SYMMETRY

सममिति वह गुण है जहाँ एक आकृति या वस्तु को इस तरह से विभाजित किया जा सकता है कि उसके भाग एक दूसरे के समान या दर्पण प्रतिबिंब हों।

• सममिति का अर्थ: संतुलन और अनुपात।
• दैनिक जीवन में: प्रकृति में (पत्तियाँ, फूल, तितलियाँ), वास्तुकला में (इमारतें, स्मारक), कला में (पेंटिंग, डिज़ाइन) सममिति देखी जा सकती है।
• गणित में: ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का अध्ययन करने में महत्वपूर्ण।

सममिति के प्रकार: मुख्य रूप से दो प्रकार की सममिति का अध्ययन किया जाता है:

1. रेखा सममिति (Line Symmetry) या परावर्तन सममिति (Reflection Symmetry)
2. घूर्णन सममिति (Rotational Symmetry)

एक सममिति रेखा (या अक्ष) वह रेखा होती है जो एक आकृति को दो दर्पण-प्रतिबिंब समान भागों में विभाजित करती है। यदि एक आकृति को इस रेखा के अनुदिश मोड़ा जाए, तो दोनों भाग एक दूसरे पर पूरी तरह से संपाती हो जाएंगे।

• पहचान: एक आकृति में सममिति रेखाएँ खोजने के लिए, कल्पना करें कि आप उसे कहाँ से मोड़ सकते हैं ताकि दोनों हिस्से बिल्कुल एक जैसे दिखें।
• उदाहरण:
• एक आयत में 2 सममिति रेखाएँ होती हैं।
• एक वर्ग में 4 सममिति रेखाएँ होती हैं।
• एक वृत्त में अनंत सममिति रेखाएँ होती हैं।
• एक समबाहु त्रिभुज में 3 सममिति रेखाएँ होती हैं।
• एक विषमबाहु त्रिभुज में 0 सममिति रेखाएँ होती हैं।

विभिन्न आकृतियों में सममिति रेखाएँ:

| आकृति (Figure) | सममिति रेखाओं की संख्या (Number of Lines of Symmetry) | |---|---| | वर्ग (Square) | 4 | | आयत (Rectangle) | 2 | | समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) | 3 | | समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) | 1 | | विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle) | 0 | | वृत्त (Circle) | अनंत (Infinite) | | समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) | 0 | | समचतुर्भुज (Rhombus) | 2 | | पतंग (Kite) | 1 | | अक्षर A, M, T, U, V, W, Y | 1 (ऊर्ध्वाधर) | | अक्षर B, C, D, E, K | 1 (क्षैतिज) | | अक्षर H, I, O, X | 2 (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज) | | अक्षर F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z | 0 |

महत्वपूर्ण बिंदु:

• एक आकृति में एक से अधिक सममिति रेखाएँ हो सकती हैं।
• कुछ आकृतियों में कोई सममिति रेखा नहीं होती है।

एक नियमित बहुभुज वह बहुभुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर होते हैं।

• नियम: एक नियमित बहुभुज में उसकी भुजाओं की संख्या के बराबर सममिति रेखाएँ होती हैं।
• उदाहरण:
• नियमित पंचभुज (Regular Pentagon): 5 भुजाएँ, 5 सममिति रेखाएँ।
• नियमित षट्भुज (Regular Hexagon): 6 भुजाएँ, 6 सममिति रेखाएँ।
• नियमित अष्टभुज (Regular Octagon): 8 भुजाएँ, 8 सममिति रेखाएँ।

सममिति रेखाओं का प्रकार:

• विषम भुजाओं वाले नियमित बहुभुज: सममिति रेखाएँ प्रत्येक शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक जाती हैं। (जैसे समबाहु त्रिभुज, नियमित पंचभुज)
• सम भुजाओं वाले नियमित बहुभुज:
• कुछ सममिति रेखाएँ विपरीत शीर्षों को जोड़ती हैं।
• कुछ सममिति रेखाएँ विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ती हैं। (जैसे वर्ग, नियमित षट्भुज)

रेखा सममिति को अक्सर दर्पण सममिति के रूप में भी समझा जाता है।

• अवधारणा: यदि आप एक आकृति के पास एक दर्पण रखते हैं और दर्पण में बनी छवि मूल आकृति के शेष भाग के समान दिखती है, तो दर्पण की स्थिति सममिति रेखा को दर्शाती है।
• उदाहरण:
• जब आप अपने हाथ को दर्पण में देखते हैं, तो आपका हाथ और उसकी दर्पण छवि एक सममित जोड़ी बनाते हैं। दर्पण की सतह सममिति रेखा के रूप में कार्य करती है।
• अक्षर 'A' को ऊर्ध्वाधर रूप से मोड़ने पर दोनों भाग संपाती होते हैं। यह ऊर्ध्वाधर रेखा एक दर्पण रेखा है।

दर्पण रेखा के गुण:

• दर्पण रेखा पर स्थित बिंदु अपनी ही छवि होते हैं।
• दर्पण रेखा पर स्थित न होने वाले बिंदु की छवि दर्पण रेखा के दूसरी ओर समान दूरी पर होती है।
• मूल बिंदु और उसकी छवि को जोड़ने वाला रेखाखंड दर्पण रेखा के लंबवत होता है।

एक आकृति में घूर्णन सममिति होती है यदि उसे एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाने पर (360° से कम कोण पर) वह अपनी मूल स्थिति के समान दिखती है।

• घूर्णन का केंद्र (Centre of Rotation): वह निश्चित बिंदु जिसके चारों ओर आकृति घूमती है। यह आकृति के अंदर या बाहर हो सकता है।
• घूर्णन का कोण (Angle of Rotation): वह कोण जिसके द्वारा आकृति को घुमाया जाता है ताकि वह अपनी मूल स्थिति के समान दिखे। यह 0° और 360° के बीच होता है।
• घूर्णन क्रम (Order of Rotational Symmetry): यह बताता है कि एक पूर्ण घूर्णन (360°) में आकृति कितनी बार अपनी मूल स्थिति के समान दिखती है।

घूर्णन क्रम की गणना: घूर्णन क्रम = \( \frac{360°}{\text{घूर्णन का कोण}} \)

उदाहरण:

• एक वर्ग को उसके केंद्र के चारों ओर 90°, 180°, 270° और 360° पर घुमाने पर वह अपनी मूल स्थिति के समान दिखता है।
• घूर्णन का कोण = 90°
• घूर्णन क्रम = \( \frac{360°}{90°} = 4 \)
• एक समबाहु त्रिभुज को उसके केंद्र के चारों ओर 120°, 240° और 360° पर घुमाने पर वह अपनी मूल स्थिति के समान दिखता है।
• घूर्णन का कोण = 120°
• घूर्णन क्रम = \( \frac{360°}{120°} = 3 \)
• एक वृत्त में अनंत घूर्णन सममिति होती है, क्योंकि इसे किसी भी कोण पर घुमाने पर यह स्वयं पर संपाती होता है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

• प्रत्येक आकृति में 360° पर घूर्णन सममिति होती है (क्योंकि वह अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है)। इसे क्रम 1 की घूर्णन सममिति माना जाता है।
• यदि किसी आकृति में 360° से कम कोण पर घूर्णन सममिति नहीं है, तो उसका घूर्णन क्रम 1 होता है।

विभिन्न आकृतियों में घूर्णन सममिति:

| आकृति (Figure) | घूर्णन का केंद्र (Centre of Rotation) | घूर्णन का कोण (Angle of Rotation) | घूर्णन क्रम (Order of Rotational Symmetry) | |---|---|---|---| | वर्ग (Square) | विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु | 90° | 4 | | आयत (Rectangle) | विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु | 180° | 2 | | समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) | माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु | 120° | 3 | | समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) | विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु | 180° | 2 | | समचतुर्भुज (Rhombus) | विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु | 180° | 2 | | वृत्त (Circle) | केंद्र | कोई भी कोण | अनंत | | अर्धवृत्त (Semicircle) | कोई नहीं | कोई नहीं | 1 | | अक्षर S, N, Z | केंद्र | 180° | 2 | | अक्षर H, I, O, X | केंद्र | 180° | 2 | | अक्षर C, D, E, F, G, J, K, L, M, P, Q, R, T, U, V, W, Y, A, B | कोई नहीं | कोई नहीं | 1 |

एक आकृति में बिंदु सममिति होती है यदि उसे 180° के कोण पर घुमाने पर वह अपनी मूल स्थिति के समान दिखती है।

• घूर्णन का केंद्र: बिंदु सममिति में, घूर्णन का केंद्र वह बिंदु होता है जिसके चारों ओर आकृति को 180° घुमाया जाता है।
• घूर्णन क्रम: बिंदु सममिति वाली आकृतियों का घूर्णन क्रम हमेशा 2 होता है (क्योंकि 180° पर एक बार और 360° पर दूसरी बार)।
• उदाहरण:
• अक्षर 'S', 'N', 'Z', 'H', 'I', 'O', 'X' में बिंदु सममिति होती है।
• एक समांतर चतुर्भुज, आयत, वर्ग और समचतुर्भुज में बिंदु सममिति होती है।
• एक वृत्त में भी बिंदु सममिति होती है।

रेखा सममिति और बिंदु सममिति के बीच संबंध:

• यदि किसी आकृति में दो या दो से अधिक रेखा सममिति हैं जो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उस बिंदु पर बिंदु सममिति होने की संभावना है।
• सभी बिंदु सममित आकृतियों में रेखा सममिति नहीं होती है (उदाहरण: अक्षर 'S', 'N')।
• सभी रेखा सममित आकृतियों में बिंदु सममिति नहीं होती है (उदाहरण: समद्विबाहु त्रिभुज)।