TRIGONOMETRY

त्रिकोणमिति, त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन है। विशेष रूप से, यह समकोण त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के अनुपातों से संबंधित है।

1.1. समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपात

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠B = 90° है, और ∠A को संदर्भ कोण (reference angle) के रूप में लेते हुए:

• लंब (Perpendicular, P): कोण A के सामने वाली भुजा (BC).
• आधार (Base, B): कोण A से संलग्न भुजा (AB).
• कर्ण (Hypotenuse, H): समकोण के सामने वाली भुजा (AC), जो सबसे लंबी भुजा होती है।

पंडित बद्री प्रसाद हर हर बोले सोना चांदी तोले (या पाकिस्तान भूखा प्यासा, हिंदुस्तान हरा भरा) यह याद रखने का एक लोकप्रिय तरीका है:

• Sin = Perpendicular / Hypotenuse (लंब / कर्ण)
• Cos = Base / Hypotenuse (आधार / कर्ण)
• Tan = Perpendicular / Base (लंब / आधार)

1.1.1. मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात

• साइन (Sine) A: \(\sin A = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}\)
• कोसाइन (Cosine) A: \(\cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}\)
• टेंजेंट (Tangent) A: \(\tan A = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB}\)

1.1.2. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात

• कोसेकेंट (Cosecant) A: \(\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लंब}} = \frac{AC}{BC}\)
• सेकेंट (Secant) A: \(\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{AB}\)
• कोटेंजेंट (Cotangent) A: \(\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\text{आधार}}{\text{लंब}} = \frac{AB}{BC}\)

1.1.3. अन्य महत्वपूर्ण संबंध

• \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)
• \(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\)

1.2. त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान

• किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात उस कोण के मान पर निर्भर करते हैं, न कि त्रिभुज के आकार पर।
• यदि त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात समान रहता है, तो कोण भी समान रहता है, भले ही त्रिभुज बड़ा या छोटा हो।

1.3. पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग

समकोण त्रिभुज में, \(P^2 + B^2 = H^2\) (लंब\(^2\) + आधार\(^2\) = कर्ण\(^2\)). इसका उपयोग किसी एक भुजा का मान ज्ञात करने के लिए किया जाता है यदि अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हों।

विभिन्न कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है।

2.1. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए मान

| कोण \(\theta\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | |:---------------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:| | \(\sin \theta\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | | \(\cos \theta\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | | \(\tan \theta\) | 0 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | अपरिभाषित | | \(\csc \theta\) | अपरिभाषित | 2 | \(\sqrt{2}\) | \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) | 1 | | \(\sec \theta\) | 1 | \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) | \(\sqrt{2}\) | 2 | अपरिभाषित | | \(\cot \theta\) | अपरिभाषित | \(\sqrt{3}\) | 1 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 0 |

2.2. इन मानों को याद रखने के लिए युक्तियाँ

• साइन के मान: 0, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (या \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1. इन्हें \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\) के रूप में भी याद रख सकते हैं।
• कोसाइन के मान: साइन के मानों को उल्टे क्रम में लिखें।
• टेंजेंट के मान: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) का उपयोग करें।
• व्युत्क्रम अनुपात: \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\), \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\), \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\) का उपयोग करें।

2.3. 0° और 90° के लिए विशेष स्थितियाँ

• जब \(\theta = 0^\circ\), लंब 0 होता है और आधार कर्ण के बराबर होता है।
• \(\sin 0^\circ = 0\)
• \(\cos 0^\circ = 1\)
• \(\tan 0^\circ = 0\)
• जब \(\theta = 90^\circ\), आधार 0 होता है और लंब कर्ण के बराबर होता है।
• \(\sin 90^\circ = 1\)
• \(\cos 90^\circ = 0\)
• \(\tan 90^\circ = \frac{1}{0}\) (अपरिभाषित)

अपरिभाषित मानों पर ध्यान दें, खासकर जब हर शून्य हो जाता है।

यदि दो कोणों का योग 90° हो, तो वे पूरक कोण कहलाते हैं। एक समकोण त्रिभुज में, दो न्यून कोण हमेशा पूरक होते हैं।

3.1. पूरक कोणों के संबंध

एक समकोण त्रिभुज ABC में, यदि ∠B = 90° है, तो ∠A + ∠C = 90°। इसलिए, ∠C = 90° - ∠A.

इन संबंधों का उपयोग करके, हम पाते हैं:

• \(\sin (90^\circ - A) = \cos A\)
• \(\cos (90^\circ - A) = \sin A\)
• \(\tan (90^\circ - A) = \cot A\)
• \(\cot (90^\circ - A) = \tan A\)
• \(\sec (90^\circ - A) = \csc A\)
• \(\csc (90^\circ - A) = \sec A\)

ये संबंध त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में बहुत उपयोगी होते हैं।

3.2. अनुप्रयोग

• यदि आपको \(\sin 70^\circ\) का मान ज्ञात करना है, तो आप इसे \(\cos (90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ\) के रूप में लिख सकते हैं।
• व्यंजकों को सरल बनाने के लिए, जैसे \(\frac{\sin 20^\circ}{\cos 70^\circ}\), हम \(\sin 20^\circ = \cos (90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ\) का उपयोग कर सकते हैं। तो, \(\frac{\cos 70^\circ}{\cos 70^\circ} = 1\).

एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें त्रिकोणमितीय अनुपात शामिल होते हैं और यह कोणों के सभी मानों के लिए सत्य होता है जिसके लिए अनुपात परिभाषित होते हैं।

4.1. मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

ये सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न होती हैं।

1. \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

• यह सबसे महत्वपूर्ण सर्वसमिका है।
• इससे व्युत्पन्न: \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\) और \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\)

1. \(1 + \tan^2 A = \sec^2 A\) (जहाँ \(A \neq 90^\circ\))

• इससे व्युत्पन्न: \(\tan^2 A = \sec^2 A - 1\) और \(\sec^2 A - \tan^2 A = 1\)

1. \(1 + \cot^2 A = \csc^2 A\) (जहाँ \(A \neq 0^\circ\))

• इससे व्युत्पन्न: \(\cot^2 A = \csc^2 A - 1\) और \(\csc^2 A - \cot^2 A = 1\)

4.2. सर्वसमिकाओं का उपयोग

• त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए।
• एक त्रिकोणमितीय अनुपात को दूसरे में बदलने के लिए।

उदाहरण: यदि \(\sin A\) दिया गया है, तो \(\cos A\) और \(\tan A\) ज्ञात करने के लिए \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) का उपयोग किया जा सकता है।

4.3. सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए युक्तियाँ

• अक्सर, समीकरण के अधिक जटिल पक्ष से शुरुआत करें।
• सभी अनुपातों को sin और cos में बदलने का प्रयास करें।
• बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (जैसे \((a+b)^2, (a-b)^2, a^2-b^2\)) का उपयोग करें।
• यदि आवश्यक हो तो हर का परिमेयकरण करें।
• यदि कोई भिन्न है, तो लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें।

अभ्यास ही कुंजी है! जितनी अधिक समस्याओं का आप अभ्यास करेंगे, उतनी ही आसानी से आप सही सर्वसमिका की पहचान कर पाएंगे।

त्रिकोणमिति का उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, खगोल विज्ञान, नेविगेशन और सर्वेक्षण जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। कक्षा 10 में, हम मुख्य रूप से ऊंचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने के लिए इसके अनुप्रयोगों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

5.1. महत्वपूर्ण शब्दावली

• दृष्टि रेखा (Line of Sight): प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक खींची गई काल्पनिक रेखा।
• क्षैतिज रेखा (Horizontal Line): प्रेक्षक की आँख से जमीन के समानांतर खींची गई रेखा।
• उन्नयन कोण (Angle of Elevation): जब वस्तु प्रेक्षक की आँख के स्तर से ऊपर होती है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण। प्रेक्षक को ऊपर देखना पड़ता है।
• अवनमन कोण (Angle of Depression): जब वस्तु प्रेक्षक की आँख के स्तर से नीचे होती है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण। प्रेक्षक को नीचे देखना पड़ता है।

5.2. समस्याओं को हल करने के लिए चरण

1. चित्र बनाएं: समस्या का एक स्पष्ट और अच्छी तरह से लेबल किया गया आरेख बनाएं। यह एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए।
2. ज्ञात और अज्ञात को पहचानें: दी गई ऊंचाइयों, दूरियों और कोणों को लेबल करें। आपको क्या ज्ञात करना है, उसे चिह्नित करें।
3. उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात चुनें: अज्ञात भुजा और ज्ञात भुजा को जोड़ने वाला त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan) चुनें।

• यदि लंब और आधार शामिल हैं, तो tan का उपयोग करें।
• यदि लंब और कर्ण शामिल हैं, तो sin का उपयोग करें।
• यदि आधार और कर्ण शामिल हैं, तो cos का उपयोग करें।

1. समीकरण स्थापित करें और हल करें: त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके एक समीकरण लिखें और अज्ञात मान के लिए हल करें।
2. इकाइयों की जांच करें: सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर सही इकाइयों में है।

5.3. सामान्य अनुप्रयोग

• किसी मीनार, इमारत या पेड़ की ऊंचाई ज्ञात करना।
• किसी नदी या सड़क की चौड़ाई ज्ञात करना।
• किसी वस्तु की प्रेक्षक से दूरी ज्ञात करना।
• किसी हवाई जहाज या गुब्बारे की ऊंचाई ज्ञात करना।

अवनमन कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर मापा जाता है। यह उन्नयन कोण के बराबर होता है यदि वस्तु और प्रेक्षक की स्थिति बदल दी जाए (एकांतर अंतः कोण)।