To verify the algebraic identity : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ఈ అధ్యాయం (a + b)² = a² + 2ab + b² అనే బీజగణిత సర్వసమీకరణాన్ని ఆచరణాత్మకంగా ధృవీకరించడంపై దృష్టి పెడుతుంది. విద్యార్థులు రేఖాచిత్రాలు మరియు నిర్మాణ పద్ధతుల ద్వారా ఈ సర్వసమీకరణం ఎలా ఏర్పడుతుందో నేర్చుకుంటారు. ఇది సంఖ్యల వర్గాలను లెక్కించడానికి మరియు బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను సరళీకరించడానికి/కారణాంకాలుగా విభజించడానికి ఈ సర్వసమీకరణం యొక్క అనువర్తనాలను అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది.
बीजगणितीय सर्वसमिका \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) का ज्यामितीय सत्यापन
यह सर्वसमिका बताती है कि दो राशियों के योग का वर्ग, पहली राशि के वर्ग, दूसरी राशि के वर्ग और दोनों राशियों के गुणनफल के दोगुने के योग के बराबर होता है। इसे ज्यामितीय रूप से सत्यापित किया जा सकता है।
- उद्देश्य: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) को सत्यापित करना।
- आवश्यक सामग्री: ड्राइंग शीट, कार्डबोर्ड, गोंद, रंगीन कागज, कटर और रूलर।
निर्माण विधि (Method of Construction):
- वर्ग ABCD: एक ड्राइंग शीट/कार्डबोर्ड से 'a' इकाई भुजा वाला एक वर्ग काटें। इसे ABCD नाम दें। इसका क्षेत्रफल \(a^2\) होगा।
- वर्ग CHGF: एक और ड्राइंग शीट/कार्डबोर्ड से 'b' इकाई भुजा वाला एक वर्ग काटें। इसे CHGF नाम दें। इसका क्षेत्रफल \(b^2\) होगा।
- आयत DCFE: 'a' इकाई लंबाई और 'b' इकाई चौड़ाई वाला एक आयत काटें। इसे DCFE नाम दें। इसका क्षेत्रफल \(ab\) होगा।
- आयत BIHC: 'b' इकाई लंबाई और 'a' इकाई चौड़ाई वाला एक आयत काटें। इसे BIHC नाम दें। इसका क्षेत्रफल \(ba\) या \(ab\) होगा।
प्रदर्शन (Demonstration):
- इन चारों आकृतियों को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि वे एक बड़ा वर्ग AIGE बनाएँ।
- वर्ग ABCD (भुजा 'a')
- वर्ग CHGF (भुजा 'b')
- आयत DCFE (लंबाई 'a', चौड़ाई 'b')
- आयत BIHC (लंबाई 'b', चौड़ाई 'a')
- इन चारों आकृतियों का कुल क्षेत्रफल:
- वर्ग ABCD का क्षेत्रफल \(= a^2\)
- वर्ग CHGF का क्षेत्रफल \(= b^2\)
- आयत DCFE का क्षेत्रफल \(= ab\)
- आयत BIHC का क्षेत्रफल \(= ba\)
- कुल क्षेत्रफल \(= a^2 + b^2 + ab + ba = a^2 + b^2 + 2ab\)
- स्पष्ट रूप से, AIGE एक वर्ग है जिसकी भुजा \((a+b)\) है।
- इसलिए, वर्ग AIGE का क्षेत्रफल \(= (a+b)^2\)
- चूंकि बड़े वर्ग का क्षेत्रफल उसके अंदर की आकृतियों के कुल क्षेत्रफल के बराबर होता है, अतः:
\((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\) इस प्रकार, बीजगणितीय सर्वसमिका \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) सत्यापित होती है। यहां, क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में है।
अवलोकन (Observation):
वास्तविक माप पर, यदि हम 'a' और 'b' के विभिन्न मान लेते हैं, तो हम पाएंगे कि दोनों पक्ष हमेशा बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि \(a = 3\) सेमी और \(b = 2\) सेमी:
- \((a+b) = (3+2) = 5\) सेमी
- \((a+b)^2 = 5^2 = 25\)
- \(a^2 = 3^2 = 9\)
- \(b^2 = 2^2 = 4\)
- \(ab = 3 \times 2 = 6\)
- \(2ab = 2 \times 6 = 12\)
- \(a^2 + b^2 + 2ab = 9 + 4 + 12 = 25\)
अतः, \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) सत्यापित होता है।
यह सर्वसमिका 'a' और 'b' के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।
एक सर्वसमिका एक समीकरण है जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होता है।
मुख्य सर्वसमिका: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
सर्वसमिका का उपयोग करके संख्याओं का वर्ग ज्ञात करना
इस सर्वसमिका का उपयोग बड़ी संख्याओं का वर्ग आसानी से ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, खासकर जब संख्या को दो सुविधाजनक संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सके।
- विधि: संख्या को \((a+b)\) के रूप में लिखें, जहां 'a' और 'b' ऐसी संख्याएँ हों जिनका वर्ग करना आसान हो (जैसे 10, 20, 100, आदि के गुणज)।
- फिर \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) सूत्र लागू करें।
परीक्षा में, गणना को सरल बनाने के लिए इस विधि का उपयोग करें, खासकर जब कैलकुलेटर की अनुमति न हो।
बीजगणितीय व्यंजकों का सरलीकरण और गुणनखंडन
यह सर्वसमिका बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने और उनका गुणनखंडन करने में भी बहुत उपयोगी है।
सरलीकरण (Simplification):
- जब आपको \((x+y)^2\) जैसे पद दिखें, तो उन्हें सीधे \(x^2 + 2xy + y^2\) के रूप में विस्तारित करें।
- यह व्यंजकों को खोलने और समान पदों को संयोजित करने में मदद करता है।
गुणनखंडन (Factorisation):
- यदि कोई व्यंजक \(x^2 + 2xy + y^2\) के रूप में है, तो उसे \((x+y)^2\) या \((x+y)(x+y)\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
- यह पूर्ण वर्ग त्रिपद (perfect square trinomial) का एक उदाहरण है।
पहचान कैसे करें:
- व्यंजक में तीन पद होने चाहिए।
- दो पद पूर्ण वर्ग होने चाहिए (जैसे \(x^2\) और \(y^2\))।
- तीसरा पद उन दो पदों के वर्गमूल के गुणनफल का दोगुना होना चाहिए (जैसे \(2xy\))।
उदाहरण के लिए, \(4x^2 + 12xy + 9y^2\)
- \(4x^2 = (2x)^2\)
- \(9y^2 = (3y)^2\)
- \(12xy = 2 \times (2x) \times (3y)\)
यह \((2x + 3y)^2\) के रूप में गुणनखंडित होता है।
छात्र अक्सर \((a+b)^2\) को \(a^2 + b^2\) लिख देते हैं। \(2ab\) पद को भूलना नहीं चाहिए!
