Home › Chhattisgarh › Class 10 › Maths › समान्तर श्रेढ़ी
समान्तर श्रेढ़ी
Chhattisgarh · Class 10 · 🧮 Maths · Chapter 4

समान्तर श्रेढ़ी

समान्तर श्रेढ़ीसार्व अंतरnवाँ पदपदों का योगसमान्तर माध्य

समान्तर श्रेढ़ी अध्याय में, आप संख्याओं के पैटर्न, श्रेढ़ी की परिभाषा, समान्तर श्रेढ़ी (AP) की पहचान, प्रथम पद और सार्व अंतर ज्ञात करना सीखते हैं। इसमें AP के nवें पद और n पदों के योग के सूत्र, समान्तर माध्य और दो राशियों के बीच AP का निर्माण भी शामिल है। यह अध्याय छात्रों को अनुक्रमों और श्रृंखलाओं की बुनियादी समझ प्रदान करता है, जो उच्च गणित के लिए महत्वपूर्ण है।

संख्याओं के पैटर्न की पहचान

संख्याओं के पैटर्न को समझना गणितीय सोच का आधार है।

  • पैटर्न एक निश्चित नियम या क्रम का पालन करने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला है।
  • उदाहरण के लिए, 2, 4, 6, 8, ... में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से 2 अधिक है।
  • 6, 11, 16, 21, ... में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या में 5 जोड़ने पर प्राप्त होती है।
  • पैटर्न की पहचान करने के लिए, हमें संख्याओं के बीच के संबंध को खोजना होता है। यह संबंध जोड़, घटाव, गुणा, भाग या अन्य गणितीय संक्रियाओं पर आधारित हो सकता है।
  • एक ही नियम का पालन करने वाले पैटर्न गणितीय श्रेढ़ियों का आधार बनते हैं।
❗महत्त्वपूर्ण

पैटर्न की पहचान करते समय, सभी पदों पर लागू होने वाले एकल, सुसंगत नियम को खोजना महत्वपूर्ण है।

श्रेढ़ी की परिभाषा और पहचान

  • श्रेढ़ी संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें क्रमिक संख्याओं के बीच एक निश्चित संबंध होता है।
  • यह संबंध या तो संख्याओं के बढ़ने (वृद्धि) या घटने (कमी) का हो सकता है।
  • उदाहरण के लिए:
  • 4, 10, 16, 22, ... में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या में 6 जोड़ने पर प्राप्त होती है।
  • 0, 3, 6, 9, ... में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या में 3 जोड़ने पर प्राप्त होती है।
  • -1, -3, -5, -7, ... में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या में 2 घटाने पर प्राप्त होती है।
  • श्रेढ़ी को पहचानने के लिए, हमें क्रमागत पदों के बीच के अंतर या अनुपात की जाँच करनी होती है।
📖परिभाषा

श्रेढ़ी (Progression): संख्याओं की एक श्रृंखला जिसमें क्रमिक संख्याओं के बीच एक निश्चित संबंध होता है।

समांतर श्रेढ़ी और सार्व अंतर

  • समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - A.P.): संख्याओं की ऐसी श्रृंखला जिसमें प्रथम पद के अतिरिक्त, प्रत्येक पद अपने से ठीक पहले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है।
  • यह निश्चित संख्या सार्व अंतर (common difference) कहलाती है। इसे d से दर्शाया जाता है।
  • सार्व अंतर d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
  • सार्व अंतर ज्ञात करना: किसी भी पद में से उसके ठीक पहले वाले पद को घटाकर सार्व अंतर d प्राप्त किया जा सकता है।
  • d = a_k+1 - a_k
  • उदाहरण:
  • 8, 13, 18, 23, ... यहाँ a_1 = 8, a_2 = 13, a_3 = 18।
  • d = 13 - 8 = 5
  • d = 18 - 13 = 5
  • सार्व अंतर d = 5 है।
  • -7, -11, -15, -19, ... यहाँ a_1 = -7, a_2 = -11।
  • d = -11 - (-7) = -11 + 7 = -4
  • सार्व अंतर d = -4 है।
  • समांतर श्रेढ़ी की पहचान: कोई दी गई सूची समांतर श्रेढ़ी है या नहीं, यह जानने के लिए, हमें क्रमागत पदों के बीच के अंतर की जाँच करनी होती है। यदि अंतर समान आता है, तो वह एक समांतर श्रेढ़ी है।
📖परिभाषा

समांतर श्रेढ़ी (A.P.): संख्याओं की एक सूची जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है। सार्व अंतर (d): वह निश्चित संख्या जो समांतर श्रेढ़ी के क्रमागत पदों के बीच का अंतर होती है।

🚧ग़लत धारणा

छात्र अक्सर सार्व अंतर को केवल पहले दो पदों के अंतर से ही निर्धारित कर लेते हैं। कम से कम तीन क्रमागत पदों के अंतर की जाँच करें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह वास्तव में एक समांतर श्रेढ़ी है।

समांतर श्रेढ़ी के अगले पद ज्ञात करना

  • यदि हमें किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्व अंतर d ज्ञात हो, तो हम उसके किसी भी अगले पद को ज्ञात कर सकते हैं।
  • प्रत्येक अगले पद को प्राप्त करने के लिए, हमें पिछले पद में सार्व अंतर d जोड़ना होता है।
  • दूसरा पद = a_1 + d
  • तीसरा पद = a_2 + d
  • चौथा पद = a_3 + d और इसी तरह आगे भी।
  • उदाहरण: समांतर श्रेढ़ी 3, 10, 17, ... के अगले पद ज्ञात करें।
  • यहाँ a_1 = 3।
  • सार्व अंतर d = 10 - 3 = 7।
  • तीसरा पद a_3 = 17।
  • चौथा पद a_4 = a_3 + d = 17 + 7 = 24।
  • पाँचवाँ पद a_5 = a_4 + d = 24 + 7 = 31।
  • छठवाँ पद a_6 = a_5 + d = 31 + 7 = 38।
  • यह विधि तब उपयोगी होती है जब हमें केवल कुछ ही अगले पद ज्ञात करने हों। अधिक पदों के लिए, nवें पद का सूत्र अधिक कुशल होता है।
💡सुझाव

छोटे प्रश्नों में, जैसे कि अगले तीन पद ज्ञात करना, सीधे सार्व अंतर जोड़ना सबसे तेज़ तरीका है।

समांतर श्रेढ़ी का व्यापक रूप

  • यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्व अंतर d हो, तो उसके पदों को a और d के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
  • समांतर श्रेढ़ी का व्यापक रूप:
  • पहला पद (a_1) = a
  • दूसरा पद (a_2) = a + d
  • तीसरा पद (a_3) = a + d + d = a + 2d
  • चौथा पद (a_4) = a + 2d + d = a + 3d
  • इस प्रकार, समांतर श्रेढ़ी का व्यापक रूप है: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
  • परिमित और अपरिमित समांतर श्रेढ़ी:
  • परिमित समांतर श्रेढ़ी: यदि पदों की संख्या निश्चित (सीमित) हो। उदाहरण: 2, 4, 6, 8।
  • अपरिमित समांतर श्रेढ़ी: यदि पदों की संख्या असीमित हो। उदाहरण: 2, 4, 6, 8, ...
  • उदाहरण: यदि a = 10 और d = -3 हो, तो प्रथम तीन पद हैं:
  • a_1 = 10
  • a_2 = 10 + (-3) = 7
  • a_3 = 10 + 2(-3) = 10 - 6 = 4
  • श्रेढ़ी: 10, 7, 4, ...
🧮सूत्र

समांतर श्रेढ़ी का व्यापक रूप: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... जहाँ a प्रथम पद है और d सार्व अंतर है।

⭐याद रखें

सार्व अंतर d कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, यह हमेशा धनात्मक पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है। यह ऋणात्मक, भिन्न या अपरिमेय भी हो सकता है।

समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद

  • समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद (a_n) वह पद होता है जो nवें स्थान पर आता है।
  • सूत्र का व्युत्पन्न:
  • a_1 = a
  • a_2 = a + d = a + (2-1)d
  • a_3 = a + 2d = a + (3-1)d
  • a_4 = a + 3d = a + (4-1)d
  • इस पैटर्न को देखकर, हम कह सकते हैं कि nवाँ पद है:

a_n = a + (n-1)d

  • यह सूत्र समांतर श्रेढ़ी का व्यापक पद भी कहलाता है।
  • यदि किसी समांतर श्रेढ़ी में m पद हैं, तो mवाँ पद a_m अंतिम पद होता है। इसे l से भी दर्शाया जा सकता है।
  • अनुप्रयोग:
  • किसी विशेष पद का मान ज्ञात करना।
  • यह ज्ञात करना कि कोई दी गई संख्या श्रेढ़ी का पद है या नहीं।
  • श्रेढ़ी में पदों की संख्या ज्ञात करना।
  • उदाहरण: दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं?
  • सबसे छोटी दो अंकों वाली संख्या जो 5 से विभाज्य है = 10
  • सबसे बड़ी दो अंकों वाली संख्या जो 5 से विभाज्य है = 95
  • श्रेढ़ी: 10, 15, 20, ..., 95
  • यहाँ a = 10, d = 5, a_n = 95
  • a_n = a + (n-1)d
  • 95 = 10 + (n-1)5
  • 85 = (n-1)5
  • 17 = n-1
  • n = 18
  • अतः, 5 से विभाज्य दो अंकों वाली 18 संख्याएँ हैं।
🧮सूत्र

समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद: a_n = a + (n-1)d जहाँ a_n nवाँ पद, a प्रथम पद, n पदों की संख्या और d सार्व अंतर है।

💡सुझाव

जब किसी समांतर श्रेढ़ी का अंतिम पद दिया गया हो, तो उसे a_n या l मानकर n का मान ज्ञात किया जा सकता है।

समांतर माध्य

  • यदि तीन राशियाँ a, A, b समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो बीच की राशि A को a और b का समांतर माध्य (Arithmetic Mean - A.M.) कहते हैं।
  • समांतर माध्य का सूत्र:
  • चूंकि a, A, b समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो सार्व अंतर समान होगा:

A - a = b - A

  • A + A = b + a
  • 2A = a + b
  • A = (a + b) / 2
  • दो राशियों का समांतर माध्य उन दोनों राशियों के योगफल का आधा होता है।
  • उदाहरण: √2 + 1 और √2 - 1 का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।
  • A = ((√2 + 1) + (√2 - 1)) / 2
  • A = (√2 + 1 + √2 - 1) / 2
  • A = (2√2) / 2
  • A = √2
📖परिभाषा

समांतर माध्य (A.M.): यदि a, A, b समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो A को a और b का समांतर माध्य कहते हैं।

🧮सूत्र

समांतर माध्य का सूत्र: A = (a + b) / 2

दो राशियों के बीच समांतर श्रेढ़ी का निर्माण

  • हम किन्हीं भी दो राशियों a और b के बीच n पद प्रविष्ट करके एक समांतर श्रेढ़ी का निर्माण कर सकते हैं।
  • मान लीजिए a और b के बीच n पद A_1, A_2, ..., A_n प्रविष्ट करने हैं।
  • तब श्रृंखला a, A_1, A_2, ..., A_n, b एक समांतर श्रेढ़ी होगी।
  • इस नई श्रेढ़ी में:
  • प्रथम पद = a
  • अंतिम पद = b
  • पदों की कुल संख्या = n + 2 (क्योंकि n पद प्रविष्ट किए गए हैं और a तथा b पहले से मौजूद हैं)।
  • सार्व अंतर d ज्ञात करना:
  • b इस श्रेढ़ी का (n+2)वाँ पद है।
  • b = a + ((n+2)-1)d
  • b = a + (n+1)d
  • b - a = (n+1)d
  • d = (b - a) / (n+1)
  • प्रविष्ट किए गए पद ज्ञात करना:
  • A_1 = a + d
  • A_2 = a + 2d
  • A_k = a + kd (जहाँ k प्रविष्ट किए गए पद का क्रम है)
  • उदाहरण: 11 और -5 के बीच 3 पद प्रविष्ट करते हुए समांतर श्रेढ़ी का निर्माण कीजिए।
  • यहाँ a = 11, b = -5, n = 3।
  • पदों की कुल संख्या = 3 + 2 = 5।
  • सार्व अंतर d = (-5 - 11) / (3 + 1) = -16 / 4 = -4।
  • प्रविष्ट किए गए पद:
  • A_1 = a + d = 11 + (-4) = 7
  • A_2 = a + 2d = 11 + 2(-4) = 11 - 8 = 3
  • A_3 = a + 3d = 11 + 3(-4) = 11 - 12 = -1
  • श्रेढ़ी: 11, 7, 3, -1, -5
🧮सूत्र

दो राशियों a और b के बीच n पद प्रविष्ट करने पर सार्व अंतर d: d = (b - a) / (n+1)

💡सुझाव

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि n प्रविष्ट किए गए पदों की संख्या है, न कि कुल पदों की संख्या। कुल पदों की संख्या n+2 होती है।

समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग

  • किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग (S_n) ज्ञात करने के लिए, हम एक विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं।
  • सूत्र का व्युत्पन्न (विधि 1 - पदों को जोड़ना):
  • मान लीजिए S_n = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d) --- (1)
  • पदों को विपरीत क्रम में लिखने पर:

S_n = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + a --- (2)

  • (1) और (2) को जोड़ने पर:

2S_n = [a + a+(n-1)d] + [(a+d) + a+(n-2)d] + ... + [a+(n-1)d + a] 2S_n = [2a+(n-1)d] + [2a+(n-1)d] + ... + [2a+(n-1)d] (n बार) 2S_n = n[2a+(n-1)d] S_n = n/2 [2a+(n-1)d]

  • सूत्र का व्युत्पन्न (विधि 2 - अंतिम पद का उपयोग करके):
  • हम जानते हैं कि a_n = l = a + (n-1)d
  • तो, S_n = n/2 [a + a + (n-1)d]
  • S_n = n/2 [a + l]
  • महत्वपूर्ण सूत्र:
  1. S_n = n/2 [2a+(n-1)d] (जब प्रथम पद a, सार्व अंतर d और पदों की संख्या n ज्ञात हो)
  2. S_n = n/2 [a+l] (जब प्रथम पद a, अंतिम पद l और पदों की संख्या n ज्ञात हो)
  • अनुप्रयोग:
  • किसी निश्चित संख्या तक के पदों का योग ज्ञात करना।
  • वास्तविक जीवन की समस्याओं में कुल मात्रा (जैसे कुल वेतन, कुल दूरी) ज्ञात करना।
  • उदाहरण: समांतर श्रेढ़ी 5, 1, -3, ... के 17 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
  • यहाँ a = 5, d = 1 - 5 = -4, n = 17।
  • S_n = n/2 [2a+(n-1)d]
  • S_17 = 17/2 [2(5) + (17-1)(-4)]
  • S_17 = 17/2 [10 + (16)(-4)]
  • S_17 = 17/2 [10 - 64]
  • S_17 = 17/2 [-54]
  • S_17 = 17 * (-27) = -459
🧮सूत्र

समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग:

  1. S_n = n/2 [2a+(n-1)d]
  2. S_n = n/2 [a+l] (जहाँ l अंतिम पद है)
💡सुझाव

यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग S_n दिया गया हो, तो nवाँ पद a_n = S_n - S_{n-1} सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है।

Ask SAAVI — Free