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AP · Class 7 · 🧮 Maths · Chapter 4

Simple Equations

సమీకరణం అంటే ఏమిటివేరియబుల్స్సమీకరణాలను ఏర్పాటు చేయడంసమీకరణాలను పరిష్కరించడంట్రాన్స్‌పోజిషన్ పద్ధతిప్రాక్టికల్ సిట్యుయేషన్లలో సమీకరణాలు

ఈ అధ్యాయం విద్యార్థులకు సాధారణ సమీకరణాల ప్రాథమిక భావనలను పరిచయం చేస్తుంది. సమీకరణాలను ఎలా ఏర్పాటు చేయాలి, వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలి మరియు రోజువారీ జీవితంలో వాటిని ఎలా అన్వయించాలి అనే విషయాలను ఇది వివరిస్తుంది. వేరియబుల్స్, ఎక్స్‌ప్రెషన్స్ మరియు సమానత్వ సంకేతం యొక్క ప్రాముఖ్యతను అర్థం చేసుకోవడంపై దృష్టి సారించబడుతుంది. సమతూల్యత సూత్రం ఆధారంగా సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు, అంటే రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం లేదా భాగించడం వంటివి నేర్చుకుంటారు. ఇది గణిత సమస్యలను విశ్లేషించడానికి మరియు పరిష్కరించడానికి అవసరమైన ప్రాథమిక నైపుణ్యాలను అందిస్తుంది.

समीकरण क्या है? (What is an Equation?)

एक समीकरण चर (variable) पर एक शर्त है, जहाँ दो व्यंजकों (expressions) का मान बराबर होता है।

  • चर (Variable):
  • वह मात्रा जिसका मान निश्चित नहीं होता, बदल सकता है।
  • आमतौर पर अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों जैसे x, y, z, p, m, n आदि से दर्शाया जाता है।
  • उदाहरण: x + 5, 4y - 3 में x और y चर हैं।
  • स्थिरांक (Constant):
  • वह मात्रा जिसका मान निश्चित होता है, बदलता नहीं है।
  • उदाहरण: x + 5 में 5 एक स्थिरांक है।
  • व्यंजक (Expression):
  • चर और स्थिरांकों को गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) से जोड़कर बनाए गए पद।
  • उदाहरण: 4x + 5, 10y - 20।
  • समीकरण (Equation):
  • एक गणितीय कथन जो बताता है कि दो व्यंजक बराबर हैं। इसमें हमेशा एक बराबर का चिह्न (=) होता है।
  • LHS (Left Hand Side): बराबर चिह्न के बाईं ओर का व्यंजक।
  • RHS (Right Hand Side): बराबर चिह्न के दाईं ओर का व्यंजक।
  • उदाहरण: 4x + 5 = 65 में, 4x + 5 LHS है और 65 RHS है।
  • समीकरण का हल (Solution of an Equation):
  • चर का वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, LHS को RHS के बराबर बनाता है।
  • एक समीकरण का केवल एक ही हल होता है (इस कक्षा के लिए)।
  • महत्वपूर्ण गुण:
  • एक समीकरण वही रहता है जब LHS और RHS को आपस में बदल दिया जाता है।
  • उदाहरण: 4x + 5 = 65 वही है जो 65 = 4x + 5 है।
📖నిర్వచనం

समीकरण: एक चर पर एक शर्त है जिसमें दो व्यंजकों का मान बराबर होता है। इसमें हमेशा एक '=' चिह्न होता है।

❗ముఖ్యమైనది

एक समीकरण में, कम से कम एक व्यंजक में चर होना चाहिए। यदि दोनों व्यंजकों में चर नहीं है, तो वह केवल एक समानता (equality) है, समीकरण नहीं। उदाहरण: 8 - 3 = 4 + 1 एक समानता है, समीकरण नहीं।

समीकरण स्थापित करना (Setting Up an Equation)

दैनिक जीवन की समस्याओं या कथनों को गणितीय समीकरणों में बदलना।

  • चरण 1: अज्ञात मात्रा (unknown quantity) को एक चर (जैसे x, y, m आदि) से दर्शाएँ।
  • चरण 2: समस्या में दी गई जानकारी का उपयोग करके व्यंजक बनाएँ।
  • चरण 3: 'बराबर है' या 'परिणाम है' जैसे शब्दों को बराबर चिह्न (=) से बदलें और एक समीकरण बनाएँ।

उदाहरण:

  • कथन: "किसी संख्या के तीन गुना और 11 का योग 32 है।"
  • संख्या को x मानें।
  • संख्या का तीन गुना: 3x
  • तीन गुना और 11 का योग: 3x + 11
  • योग 32 है: 3x + 11 = 32
  • कथन: "यदि आप किसी संख्या के 6 गुना में से 5 घटाते हैं, तो आपको 7 मिलता है।"
  • संख्या को z मानें।
  • संख्या का 6 गुना: 6z
  • 6 गुना में से 5 घटाना: 6z - 5
  • परिणाम 7 है: 6z - 5 = 7
  • कथन: "m का एक-चौथाई 7 से 3 अधिक है।"
  • m का एक-चौथाई: m/4
  • 7 से 3 अधिक: 7 + 3 या m/4 - 7 = 3
  • समीकरण: m/4 = 7 + 3 या m/4 - 7 = 3
  • कथन: "एक संख्या का एक-तिहाई और 5 का योग 8 है।"
  • संख्या को n मानें।
  • संख्या का एक-तिहाई: n/3
  • एक-तिहाई और 5 का योग: n/3 + 5
  • योग 8 है: n/3 + 5 = 8
💡సూచన

कथन से समीकरण बनाते समय, 'है' या 'होता है' जैसे शब्द अक्सर '=' चिह्न को दर्शाते हैं। 'से अधिक' का अर्थ जोड़ना और 'से कम' का अर्थ घटाना होता है।

समीकरणों को हल करना: संतुलन विधि (Solving Equations: Balancing Method)

एक समीकरण को एक तराजू के समान माना जा सकता है जहाँ दोनों पलड़ों पर समान भार होता है। संतुलन बनाए रखने के लिए, जो भी संक्रिया एक तरफ की जाती है, वही संक्रिया दूसरी तरफ भी करनी पड़ती है।

संतुलन विधि के नियम:

  1. जोड़ना: यदि आप समीकरण के एक तरफ कोई संख्या जोड़ते हैं, तो संतुलन बनाए रखने के लिए आपको दूसरी तरफ भी वही संख्या जोड़नी होगी।
  • उदाहरण: x - 3 = 10
  • दोनों तरफ 3 जोड़ने पर: x - 3 + 3 = 10 + 3
  • x = 13
  1. घटाना: यदि आप समीकरण के एक तरफ कोई संख्या घटाते हैं, तो संतुलन बनाए रखने के लिए आपको दूसरी तरफ भी वही संख्या घटानी होगी।
  • उदाहरण: x + 3 = 8
  • दोनों तरफ 3 घटाने पर: x + 3 - 3 = 8 - 3
  • x = 5
  1. गुणा करना: यदि आप समीकरण के एक तरफ किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा करते हैं, तो संतुलन बनाए रखने के लिए आपको दूसरी तरफ भी उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा करना होगा।
  • उदाहरण: m/2 = 5
  • दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर: (m/2) 2 = 5 2
  • m = 10
  1. भाग देना: यदि आप समीकरण के एक तरफ किसी गैर-शून्य संख्या से भाग देते हैं, तो संतुलन बनाए रखने के लिए आपको दूसरी तरफ भी उसी गैर-शून्य संख्या से भाग देना होगा।
  • उदाहरण: 5y = 35
  • दोनों तरफ 5 से भाग देने पर: 5y / 5 = 35 / 5
  • y = 7

लक्ष्य: चर को समीकरण के एक तरफ अकेला करना।

चरण-दर-चरण विधि:

  1. चर वाले पद के साथ जुड़े स्थिरांक को हटाने के लिए जोड़ या घटाव का उपयोग करें।
  2. चर के गुणांक (coefficient) को हटाने के लिए गुणा या भाग का उपयोग करें।

उदाहरण: 3n + 7 = 25 को हल करें।

  • चरण 1: दोनों तरफ से 7 घटाएँ (ताकि 3n अकेला हो जाए)।
  • 3n + 7 - 7 = 25 - 7
  • 3n = 18
  • चरण 2: दोनों तरफ 3 से भाग दें (ताकि n अकेला हो जाए)।
  • 3n / 3 = 18 / 3
  • n = 6

हल की जाँच: प्राप्त मान को मूल समीकरण में रखकर देखें कि LHS = RHS है या नहीं।

  • n = 6 के लिए: 3(6) + 7 = 18 + 7 = 25। यह RHS के बराबर है, इसलिए हल सही है।
⭐గుర్తుంచుకోండి

किसी भी गणितीय संक्रिया को दोनों तरफ समान रूप से लागू करना अनिवार्य है ताकि समीकरण का संतुलन बना रहे।

समीकरणों को हल करना: पक्षांतरण विधि (Solving Equations: Transposition Method)

पक्षांतरण (transposing) संतुलन विधि का एक त्वरित तरीका है। इसमें एक संख्या को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाना शामिल है।

  • नियम: जब आप किसी संख्या या पद को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाते हैं, तो उसका चिह्न बदल जाता है।
  • + बन जाता है -
  • - बन जाता है +
  • * (गुणा) बन जाता है / (भाग)
  • / (भाग) बन जाता है * (गुणा)

उदाहरण 1: 12p - 5 = 25 को हल करें।

  • चरण 1: -5 को LHS से RHS में पक्षांतरण करें। इसका चिह्न +5 हो जाएगा।
  • 12p = 25 + 5
  • 12p = 30
  • चरण 2: 12 को LHS से RHS में पक्षांतरण करें। यह p के साथ गुणा में है, इसलिए RHS में भाग में जाएगा।
  • p = 30 / 12
  • p = 5/2

उदाहरण 2: 4(m + 3) = 18 को हल करें।

  • चरण 1: 4 को LHS से RHS में पक्षांतरण करें। यह गुणा में है, इसलिए RHS में भाग में जाएगा।
  • m + 3 = 18 / 4
  • m + 3 = 9 / 2
  • चरण 2: +3 को LHS से RHS में पक्षांतरण करें। इसका चिह्न -3 हो जाएगा।
  • m = 9/2 - 3
  • m = 9/2 - 6/2
  • m = 3/2

उदाहरण 3: -2(x + 3) = 8 को हल करें।

  • चरण 1: -2 को LHS से RHS में पक्षांतरण करें। यह गुणा में है, इसलिए RHS में भाग में जाएगा।
  • x + 3 = 8 / (-2)
  • x + 3 = -4
  • चरण 2: +3 को LHS से RHS में पक्षांतरण करें। इसका चिह्न -3 हो जाएगा।
  • x = -4 - 3
  • x = -7

जाँच: हमेशा हल की जाँच करना एक अच्छी आदत है।

  • p = 5/2 के लिए 12(5/2) - 5 = 6 * 5 - 5 = 30 - 5 = 25 (RHS के बराबर)
  • m = 3/2 के लिए 4(3/2 + 3) = 4(3/2 + 6/2) = 4(9/2) = 18 (RHS के बराबर)
  • x = -7 के लिए -2(-7 + 3) = -2(-4) = 8 (RHS के बराबर)
🚧తప్పుడు అభిప్రాయం

पक्षांतरण करते समय चिह्न बदलना न भूलें। यह सबसे आम गलती है। + को - में और - को + में बदलना याद रखें।

व्यावहारिक स्थितियों में सरल समीकरणों का अनुप्रयोग (Applications of Simple Equations in Practical Situations)

समीकरणों का उपयोग वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। प्रक्रिया में दो मुख्य चरण होते हैं:

  1. समीकरण बनाना: दी गई समस्या को गणितीय समीकरण में बदलना।
  2. समीकरण को हल करना: अज्ञात चर का मान ज्ञात करना।

समस्या-समाधान के चरण:

  1. समस्या को समझें: ध्यान से पढ़ें और पहचानें कि क्या ज्ञात है और क्या अज्ञात है।
  2. चर असाइन करें: अज्ञात मात्रा के लिए एक चर (जैसे x) चुनें।
  3. समीकरण बनाएँ: समस्या में दिए गए संबंधों का उपयोग करके एक समीकरण लिखें।
  4. समीकरण को हल करें: संतुलन विधि या पक्षांतरण विधि का उपयोग करके चर का मान ज्ञात करें।
  5. हल की जाँच करें: अपने उत्तर को मूल समस्या में रखकर देखें कि यह समझ में आता है और सभी शर्तों को पूरा करता है।

उदाहरण 1: "किसी संख्या के तीन गुना और 11 का योग 32 है। संख्या ज्ञात कीजिए।"

  • समीकरण बनाना: माना संख्या x है।
  • 3x + 11 = 32
  • समीकरण हल करना:
  • 3x = 32 - 11 (11 का पक्षांतरण)
  • 3x = 21
  • x = 21 / 3 (3 का पक्षांतरण)
  • x = 7
  • जाँच: 3(7) + 11 = 21 + 11 = 32। (सही)
  • अतः, संख्या 7 है।

उदाहरण 2: "राजू के पिता की आयु राजू की आयु के तीन गुना से 5 वर्ष अधिक है। यदि राजू के पिता 44 वर्ष के हैं, तो राजू की आयु ज्ञात कीजिए।"

  • समीकरण बनाना: माना राजू की आयु y वर्ष है।
  • राजू की आयु का तीन गुना: 3y
  • तीन गुना से 5 वर्ष अधिक: 3y + 5
  • राजू के पिता की आयु 44 वर्ष है: 3y + 5 = 44
  • समीकरण हल करना:
  • 3y = 44 - 5 (5 का पक्षांतरण)
  • 3y = 39
  • y = 39 / 3 (3 का पक्षांतरण)
  • y = 13
  • जाँच: 3(13) + 5 = 39 + 5 = 44। (सही)
  • अतः, राजू की आयु 13 वर्ष है।

उदाहरण 3: "एक दुकानदार दो प्रकार के बक्सों में आम बेचता है, एक छोटा और एक बड़ा। एक बड़े बक्से में 8 छोटे बक्सों के बराबर आम और 4 खुले आम होते हैं। यदि एक बड़े बक्से में 100 आम हैं, तो प्रत्येक छोटे बक्से में आमों की संख्या ज्ञात कीजिए।"

  • समीकरण बनाना: माना एक छोटे बक्से में m आम हैं।
  • 8 छोटे बक्सों में आम: 8m
  • बड़े बक्से में आम: 8m + 4
  • बड़े बक्से में 100 आम हैं: 8m + 4 = 100
  • समीकरण हल करना:
  • 8m = 100 - 4 (4 का पक्षांतरण)
  • 8m = 96
  • m = 96 / 8 (8 का पक्षांतरण)
  • m = 12
  • जाँच: 8(12) + 4 = 96 + 4 = 100। (सही)
  • अतः, एक छोटे बक्से में 12 आम हैं।
💡సూచన

शब्द समस्याओं को हल करते समय, समीकरण बनाने का चरण सबसे महत्वपूर्ण है। यदि समीकरण गलत है, तो हल भी गलत होगा।

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