Introduction to trigonometry

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंध का अध्ययन करती है। विशेष रूप से, यह समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) के कोणों और भुजाओं के अनुपातों से संबंधित है।

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपात

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ कोण B समकोण है (90°):

• कर्ण (Hypotenuse): समकोण के सामने वाली भुजा (AC)। यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है।
• लंब (Perpendicular): विचाराधीन न्यून कोण (Acute angle) के सामने वाली भुजा।
• आधार (Base): विचाराधीन न्यून कोण से सटी हुई भुजा (कर्ण के अलावा)।

किसी न्यून कोण 'A' के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:

• Sine (sin A): \(\frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}\)
• Cosine (cos A): \(\frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}\)
• Tangent (tan A): \(\frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB}\)

इनके व्युत्क्रम (Reciprocal) अनुपात भी होते हैं:

• Cosecant (cosec A): \(\frac{\text{कर्ण}}{\text{लंब}} = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sin A}\)
• Secant (sec A): \(\frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{\cos A}\)
• Cotangent (cot A): \(\frac{\text{आधार}}{\text{लंब}} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\tan A}\)

महत्वपूर्ण संबंध

• \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)
• \(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\)

याद रखने का तरीका (Mnemonics)

त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने के लिए कई तरीके हैं। एक लोकप्रिय तरीका है:

Pandit Badri Prasad Har Har Bole Sona Chandi Tole

यहाँ:

• Sona = Sin (P/H)
• Chandi = Cos (B/H)
• Tole = Tan (P/B)

या हिंदी में:

लाल कक्का आम लाया कच्चा कच्चा

यहाँ:

• लाल / कक्का = लंब / कर्ण = sin
• आम / लाया = आधार / कर्ण = cos
• कच्चा / कच्चा = लंब / आधार = tan

त्रिकोणमितीय अनुपात इकाई रहित होते हैं क्योंकि वे दो भुजाओं का अनुपात होते हैं। कोण का मान बढ़ने पर sin A का मान बढ़ता है (0° से 90° तक), जबकि cos A का मान घटता है (0° से 90° तक)।

कुछ विशिष्ट कोणों जैसे 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान बहुत महत्वपूर्ण हैं और इन्हें याद रखना चाहिए। ये मान विभिन्न समस्याओं को हल करने में सीधे उपयोग किए जाते हैं।

45° के लिए अनुपात

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (Isosceles right-angled triangle) ABC पर विचार करें, जहाँ \(\angle B = 90^\circ\) और \(\angle A = \angle C = 45^\circ\)। यदि AB = BC = a, तो पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras theorem) से, \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

• \(\sin 45^\circ = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• \(\cos 45^\circ = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• \(\tan 45^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a} = 1\)

30° और 60° के लिए अनुपात

एक समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) ABC पर विचार करें, जिसकी प्रत्येक भुजा 2a है। AD को BC पर लंब खींचें। तब \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle BAD = 30^\circ\), BD = a, और \(AD = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\).

कोण 30° के लिए (त्रिभुज ABD में):

• \(\sin 30^\circ = \frac{BD}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\)
• \(\cos 30^\circ = \frac{AD}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\tan 30^\circ = \frac{BD}{AD} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

कोण 60° के लिए (त्रिभुज ABD में):

• \(\sin 60^\circ = \frac{AD}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\cos 60^\circ = \frac{BD}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\)
• \(\tan 60^\circ = \frac{AD}{BD} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}\)

0° और 90° के लिए अनुपात

एक समकोण त्रिभुज में कोण को 0° या 90° के करीब ले जाने की कल्पना करके इन मानों को समझा जा सकता है।

• 0°: जब कोण 0° के करीब होता है, तो लंब लगभग 0 हो जाता है और आधार लगभग कर्ण के बराबर हो जाता है।
• \(\sin 0^\circ = 0\)
• \(\cos 0^\circ = 1\)
• \(\tan 0^\circ = 0\)
• \(\cot 0^\circ = \text{अपरिभाषित (Undefined)}\)
• \(\sec 0^\circ = 1\)
• \(\cosec 0^\circ = \text{अपरिभाषित (Undefined)}\)

• 90°: जब कोण 90° के करीब होता है, तो आधार लगभग 0 हो जाता है और लंब लगभग कर्ण के बराबर हो जाता है।
• \(\sin 90^\circ = 1\)
• \(\cos 90^\circ = 0\)
• \(\tan 90^\circ = \text{अपरिभाषित (Undefined)}\)
• \(\cot 90^\circ = 0\)
• \(\sec 90^\circ = \text{अपरिभाषित (Undefined)}\)
• \(\cosec 90^\circ = 1\)

विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी

यह सारणी परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसे याद करना या परीक्षा में तुरंत बनाना आना चाहिए।

दो कोणों को पूरक कोण (Complementary angles) कहा जाता है यदि उनका योग 90° हो। एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ \(\angle B = 90^\circ\), न्यून कोण A और C पूरक कोण होते हैं, अर्थात \(A + C = 90^\circ\) या \(C = 90^\circ - A\).

यदि हम कोण A के लिए अनुपात लिखते हैं:

• \(\sin A = \frac{BC}{AC}\)
• \(\cos A = \frac{AB}{AC}\)
• \(\tan A = \frac{BC}{AB}\)

अब, कोण C (जो \(90^\circ - A\) है) के लिए:

• \(\sin C = \sin(90^\circ - A) = \frac{AB}{AC}\)
• \(\cos C = \cos(90^\circ - A) = \frac{BC}{AC}\)
• \(\tan C = \tan(90^\circ - A) = \frac{AB}{BC}\)

इनकी तुलना करने पर, हमें पूरक कोणों के लिए निम्नलिखित संबंध मिलते हैं:

• \(\sin (90^\circ - A) = \cos A\)
• \(\cos (90^\circ - A) = \sin A\)
• \(\tan (90^\circ - A) = \cot A\)
• \(\cot (90^\circ - A) = \tan A\)
• \(\sec (90^\circ - A) = \cosec A\)
• \(\cosec (90^\circ - A) = \sec A\)

ये संबंध केवल न्यून कोणों (0° से 90° के बीच) के लिए मान्य हैं।

एक सर्वसमिका (Identity) एक समीकरण होता है जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ वे समीकरण हैं जिनमें त्रिकोणमितीय अनुपात शामिल होते हैं और जो कोणों के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं जिनके लिए अनुपात परिभाषित होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम तीन मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ प्राप्त कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ \(\angle B = 90^\circ\), पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: \(AB^2 + BC^2 = AC^2\)

1. \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

समीकरण \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) को \(AC^2\) से भाग देने पर: \(\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}\) \(\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 + \left(\frac{BC}{AC}\right)^2 = 1\) \((\cos A)^2 + (\sin A)^2 = 1\) या, \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\)

इस सर्वसमिका के अन्य रूप:

• \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\)
• \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\)

2. \(1 + \tan^2 A = \sec^2 A\)

समीकरण \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) को \(AB^2\) से भाग देने पर: \(\frac{AB^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{AC^2}{AB^2}\) \(1 + \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AC}{AB}\right)^2\) \(1 + (\tan A)^2 = (\sec A)^2\) या, \(1 + \tan^2 A = \sec^2 A\)

इस सर्वसमिका के अन्य रूप:

• \(\tan^2 A = \sec^2 A - 1\)
• \(\sec^2 A - \tan^2 A = 1\)

3. \(1 + \cot^2 A = \cosec^2 A\)

समीकरण \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) को \(BC^2\) से भाग देने पर: \(\frac{AB^2}{BC^2} + \frac{BC^2}{BC^2} = \frac{AC^2}{BC^2}\) \(\left(\frac{AB}{BC}\right)^2 + 1 = \left(\frac{AC}{BC}\right)^2\) \((\cot A)^2 + 1 = (\cosec A)^2\) या, \(1 + \cot^2 A = \cosec^2 A\)

इस सर्वसमिका के अन्य रूप:

• \(\cot^2 A = \cosec^2 A - 1\)
• \(\cosec^2 A - \cot^2 A = 1\)

ये तीनों सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमिति में समस्याओं को हल करने के लिए आधारभूत हैं। इन्हें अच्छी तरह से याद रखना और विभिन्न रूपों में उपयोग करना आना चाहिए।