कोण

कोण ज्यामिति की एक मूलभूत अवधारणा है जो दो किरणों या रेखाखंडों के एक उभयनिष्ठ बिंदु से निकलने पर बनती है।

• कोण का निर्माण:
• जब दो किरणें एक ही प्रारंभिक बिंदु (शीर्ष) से निकलती हैं, तो वे एक कोण बनाती हैं।
• इन किरणों को कोण की भुजाएँ या आर्म्स कहते हैं।
• प्रारंभिक बिंदु को शीर्ष (Vertex) कहते हैं।
• कोण का माप इन भुजाओं के बीच के झुकाव या फैलाव को दर्शाता है, न कि भुजाओं की लंबाई को।
• [IMAGE: understanding_an_angle_fig1]

• कोणों को नाम देना:
• कोणों को आमतौर पर तीन अक्षरों से दर्शाया जाता है, जहाँ बीच वाला अक्षर हमेशा शीर्ष को दर्शाता है।
• उदाहरण के लिए, यदि शीर्ष B है और भुजाएँ BA और BC हैं, तो कोण को \(\angle ABC\) या \(\angle CBA\) लिखा जाता है।
• इसे केवल शीर्ष के अक्षर से भी दर्शाया जा सकता है, जैसे \(\angle B\), यदि कोई भ्रम की स्थिति न हो।
• कभी-कभी कोण को एक संख्या या ग्रीक अक्षर (जैसे \(\alpha, \beta, \theta\)) से भी चिह्नित किया जाता है।

• उदाहरण:
• [IMAGE: angle_ghk_figdiagram431] \(\angle GHK\) या \(\angle KHG\) या \(\angle H\)
• [IMAGE: angle_yzx_fig825] \(\angle YZX\) या \(\angle XZY\) या \(\angle Z\)
• [IMAGE: angle_zxy_fig2] \(\angle ZXY\) या \(\angle YXZ\) या \(\angle X\)

• दैनिक जीवन में कोण:
• दरवाजे का खुलना या बंद होना [IMAGE: door_swing_angle_fig31page20]
• घड़ी की सुइयाँ [IMAGE: analog_clock_fig61]
• कैंची की भुजाएँ [IMAGE: understanding_an_angle_fig29]
• किताब का खुलना [IMAGE: making_straight_and_right_angles_by_paper_folding_figbookopeningtoastraightangle]
• सड़क के संकेत [IMAGE: road_signs_and_angles_fig824]
• अशोक चक्र की तीलियाँ [IMAGE: ashoka_chakra_lines_and_angles_figanglesforestimationandmeasurement]

• महत्वपूर्ण बिंदु:
• कोण की भुजाओं की लंबाई कोण के माप को प्रभावित नहीं करती है। कोण केवल भुजाओं के बीच के फैलाव पर निर्भर करता है।
• [IMAGE: congruent_angles_fig865] इस चित्र में, कोण A और कोण B की भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, लेकिन उनके माप समान (60°) हैं, इसलिए वे सर्वांगसम कोण हैं।

कोणों को मापने के लिए अंश (डिग्री) नामक इकाई का उपयोग किया जाता है, जिसे \(^{\circ}\) प्रतीक से दर्शाया जाता है।

• चाँदा (Protractor):
• कोणों को मापने और बनाने के लिए चाँदे नामक उपकरण का उपयोग किया जाता है।
• चाँदा एक अर्धवृत्ताकार उपकरण होता है जिस पर \(0^{\circ}\) से \(180^{\circ}\) तक के निशान बने होते हैं।
• इसमें दो पैमाने होते हैं: एक अंदरूनी (बाएं से दाएं \(0^{\circ}\) से \(180^{\circ}\)) और एक बाहरी (दाएं से बाएं \(0^{\circ}\) से \(180^{\circ}\))।
• चाँदे का केंद्र बिंदु (central point) और आधार रेखा (base line) महत्वपूर्ण होती है।
• [IMAGE: protractor_figdiagram635]

• कोण मापने की विधि:

1. कोण के शीर्ष को चाँद के केंद्र बिंदु पर रखें।
2. कोण की एक भुजा को चाँद की आधार रेखा (\(0^{\circ}\) वाली रेखा) के साथ संरेखित करें।
3. उस पैमाने का उपयोग करें जो \(0^{\circ}\) से शुरू होता है (यदि भुजा दाईं ओर है तो आंतरिक, यदि बाईं ओर है तो बाहरी)।
4. कोण की दूसरी भुजा जहाँ पैमाने को काटती है, वह कोण का माप होता है।

• [IMAGE: angle_measurement_using_a_protractor_figoldingpapertoformarightangle]

• कोण बनाने की विधि:

1. एक किरण (भुजा) खींचें।
2. किरण के प्रारंभिक बिंदु (शीर्ष) को चाँद के केंद्र बिंदु पर रखें।
3. किरण को चाँद की \(0^{\circ}\) वाली रेखा के साथ संरेखित करें।
4. वांछित माप पर एक बिंदु अंकित करें।
5. शीर्ष से अंकित बिंदु तक एक दूसरी किरण खींचें। यह आपका कोण है।

• कोणों की तुलना:
• दो कोणों की तुलना उनके माप के आधार पर की जाती है। जिस कोण का माप अधिक होता है, वह बड़ा कोण होता है।
• [IMAGE: comparing_angles_figdiagram638a]
• कोणों की तुलना करते समय, भुजाओं की लंबाई का कोई महत्व नहीं होता है।

• उदाहरण:
• घड़ी में 6 बजे, घंटे और मिनट की सुइयों के बीच \(180^{\circ}\) का कोण बनता है। [IMAGE: clock_showing_time_fig84]
• 3 बजे, घंटे और मिनट की सुइयों के बीच \(90^{\circ}\) का कोण बनता है।

• अभ्यास के लिए:
• [IMAGE: triangle_for_angle_measurement_figmeasuringananglewithaprotractor] इस त्रिभुज के प्रत्येक कोण को चाँदे से मापें।

कोणों को उनके माप के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है।

• शून्य कोण (Zero Angle):
• वह कोण जिसका माप \(0^{\circ}\) हो।
• जब दो किरणें एक ही दिशा में एक-दूसरे के ऊपर संपाती होती हैं।
• [IMAGE: zero_angle_fig822]

• न्यूनकोण (Acute Angle):
• वह कोण जिसका माप \(0^{\circ}\) से अधिक और \(90^{\circ}\) से कम हो।
• उदाहरण: \(30^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}\)
• [IMAGE: examples_of_acute_angles_fig215]

• समकोण (Right Angle):
• वह कोण जिसका माप ठीक \(90^{\circ}\) हो।
• समकोण में एक भुजा दूसरी भुजा पर लंब होती है।
• इसे एक छोटे वर्ग के चिह्न से दर्शाया जाता है।
• [IMAGE: right_angle_fig55]

• अधिक कोण (Obtuse Angle):
• वह कोण जिसका माप \(90^{\circ}\) से अधिक और \(180^{\circ}\) से कम हो।
• उदाहरण: \(105^{\circ}, 120^{\circ}, 155^{\circ}\)
• [IMAGE: angle_por_130_fig3]

• सरल कोण (Straight Angle):
• वह कोण जिसका माप ठीक \(180^{\circ}\) हो।
• यह एक सीधी रेखा बनाता है, जहाँ दोनों किरणें एक-दूसरे के विपरीत दिशा में होती हैं।
• [IMAGE: straight_angle_fig27]

• प्रतिवर्ती कोण (Reflex Angle):
• वह कोण जिसका माप \(180^{\circ}\) से अधिक और \(360^{\circ}\) से कम हो।
• यह कोण का बाहरी भाग होता है।
• [IMAGE: reflex_angles_fig4page23]

• सम्पूर्ण कोण (Complete Angle):
• वह कोण जिसका माप ठीक \(360^{\circ}\) हो।
• जब एक किरण अपने प्रारंभिक बिंदु के चारों ओर एक पूरा चक्कर लगाकर अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है।
• [IMAGE: complete_angle_fig2]

• कोणों के प्रकारों का सारांश:

| कोण का प्रकार | माप की सीमा | उदाहरण | |:--------------|:------------------------------------------|:----------------------------------------| | शून्य कोण | \(0^{\circ}\) | दो संपाती किरणें | | न्यूनकोण | \(0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}\) | \(30^{\circ}, 60^{\circ}, 85^{\circ}\) | | समकोण | \(\theta = 90^{\circ}\) | 'L' आकार; घड़ी में 3 बजे | | अधिक कोण | \(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\) | \(110^{\circ}, 135^{\circ}, 170^{\circ}\)| | सरल कोण | \(\theta = 180^{\circ}\) | सीधी रेखा; घड़ी में 6 बजे | | प्रतिवर्ती कोण | \(180^{\circ} < \theta < 360^{\circ}\)| \(210^{\circ}, 270^{\circ}, 300^{\circ}\)| | सम्पूर्ण कोण | \(\theta = 360^{\circ}\) | एक पूरा चक्कर |