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AP · Class 8 · 🧮 Maths · Chapter 10

Exponents and Powers

ఘాతాంకాలుఋణాత్మక ఘాతాంకాలుఘాతాంకాల నియమాలుప్రామాణిక రూపంపెద్ద సంఖ్యల పోలిక

ఈ అధ్యాయం ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాల భావనలను పరిచయం చేస్తుంది, ధనాత్మక మరియు ఋణాత్మక ఘాతాంకాలతో సహా. ఘాతాంకాల నియమాలను ఉపయోగించి సంఖ్యలను సరళీకరించడం మరియు చాలా పెద్ద మరియు చాలా చిన్న సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్యక్తీకరించడం ఎలాగో మీరు నేర్చుకుంటారు. ఈ భావనలు సైన్స్ మరియు ఇంజనీరింగ్‌లో సంఖ్యలను సులభంగా నిర్వహించడానికి చాలా ముఖ్యమైనవి.

घातांक और घात का परिचय

घातांक (Exponent) हमें बड़ी संख्याओं को संक्षिप्त रूप में लिखने में मदद करते हैं।

  • आधार (Base): वह संख्या जिसे बार-बार गुणा किया जाता है।
  • घातांक (Exponent/Power): वह संख्या जो बताती है कि आधार को कितनी बार स्वयं से गुणा किया गया है।
  • घातांकीय रूप (Exponential Form): आधार और घातांक का संयोजन।

उदाहरण:

  • 10^4 का अर्थ है 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000। यहाँ 10 आधार है और 4 घातांक है।
  • a^n का अर्थ है a × a × a × ... (n बार)।

बड़ी संख्याओं को घातांकीय रूप में व्यक्त करना

  • पृथ्वी का द्रव्यमान = 5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg
  • इसे 5.97 × 10^24 kg के रूप में लिखा जा सकता है।
  • यह घातांकों का उपयोग करके बड़ी संख्याओं को पढ़ने और समझने में आसान बनाता है।
❗ముఖ్యమైనది

याद रखें:

  • किसी भी संख्या की घात 1 स्वयं संख्या होती है, जैसे a^1 = a।
  • किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 हमेशा 1 होती है, जैसे a^0 = 1 (जहाँ a ≠ 0)।

ऋणात्मक घातांकों के साथ घात

जब घातांक ऋणात्मक होता है, तो इसका अर्थ है कि संख्या का व्युत्क्रम (reciprocal) लेना है।

  • परिभाषा: किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक a के लिए, a^-m = 1/a^m।

उदाहरण:

  • 10^-1 = 1/10^1 = 1/10
  • 10^-2 = 1/10^2 = 1/100
  • 3^-2 = 1/3^2 = 1/9

ऋणात्मक घातांकों का पैटर्न

  • जैसे-जैसे घातांक 1 से घटता है, संख्या का मान पिछले मान का 1/10 (यदि आधार 10 है) या 1/a (यदि आधार a है) हो जाता है।
  • 10^2 = 100
  • 10^1 = 10 (100 ÷ 10)
  • 10^0 = 1 (10 ÷ 10)
  • 10^-1 = 1/10 (1 ÷ 10)
  • 10^-2 = 1/100 (1/10 ÷ 10)

दशमलव संख्याओं का विस्तारित रूप (Expanded Form)

  • दशमलव संख्याओं को घातांकों का उपयोग करके विस्तारित रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
  • उदाहरण: 345.67 को विस्तारित रूप में लिखें।
  • 3 × 10^2 + 4 × 10^1 + 5 × 10^0 + 6 × 10^-1 + 7 × 10^-2
  • 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1 + 6 × (1/10) + 7 × (1/100)
📖నిర్వచనం

व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse): किसी संख्या a^m का व्युत्क्रम 1/a^m या a^-m होता है। उदाहरण: 2^3 का व्युत्क्रम 1/2^3 = 2^-3 है।

🚧తప్పుడు అభిప్రాయం

गलती न करें! a^-m का मतलब a एक ऋणात्मक संख्या नहीं है। इसका मतलब है 1/a^m। उदाहरण: 2^-3 का मान 1/8 है, न कि -8।

घातांकों के नियम (Laws of Exponents)

ये नियम धनात्मक और ऋणात्मक दोनों घातांकों के लिए मान्य हैं, जहाँ a और b गैर-शून्य पूर्णांक हैं, और m और n कोई भी पूर्णांक हैं।

  1. गुणा का नियम (Product Rule): जब आधार समान हों, तो घातांक जुड़ जाते हैं।
  • a^m × a^n = a^(m+n)
  • उदाहरण: 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5
  • ऋणात्मक घातांक के साथ: 2^-3 × 2^-2 = 2^(-3 + (-2)) = 2^(-3-2) = 2^-5
  1. भाग का नियम (Quotient Rule): जब आधार समान हों, तो घातांक घट जाते हैं।
  • a^m ÷ a^n = a^(m-n)
  • उदाहरण: 5^4 ÷ 5^2 = 5^(4-2) = 5^2
  • ऋणात्मक घातांक के साथ: 5^-2 ÷ 5^-3 = 5^(-2 - (-3)) = 5^(-2+3) = 5^1 = 5
  1. घात की घात का नियम (Power of a Power Rule): जब किसी घात की घात हो, तो घातांक गुणा हो जाते हैं।
  • (a^m)^n = a^(mn)
  • उदाहरण: (3^2)^3 = 3^(2×3) = 3^6
  • ऋणात्मक घातांक के साथ: (2^-2)^3 = 2^(-2×3) = 2^-6
  1. समान घातांक वाले गुणन का नियम (Product with Same Exponents Rule): जब घातांक समान हों, तो आधार गुणा हो जाते हैं।
  • a^m × b^m = (ab)^m
  • उदाहरण: 2^3 × 3^3 = (2×3)^3 = 6^3
  • ऋणात्मक घातांक के साथ: 2^-2 × 3^-2 = (2×3)^-2 = 6^-2
  1. समान घातांक वाले भाग का नियम (Quotient with Same Exponents Rule): जब घातांक समान हों, तो आधार भाग हो जाते हैं।
  • a^m ÷ b^m = (a/b)^m
  • उदाहरण: 6^3 ÷ 2^3 = (6/2)^3 = 3^3
  • ऋणात्मक घातांक के साथ: 10^-3 ÷ 2^-3 = (10/2)^-3 = 5^-3
  1. शून्य घातांक का नियम (Zero Exponent Rule): किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 हमेशा 1 होती है।
  • a^0 = 1 (जहाँ a ≠ 0)
  • उदाहरण: 5^0 = 1, (-7)^0 = 1

महत्वपूर्ण: ये सभी नियम ऋणात्मक घातांकों के लिए भी लागू होते हैं।

💡సూచన

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण घातांकों के नियमों को अच्छी तरह से याद करें और समझें। अधिकांश प्रश्न इन नियमों के सीधे अनुप्रयोग पर आधारित होते हैं। ऋणात्मक घातांकों के साथ नियमों का अभ्यास करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

मानक रूप (Standard Form) में बड़ी और छोटी संख्याओं को व्यक्त करना

मानक रूप (या वैज्ञानिक संकेतन) बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को लिखने का एक तरीका है, जिससे उन्हें पढ़ना और समझना आसान हो जाता है।

  • मानक रूप का प्रारूप: k × 10^n, जहाँ 1 ≤ k < 10 और n एक पूर्णांक है।

बहुत बड़ी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करना

  1. दशमलव बिंदु को संख्या के पहले गैर-शून्य अंक के बाद ले जाएँ।
  2. दशमलव बिंदु को जितनी जगह बाईं ओर ले जाया गया है, 10 की घात उतनी ही धनात्मक होगी।
  • उदाहरण: 149,600,000,000 मीटर (पृथ्वी से सूर्य की दूरी)
  • दशमलव बिंदु को 1 के बाद लाने के लिए 11 स्थान बाईं ओर ले जाएँ।
  • 1.496 × 10^11 मीटर

बहुत छोटी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करना

  1. दशमलव बिंदु को पहले गैर-शून्य अंक के बाद ले जाएँ।
  2. दशमलव बिंदु को जितनी जगह दाईं ओर ले जाया गया है, 10 की घात उतनी ही ऋणात्मक होगी।
  • उदाहरण: 0.000007 मिमी (लाल रक्त कोशिका का औसत व्यास)
  • दशमलव बिंदु को 7 के बाद लाने के लिए 6 स्थान दाईं ओर ले जाएँ।
  • 7 × 10^-6 मिमी
  • उदाहरण: 0.0016 सेमी (कागज के एक टुकड़े की मोटाई)
  • दशमलव बिंदु को 1 के बाद लाने के लिए 3 स्थान दाईं ओर ले जाएँ।
  • 1.6 × 10^-3 सेमी
⭐గుర్తుంచుకోండి

याद रखें:

  • यदि दशमलव बाईं ओर जाता है, तो 10 की घात धनात्मक होती है।
  • यदि दशमलव दाईं ओर जाता है, तो 10 की घात ऋणात्मक होती है।

बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की तुलना करना

मानक रूप संख्याओं की तुलना करना बहुत आसान बनाता है।

  1. घात की तुलना करें: जिस संख्या में 10 की घात अधिक होती है, वह संख्या बड़ी होती है।
  • उदाहरण: 1.5 × 10^11 और 3 × 10^8 की तुलना करें।
  • 10^11 > 10^8, इसलिए 1.5 × 10^11 > 3 × 10^8।
  1. यदि घात समान हों: तो k (दशमलव संख्या) की तुलना करें। जिस संख्या में k बड़ा होता है, वह संख्या बड़ी होती है।
  • उदाहरण: 3.2 × 10^5 और 1.8 × 10^5 की तुलना करें।
  • घात 5 समान है। 3.2 > 1.8, इसलिए 3.2 × 10^5 > 1.8 × 10^5।
  1. ऋणात्मक घातांकों के साथ तुलना: ऋणात्मक घातांकों में, 10 की घात जितनी कम (अधिक ऋणात्मक) होती है, संख्या उतनी ही छोटी होती है।
  • उदाहरण: 7 × 10^-6 और 1.2 × 10^-4 की तुलना करें।
  • -6 < -4, इसलिए 7 × 10^-6 < 1.2 × 10^-4।
  • (7 × 10^-6 = 0.000007 और 1.2 × 10^-4 = 0.00012)

सामान्य रूप (Usual Form) में बदलना

  • मानक रूप से सामान्य रूप में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु को 10 की घात के अनुसार दाईं या बाईं ओर ले जाएँ।
  • उदाहरण: 3.52 × 10^5 को सामान्य रूप में बदलें।
  • घात 5 धनात्मक है, इसलिए दशमलव को 5 स्थान दाईं ओर ले जाएँ: 352000।
  • उदाहरण: 7.54 × 10^-4 को सामान्य रूप में बदलें।
  • घात -4 ऋणात्मक है, इसलिए दशमलव को 4 स्थान बाईं ओर ले जाएँ: 0.000754।
💡సూచన

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण ग्रहों की दूरियों, कोशिकाओं के आकार आदि जैसे वास्तविक जीवन के उदाहरणों का उपयोग करके संख्याओं की तुलना करने वाले प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। सुनिश्चित करें कि आप धनात्मक और ऋणात्मक दोनों घातांकों के साथ तुलना करने में सहज हैं।

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