x_i\) उत्पादों का योग \(\sum f_i x_i\) ज्ञात करें।
4. सभी बारंबारताओं का योग \(\sum f_i\) ज्ञात करें।
5. सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)

उदाहरण: | वर्ग अंतराल | बारंबारता (\(f_i\)) | वर्ग चिह्न (\(x_i\)) | \(f_i x_i\) | |---|---|---|---| | 0-10 | 2 | 5 | 10 | | 10-20 | 3 | 15 | 45 | | 20-30 | 5 | 25 | 125 | | 30-40 | 4 | 35 | 140 | | योग | \(\sum f_i = 14\) | | \(\sum f_i x_i = 320\) |

माध्य \(\bar{x} = \frac{320}{14} \approx 22.86\)

यह विधि प्रत्यक्ष विधि की तुलना में गणनाओं को सरल बनाती है, खासकर जब \(x_i\) और \(f_i x_i\) के मान बड़े होते हैं।

• विचार: हम डेटा से एक 'कल्पित माध्य' (\(a\)) चुनते हैं और फिर प्रत्येक वर्ग चिह्न के विचलन की गणना करते हैं।
• सूत्र: \(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
• \(a\) = कल्पित माध्य (आमतौर पर मध्य वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न)
• \(d_i\) = विचलन = \(x_i - a\)
• अन्य पद प्रत्यक्ष विधि के समान हैं।
• कब उपयोग करें: जब \(x_i\) और \(f_i\) के मान बड़े हों, जिससे \(f_i x_i\) की गणना बोझिल हो जाए।

चरण-दर-चरण विधि:

1. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न \(x_i\) ज्ञात करें।
2. वर्ग चिह्नों में से एक को कल्पित माध्य (\(a\)) के रूप में चुनें। आमतौर पर, मध्य वर्ग का \(x_i\) चुना जाता है।
3. प्रत्येक वर्ग के लिए विचलन \(d_i = x_i - a\) ज्ञात करें।
4. प्रत्येक वर्ग के लिए \(f_i d_i\) उत्पाद ज्ञात करें।
5. सभी \(f_i d_i\) उत्पादों का योग \(\sum f_i d_i\) ज्ञात करें।
6. सभी बारंबारताओं का योग \(\sum f_i\) ज्ञात करें।
7. सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: \(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)

उदाहरण: (पिछले उदाहरण से डेटा का उपयोग करके, \(a = 25\) मानते हुए) | वर्ग अंतराल | \(f_i\) | \(x_i\) | \(d_i = x_i - 25\) | \(f_i d_i\) | |---|---|---|---|---| | 0-10 | 2 | 5 | -20 | -40 | | 10-20 | 3 | 15 | -10 | -30 | | 20-30 | 5 | 25 | 0 | 0 | | 30-40 | 4 | 35 | 10 | 40 | | योग | \(\sum f_i = 14\) | | | \(\sum f_i d_i = -30\) |

माध्य \(\bar{x} = 25 + \frac{-30}{14} = 25 - 2.14 \approx 22.86\)

दोनों विधियों से माध्य समान आता है।

पग-विचलन विधि कल्पित माध्य विधि का एक और सरलीकरण है, खासकर जब सभी \(d_i\) मानों में एक सामान्य कारक (वर्ग आकार \(h\)) होता है।

• विचार: विचलन \(d_i\) को वर्ग आकार \(h\) से विभाजित करके \(u_i\) नामक एक नया चर बनाते हैं, जिससे गणनाएँ और भी छोटी हो जाती हैं।
• सूत्र: \(\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h\)
• \(a\) = कल्पित माध्य
• \(h\) = वर्ग आकार (सभी वर्ग अंतरालों के लिए समान होना चाहिए)
• \(u_i = \frac{x_i - a}{h}\)
• अन्य पद पिछले विधियों के समान हैं।
• कब उपयोग करें: जब वर्ग आकार \(h\) सभी वर्ग अंतरालों के लिए समान हो और \(d_i\) मान \(h\) के गुणज हों। यह सबसे कुशल विधि है।

चरण-दर-चरण विधि:

1. प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न \(x_i\) ज्ञात करें।
2. वर्ग चिह्नों में से एक को कल्पित माध्य (\(a\)) के रूप में चुनें।
3. वर्ग आकार \(h\) ज्ञात करें (ऊपरी सीमा - निचली सीमा)।
4. प्रत्येक वर्ग के लिए \(u_i = \frac{x_i - a}{h}\) ज्ञात करें।
5. प्रत्येक वर्ग के लिए \(f_i u_i\) उत्पाद ज्ञात करें।
6. सभी \(f_i u_i\) उत्पादों का योग \(\sum f_i u_i\) ज्ञात करें।
7. सभी बारंबारताओं का योग \(\sum f_i\) ज्ञात करें।
8. सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: \(\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h\)

उदाहरण: (पिछले उदाहरण से डेटा का उपयोग करके, \(a = 25\), \(h = 10\) मानते हुए) | वर्ग अंतराल | \(f_i\) | \(x_i\) | \(d_i = x_i - 25\) | \(u_i = d_i/10\) | \(f_i u_i\) | |---|---|---|---|---|---| | 0-10 | 2 | 5 | -20 | -2 | -4 | | 10-20 | 3 | 15 | -10 | -1 | -3 | | 20-30 | 5 | 25 | 0 | 0 | 0 | | 30-40 | 4 | 35 | 10 | 1 | 4 | | योग | \(\sum f_i = 14\) | | | | \(\sum f_i u_i = -3\) |

माध्य \(\bar{x} = 25 + \left(\frac{-3}{14}\right) \times 10 = 25 - \frac{30}{14} = 25 - 2.14 \approx 22.86\)

तीनों विधियों से माध्य समान आता है।

वर्गीकृत डेटा के लिए बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। वर्गीकृत डेटा में, हम बहुलक वर्ग की पहचान करते हैं और फिर एक सूत्र का उपयोग करके बहुलक का अनुमान लगाते हैं।

• बहुलक वर्ग: वह वर्ग अंतराल जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
• सूत्र: \(\text{बहुलक} = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h\)
• \(l\) = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
• \(h\) = वर्ग आकार (बहुलक वर्ग का)
• \(f_1\) = बहुलक वर्ग की बारंबारता
• \(f_0\) = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
• \(f_2\) = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

चरण-दर-चरण विधि:

1. बारंबारता वितरण तालिका का निरीक्षण करके उच्चतम बारंबारता वाले वर्ग अंतराल की पहचान करें। यह बहुलक वर्ग है।
2. बहुलक वर्ग से \(l\), \(f_1\), \(f_0\), \(f_2\) और \(h\) के मान नोट करें।
3. सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें और बहुलक की गणना करें।

उदाहरण: | वर्ग अंतराल | बारंबारता (\(f_i\)) | |---|---| | 0-10 | 5 | | 10-20 | 12 | | 20-30 | 15 | \(\leftarrow\) बहुलक वर्ग (उच्चतम बारंबारता) | 30-40 | 8 | | 40-50 | 3 |

• उच्चतम बारंबारता = 15, इसलिए बहुलक वर्ग 20-30 है।
• \(l = 20\)
• \(h = 10\)
• \(f_1 = 15\)
• \(f_0 = 12\)
• \(f_2 = 8\)

बहुलक \(= 20 + \left(\frac{15 - 12}{2(15) - 12 - 8}\right) \times 10\) \(= 20 + \left(\frac{3}{30 - 20}\right) \times 10\) \(= 20 + \left(\frac{3}{10}\right) \times 10\) \(= 20 + 3 = 23\)

माध्यिका डेटा सेट का मध्य मान है जब डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। वर्गीकृत डेटा के लिए, हम पहले माध्यिका वर्ग की पहचान करते हैं और फिर एक सूत्र का उपयोग करके माध्यिका का अनुमान लगाते हैं।

• संचयी बारंबारता (CF): यह एक वर्ग अंतराल तक या उससे पहले के सभी प्रेक्षणों की कुल बारंबारता है। माध्यिका वर्ग की पहचान करने के लिए इसकी आवश्यकता होती है।
• माध्यिका वर्ग: वह वर्ग अंतराल जिसकी संचयी बारंबारता \(\frac{N}{2}\) से अधिक या उसके बराबर होती है, जहाँ \(N = \sum f_i\) कुल बारंबारता है।
• सूत्र: \(\text{माध्यिका} = l + \left(\frac{\frac{N}{2} - cf}{f}\right) \times h\)
• \(l\) = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
• \(N\) = कुल बारंबारता (\(\sum f_i\))
• \(cf\) = माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
• \(f\) = माध्यिका वर्ग की बारंबारता
• \(h\) = माध्यिका वर्ग का वर्ग आकार

चरण-दर-चरण विधि:

1. संचयी बारंबारता (CF) कॉलम तैयार करें।
2. कुल बारंबारता \(N = \sum f_i\) ज्ञात करें।
3. \(\frac{N}{2}\) की गणना करें।
4. संचयी बारंबारता कॉलम में \(\frac{N}{2}\) से अधिक या उसके बराबर पहली संचयी बारंबारता का पता लगाएँ। इस CF के अनुरूप वर्ग अंतराल माध्यिका वर्ग है।
5. माध्यिका वर्ग से \(l\), \(f\), \(h\) और \(cf\) (माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता) के मान नोट करें।
6. सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें और माध्यिका की गणना करें।

उदाहरण: | वर्ग अंतराल | बारंबारता (\(f\)) | संचयी बारंबारता (CF) | |---|---|---| | 0-10 | 5 | 5 | | 10-20 | 12 | 17 | | 20-30 | 15 | 32 | \(\leftarrow\) माध्यिका वर्ग (CF > N/2) | 30-40 | 8 | 40 | | 40-50 | 3 | 43 |

• कुल बारंबारता \(N = 43\)
• \(\frac{N}{2} = \frac{43}{2} = 21.5\)
• CF कॉलम में, 32 पहला मान है जो 21.5 से अधिक या उसके बराबर है। इसलिए, माध्यिका वर्ग 20-30 है।
• \(l = 20\)
• \(h = 10\)
• \(f = 15\)
• \(cf = 17\) (माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की CF)

माध्यिका \(= 20 + \left(\frac{21.5 - 17}{15}\right) \times 10\) \(= 20 + \left(\frac{4.5}{15}\right) \times 10\) \(= 20 + 0.3 \times 10\) \(= 20 + 3 = 23\)