क्षेत्रमिति-2 परिमाप
अध्याय 'क्षेत्रमिति-2 परिमाप' छात्रों को बंद आकृतियों के परिमाप की अवधारणा से परिचित कराता है। इसमें आयत, वर्ग और वृत्त जैसी विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के परिमाप की गणना करने के तरीके शामिल हैं। छात्र सीखेंगे कि परिमाप क्या है, इसे कैसे मापा जाता है, और दैनिक जीवन में इसकी क्या उपयोगिता है, जैसे कि किसी खेत के चारों ओर बाड़ लगाना या किसी धावक द्वारा तय की गई दूरी की गणना करना। यह अध्याय छात्रों को ज्यामितीय मापों की बुनियादी समझ विकसित करने में मदद करता है।
परिमाप
परिमाप किसी भी बंद आकृति की सीमा की कुल लम्बाई होती है।
- यदि आप किसी बंद आकृति के पथ पर एक बिंदु से चलना प्रारंभ करते हैं और पूरा एक चक्कर लगाकर उसी बिंदु पर वापस पहुँचते हैं, तो आपके द्वारा तय की गई कुल दूरी उस आकृति का परिमाप कहलाती है।
- परिमाप का उपयोग किसी क्षेत्र को तार से घेरने, अहाता बनाने या किसी वस्तु के चारों ओर की लम्बाई ज्ञात करने में होता है।
- उदाहरण:
- खेतों की बाड़ लगाना।
- फोटो फ्रेम के चारों ओर पट्टी लगाना।
- किसी कमरे के चारों ओर झालर लगाना।
बंद आकृतियाँ:
- वह आकृतियाँ जो एक ही बिंदु से शुरू होकर उसी बिंदु पर समाप्त होती हैं और कहीं से भी खुली नहीं होतीं।
- उदाहरण: त्रिभुज, वर्ग, आयत, वृत्त, बहुभुज।
- [IMAGE: closed_figure_fig11] एक बंद आकृति का उदाहरण है।
- [IMAGE: closed_figure_chest_with_measuring_tape_fig1] सीने का माप लेना भी परिमाप का एक व्यावहारिक उदाहरण है।
खुली आकृतियाँ:
- वह आकृतियाँ जो एक बिंदु से शुरू होकर दूसरे बिंदु पर समाप्त होती हैं और बीच में कहीं से भी बंद नहीं होतीं।
- उदाहरण: 'C' अक्षर, 'U' अक्षर।
महत्वपूर्ण:
- परिमाप केवल बंद आकृतियों का ही संभव है। खुली आकृतियों का परिमाप नहीं होता।
परिमाप: किसी भी बंद आकृति की सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग या उसके चारों ओर की कुल दूरी।
परिमाप का मात्रक वही होता है जो लम्बाई का होता है (जैसे सेमी, मीटर, किमी)।
क्रियाकलाप (परिमाप की अवधारणा)
परिमाप की अवधारणा को समझने के लिए विभिन्न आकृतियों के किनारों को मापना और जोड़ना एक प्रभावी तरीका है।
- किसी भी बहुभुज का परिमाप: उसकी सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग।
- यदि एक आकृति की भुजाएँ \(a, b, c, d, ...\) हैं, तो उसका परिमाप \(= a + b + c + d + ...\)
उदाहरण:
- चतुर्भुज का परिमाप: [IMAGE: perimeter_of_a_quadrilateral_rough_sketch_a_figsquareabcd]
- यदि एक चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB, BC, CD, DA हैं, तो उसका परिमाप \(= AB + BC + CD + DA\).
- यदि AB = 5 सेमी, BC = 4 सेमी, CD = 6 सेमी, DA = 7 सेमी, तो परिमाप \(= 5 + 4 + 6 + 7 = 22\) सेमी।
- त्रिभुज का परिमाप: [IMAGE: perimeter_of_a_triangle_fig7]
- यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ \(a, b, c\) हैं, तो उसका परिमाप \(= a + b + c\).
क्रियाकलाप 1: टेबल का ऊपरी तल
- टेबल के ऊपरी तल के किनारों को स्केल से मापें। मान लीजिए, AB = 10 सेमी, BC = 8 सेमी, CD = 10 सेमी, DA = 8 सेमी।
- कुल योग = \(10 + 8 + 10 + 8 = 36\) सेमी। यह टेबल के ऊपरी तल का परिमाप है।
क्रियाकलाप 2: शतरंज बोर्ड
- शतरंज बोर्ड के बाहरी किनारों को मापें। चूंकि यह एक वर्ग होता है, मान लीजिए प्रत्येक भुजा 30 सेमी है।
- कुल योग = \(30 + 30 + 30 + 30 = 120\) सेमी। यह शतरंज बोर्ड का परिमाप है।
क्रियाकलाप 3: फुटबॉल मैदान
- [IMAGE: kabaddi_ground_abcd_fig1] (कबड्डी मैदान का चित्र, फुटबॉल मैदान के रूप में उपयोग किया जा सकता है)
- एक आयताकार फुटबॉल मैदान PQRS की लम्बाई PQ = RS = 100 मीटर और चौड़ाई QR = SP = 60 मीटर है।
- गोलू द्वारा एक चक्कर में चली गई दूरी = \(PQ + QR + RS + SP = 100 + 60 + 100 + 60 = 320\) मीटर।
- यदि गोलू रोज़ाना एक चक्कर लगाता है, तो वह 320 मीटर चलता है।
निष्कर्ष: इन सभी क्रियाकलापों से यह स्पष्ट होता है कि किसी भी आकृति के सभी किनारों की लम्बाइयों का योग ही उस आकृति का परिमाप होता है।
किसी भी बहुभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है।
आयत का परिमाप
आयत एक चतुर्भुज होता है जिसकी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं, और प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है।
- एक आयत में दो लम्बाई (l) और दो चौड़ाई (b) होती हैं।
- [IMAGE: TODO: आयत ABCD, लम्बाई 'l' और चौड़ाई 'b' के साथ] (NCERT चित्र - आयत)
आयत का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र:
- आयत का परिमाप = सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग
- परिमाप = लम्बाई + चौड़ाई + लम्बाई + चौड़ाई
- परिमाप = \(l + b + l + b\)
- परिमाप = \(2l + 2b\)
- परिमाप = \(2 (l + b)\)
उदाहरण:
- यदि एक आयत की लम्बाई = 10 सेमी और चौड़ाई = 5 सेमी है।
- परिमाप = \(2 \times (10 + 5)\) सेमी
- परिमाप = \(2 \times 15\) सेमी
- परिमाप = \(30\) सेमी
महत्वपूर्ण तथ्य:
- प्रत्येक वर्ग एक आयत होता है, क्योंकि वर्ग में भी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं तथा प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है।
- परन्तु, प्रत्येक आयत एक वर्ग नहीं होता, क्योंकि आयत की सभी भुजाएँ बराबर होना आवश्यक नहीं है।
आयत का परिमाप \(= 2 \times (लम्बाई + चौड़ाई)\) या \(P = 2 (l + b)\)
छात्र अक्सर आयत और वर्ग के बीच के संबंध को लेकर भ्रमित होते हैं। याद रखें: सभी वर्ग आयत होते हैं, लेकिन सभी आयत वर्ग नहीं होते।
वर्ग का परिमाप
वर्ग एक विशेष प्रकार का आयत होता है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है।
- चूंकि वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, मान लीजिए प्रत्येक भुजा की लम्बाई 'a' इकाई है।
- [IMAGE: perimeter_of_a_square_figtable3] (फोटो फ्रेम का उदाहरण)
वर्ग का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र:
- वर्ग का परिमाप = सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग
- परिमाप = भुजा + भुजा + भुजा + भुजा
- परिमाप = \(a + a + a + a\)
- परिमाप = \(4 \times a\)
उदाहरण:
- यदि एक वर्ग की भुजा = 6 सेमी है।
- परिमाप = \(4 \times 6\) सेमी
- परिमाप = \(24\) सेमी
दैनिक जीवन में उपयोग:
- किसी वर्गाकार खेत के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लम्बाई ज्ञात करना।
- वर्गाकार फोटो फ्रेम के चारों ओर सजावटी पट्टी लगाना।
- [IMAGE: perimeter_of_a_photo_frame_fig832] फोटो फ्रेम का परिमाप।
वर्ग का परिमाप \(= 4 \times भुजा\) या \(P = 4a\)
परिमाप का मात्रक एवं अनुप्रयोग
चूँकि परिमाप वास्तव में एक लम्बाई ही है, अतः इसका मात्रक वही होगा जो लम्बाई का होता है।
- मात्रक: सेंटीमीटर (सेमी), मीटर (मी), किलोमीटर (किमी), मिलीमीटर (मिमी) आदि।
- परिमाप की गणना करते समय, सभी भुजाओं की लंबाइयों को एक ही मात्रक में होना चाहिए। यदि वे अलग-अलग मात्रकों में हैं, तो उन्हें पहले एक समान मात्रक में बदलना होगा।
उदाहरण:
- यदि एक आयत की लम्बाई 20 सेमी और चौड़ाई 0.5 मीटर है, तो पहले चौड़ाई को सेमी में बदलें: \(0.5 \text{ मीटर} = 0.5 \times 100 \text{ सेमी} = 50 \text{ सेमी}\).
- अब परिमाप = \(2 \times (20 + 50)\) सेमी = \(2 \times 70\) सेमी = \(140\) सेमी।
- यदि मीटर में ज्ञात करना है, तो 140 सेमी = \(140 / 100\) मीटर = \(1.4\) मीटर।
दैनिक जीवन के अनुप्रयोग:
- उदाहरण 1: एक आयताकार मैदान की लम्बाई 50 मीटर और चौड़ाई 25 मीटर है। एक धावक इसके चारों ओर 10 चक्कर लगाता है। उसने कितनी दूरी तय की?
- मैदान का परिमाप = \(2 \times (50 + 25)\) मीटर = \(2 \times 75\) मीटर = \(150\) मीटर।
- एक चक्कर में तय दूरी = 150 मीटर।
- 10 चक्कर में तय दूरी = \(10 \times 150\) मीटर = \(1500\) मीटर।
- उदाहरण 2: यदि एक वर्ग का परिमाप 200 मीटर है, तो उसकी भुजा और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- वर्ग का परिमाप = \(4 \times भुजा\)
- \(200 = 4 \times भुजा\)
- भुजा = \(200 / 4 = 50\) मीटर।
- वर्ग का क्षेत्रफल = \(भुजा \times भुजा = 50 \times 50 = 2500\) वर्ग मीटर।
- [IMAGE: running_track_fig180] रनिंग ट्रैक का परिमाप।
- [IMAGE: two_concentric_square_tracks_fig6] दो संकेंद्रीय वर्गाकार ट्रैक का परिमाप।
परिमाप की गणना करते समय, हमेशा मात्रकों पर ध्यान दें। यदि भुजाएँ अलग-अलग मात्रकों में दी गई हैं, तो गणना से पहले उन्हें एक समान मात्रक में परिवर्तित करना न भूलें।
वृत्त का परिमाप (परिधि)
वृत्त का परिमाप उसकी परिधि कहलाता है। यह वृत्त के चारों ओर की कुल लम्बाई होती है।
- वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात:
- प्राचीन काल से ही गणितज्ञों ने यह पाया है कि किसी भी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात हमेशा एक ही स्थिर संख्या होता है।
- इस स्थिर संख्या को ग्रीक अक्षर 'पाई' (\(\pi\)) से दर्शाया जाता है।
- \(\pi\) का मान लगभग \(22/7\) या \(3.14\) होता है।
- [IMAGE: cg_c6_maths_ch17_t6_scene1]
- सूत्र की व्युत्पत्ति:
- परिधि / व्यास = \(\pi\)
- यदि वृत्त की त्रिज्या 'r' है, तो उसका व्यास 'd' = \(2r\) होता है।
- मान रखने पर: परिधि / \(2r = \pi\)
- दोनों तरफ \(2r\) से गुणा करने पर, हमें वृत्त की परिधि का सूत्र मिलता है:
- वृत्त की परिधि (C) = \(2\pi r\)
- [IMAGE: cg_c6_maths_ch17_t6_scene2]
उदाहरण:
- उदाहरण 1: किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
- दिया गया है: त्रिज्या (r) = 7 सेमी
- सूत्र: \(C = 2\pi r\)
- \(C = 2 \times (22/7) \times 7\)
- \(C = 2 \times 22 = 44\) सेमी
- [IMAGE: cg_c6_maths_ch17_t6_scene3]
- उदाहरण 2: किसी वृत्त का एक चक्कर 1 किमी का है। उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
- दिया गया है: परिधि (C) = 1 किमी = 1000 मीटर
- सूत्र: \(C = 2\pi r\)
- \(1000 = 2 \times (22/7) \times r\)
- \(r = (1000 \times 7) / (2 \times 22)\)
- \(r = 7000 / 44 = 1750 / 11 \approx 159.09\) मीटर
- [IMAGE: cg_c6_maths_ch17_t6_scene4]
अभ्यास प्रश्न:
- विभिन्न त्रिज्याओं के लिए परिधि की गणना करें।
- विभिन्न परिधियों के लिए त्रिज्या की गणना करें।
- पहिए के चक्कर से संबंधित प्रश्न।
वृत्त की परिधि (C) \(= 2\pi r\) जहाँ \(r\) वृत्त की त्रिज्या है और \(\pi \approx 22/7\) या \(3.14\).
