गति

गति क्या है?

• जब कोई वस्तु समय के साथ अपनी स्थिति बदलती है, तो उसे गति में कहा जाता है।
• गति एक सापेक्ष पद है। एक वस्तु एक व्यक्ति के लिए गतिशील हो सकती है, जबकि दूसरे के लिए स्थिर।
• उदाहरण: ट्रेन में बैठे यात्री एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर होते हैं, लेकिन ट्रेन के बाहर खड़े व्यक्ति के लिए वे गतिशील होते हैं।

निर्देश बिंदु (Reference Point)

• किसी वस्तु की गति का वर्णन करने के लिए हमें एक निर्देश बिंदु की आवश्यकता होती है।
• निर्देश बिंदु वह स्थिर बिंदु होता है जिसके सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन को मापा जाता है।
• इसे मूल बिंदु भी कहते हैं।
• उदाहरण: किसी घर के सापेक्ष स्कूल की स्थिति, रेलवे स्टेशन के सापेक्ष ट्रेन की गति।

गति के प्रकार (सरलीकरण)

• दैनिक जीवन में गतियाँ जटिल होती हैं (जैसे चलते व्यक्ति के हाथ-पैर की गति, वाहन के पुर्जों की गति)।
• अध्ययन को सरल बनाने के लिए, हम वस्तु को एक बिंदु वस्तु मानते हैं।
• यह बिंदु वस्तु वह होती है जहाँ वस्तु का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित माना जाता है।
• यह सरलीकरण तब मान्य होता है जब वस्तु द्वारा तय की गई दूरी उसके आकार की तुलना में बहुत अधिक हो।

सरल रैखिक गति के उदाहरण:

• सीधी रेल की पटरी पर ट्रेन की गति।
• ऊँचाई से गिराने पर पत्थर की गति।
• सीधी सड़क पर चलती कार की गति।

दूरी (Distance)

• किसी वस्तु द्वारा तय किए गए मार्ग की कुल लंबाई को दूरी कहते हैं।
• यह एक अदिश राशि है (केवल परिमाण होता है, दिशा नहीं)।
• दूरी हमेशा धनात्मक होती है या शून्य हो सकती है (यदि वस्तु गति न करे)। यह ऋणात्मक नहीं हो सकती।
• दूरी तय किए गए पथ पर निर्भर करती है।
• SI मात्रक: मीटर (m)। अन्य मात्रक: किलोमीटर (km), सेंटीमीटर (cm)।

विस्थापन (Displacement)

• किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी को विस्थापन कहते हैं।
• यह एक सदिश राशि है (परिमाण और दिशा दोनों होते हैं)।
• विस्थापन धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
• शून्य विस्थापन: यदि वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति पर वापस आ जाती है, तो विस्थापन शून्य होता है, भले ही उसने कुछ दूरी तय की हो।
• विस्थापन तय किए गए पथ पर निर्भर नहीं करता, केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है।
• SI मात्रक: मीटर (m)।

दूरी और विस्थापन में अंतर:

| विशेषता | दूरी (Distance) | विस्थापन (Displacement) | |:------------|:--------------------------------------------------|:------------------------------------------------------| | परिभाषा | तय किए गए मार्ग की कुल लंबाई | प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी | | प्रकार | अदिश राशि (केवल परिमाण) | सदिश राशि (परिमाण और दिशा दोनों) | | मान | हमेशा धनात्मक या शून्य | धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है | | पथ निर्भरता| तय किए गए पथ पर निर्भर करती है | तय किए गए पथ पर निर्भर नहीं करती (केवल प्रारंभिक/अंतिम स्थिति) | | तुलना | दूरी \(\ge\) विस्थापन का परिमाण | विस्थापन का परिमाण \(\le\) दूरी |

उदाहरण:

• एक व्यक्ति बिंदु O से A तक 50 km चलता है और फिर A से D तक 40 km वापस आता है।
• तय की गई कुल दूरी: \(50 \text{ km} + 40 \text{ km} = 90 \text{ km}\)
• विस्थापन: प्रारंभिक स्थिति O, अंतिम स्थिति D। यदि O से A 50 km है और D, O से 10 km दूर है, तो विस्थापन \(10 \text{ km}\) (O से D की ओर)।
• यदि कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर एक पूरा चक्कर लगाती है:
• दूरी: वृत्त की परिधि \((2\pi r)\)
• विस्थापन: शून्य (क्योंकि प्रारंभिक और अंतिम बिंदु समान हैं)

अदिश और सदिश राशियाँ:

• अदिश राशि (Scalar Quantity): वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण (मान) की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं।
• उदाहरण: दूरी, चाल, द्रव्यमान, समय, तापमान, ऊर्जा।
• सदिश राशि (Vector Quantity): वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण के साथ-साथ दिशा की भी आवश्यकता होती है।
• उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग।

चाल (Speed)

• किसी वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गई दूरी को चाल कहते हैं।
• सूत्र: \(\text{चाल} = \frac{\text{तय की गई दूरी}}{\text{लिया गया कुल समय}}

\)

• यह एक अदिश राशि है (केवल परिमाण होता है)।
• चाल हमेशा धनात्मक होती है।
• SI मात्रक: मीटर/सेकंड (m/s)। अन्य मात्रक: किलोमीटर/घंटा (km/h).

औसत चाल (Average Speed)

• किसी वस्तु द्वारा तय की गई कुल दूरी और कुल समय अंतराल का अनुपात औसत चाल कहलाता है।
• सूत्र: \(\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{कुल समयांतराल}}

\)

• औसत चाल वस्तु की क्षण-क्षण की चाल को नहीं दर्शाती, बल्कि पूरे यात्रा की औसत दर को बताती है।

वेग (Velocity)

• किसी वस्तु द्वारा इकाई समय में एक निश्चित दिशा में तय की गई दूरी (अर्थात विस्थापन) को वेग कहते हैं।
• सूत्र: \(\text{वेग} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समयांतराल}}

\)

• यह एक सदिश राशि है (परिमाण और दिशा दोनों होते हैं)।
• वेग धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
• वेग की दिशा विस्थापन की दिशा में होती है।
• SI मात्रक: मीटर/सेकंड (m/s)।

औसत वेग (Average Velocity)

• किसी वस्तु का औसत वेग उसके कुल विस्थापन और कुल समय अंतराल का अनुपात होता है।
• सूत्र: \(\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समयांतराल}}

\)

• यदि वस्तु का वेग एक समान है, तो औसत वेग और तात्क्षणिक वेग समान होते हैं।
• यदि वेग परिवर्तनशील है, तो औसत वेग प्रारंभिक और अंतिम वेग के औसत के बराबर हो सकता है, बशर्ते त्वरण स्थिर हो: \(\text{औसत वेग} = \frac{\text{प्रारंभिक वेग} + \text{अंतिम वेग}}{2} = \frac{u+v}{2}\)

चाल और वेग में अंतर:

| विशेषता | चाल (Speed) | वेग (Velocity) | |:------------|:--------------------------------------------------|:---------------------------------------------------| | परिभाषा | इकाई समय में तय की गई दूरी | इकाई समय में एक निश्चित दिशा में तय की गई दूरी (विस्थापन) | | प्रकार | अदिश राशि | सदिश राशि | | मान | हमेशा धनात्मक | धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है | | निर्भरता | तय की गई दूरी पर निर्भर | विस्थापन पर निर्भर | | समानता | एक समान गति में, चाल = वेग का परिमाण | एक समान गति में, वेग का परिमाण = चाल |

एक समान गति (Uniform Motion)

• जब कोई वस्तु समान समय अंतराल में समान दूरी तय करती है, तो उसकी गति एक समान गति कहलाती है।
• इस गति में वस्तु की चाल और वेग नियत रहते हैं।
• उदाहरण: सीधी सड़क पर नियत चाल से चलती कार।

असमान गति (Non-Uniform Motion)

• जब कोई वस्तु समान समय अंतराल में असमान दूरी तय करती है, तो उसकी गति असमान गति कहलाती है।
• इस गति में वस्तु की चाल या वेग या दोनों परिवर्तनशील होते हैं।
• उदाहरण: भीड़भाड़ वाली सड़क पर चलती कार, ऊपर से गिरता पत्थर (गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग बढ़ता है)।

दूरी-समय ग्राफ (Distance-Time Graph)

• यह ग्राफ समय के साथ वस्तु द्वारा तय की गई दूरी में परिवर्तन को दर्शाता है।
• X-अक्ष: समय (Time)
• Y-अक्ष: दूरी (Distance)

दूरी-समय ग्राफ से जानकारी:

1. एक समान गति (Uniform Motion):

• दूरी-समय ग्राफ एक सीधी रेखा होता है जो मूल बिंदु से गुजरता है या किसी निश्चित दूरी से शुरू होता है।
• ग्राफ की ढलान (slope) वस्तु की चाल को दर्शाती है।
• अधिक ढलान का मतलब अधिक चाल।
• चाल की गणना: \(v = \frac{S_2 - S_1}{t_2 - t_1}\) (ग्राफ की ढलान)

1. असमान गति (Non-Uniform Motion):

• दूरी-समय ग्राफ एक वक्र रेखा होता है।
• वक्र की ढलान लगातार बदलती रहती है, जिसका अर्थ है कि वस्तु की चाल बदल रही है।

1. वस्तु का विराम अवस्था में होना (Object at Rest):

• जब वस्तु विराम अवस्था में होती है, तो समय बीतने के साथ उसकी दूरी नहीं बदलती।
• दूरी-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होता है।

दूरी-समय ग्राफ की ढलान (Slope of Distance-Time Graph):

• दूरी-समय ग्राफ की ढलान वस्तु की चाल (Speed) को दर्शाती है।
• ढलान \( = \frac{\text{Y-अक्ष पर परिवर्तन}}{\text{X-अक्ष पर परिवर्तन}} = \frac{\text{दूरी में परिवर्तन}}{\text{समय में परिवर्तन}} = \text{चाल}\)

वेग-समय ग्राफ (Velocity-Time Graph)

• यह ग्राफ समय के साथ वस्तु के वेग में परिवर्तन को दर्शाता है।
• X-अक्ष: समय (Time)
• Y-अक्ष: वेग (Velocity)

वेग-समय ग्राफ से जानकारी:

1. एक समान वेग (Uniform Velocity) / शून्य त्वरण:

• वेग-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होता है।
• इसका अर्थ है कि वस्तु का वेग नियत है और त्वरण शून्य है।

1. एक समान त्वरण (Uniform Acceleration):

• वेग-समय ग्राफ एक सीधी रेखा होता है जो समय अक्ष से एक निश्चित कोण पर झुकी होती है।
• ग्राफ की ढलान वस्तु के त्वरण को दर्शाती है।
• त्वरण की गणना: \(a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\) (ग्राफ की ढलान)
• ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है।

1. असमान त्वरण (Non-Uniform Acceleration):

• वेग-समय ग्राफ एक वक्र रेखा होता है।
• वक्र की ढलान लगातार बदलती रहती है, जिसका अर्थ है कि वस्तु का त्वरण बदल रहा है।

वेग-समय ग्राफ की ढलान (Slope of Velocity-Time Graph):

• वेग-समय ग्राफ की ढलान वस्तु के त्वरण (Acceleration) को दर्शाती है।
• ढलान \( = \frac{\text{Y-अक्ष पर परिवर्तन}}{\text{X-अक्ष पर परिवर्तन}} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{समय में परिवर्तन}} = \text{त्वरण}\)

वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल (Area under Velocity-Time Graph):

• वेग-समय ग्राफ और समय अक्ष के बीच का क्षेत्रफल वस्तु द्वारा तय किया गया विस्थापन (या दूरी, यदि एक ही दिशा में गति हो) को दर्शाता है।
• क्षेत्रफल \( = \text{वेग} \times \text{समय} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} \times \text{समय} = \text{विस्थापन}\)

त्वरण (Acceleration)

• किसी वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
• सूत्र: \(\text{त्वरण} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{समयांतराल}} = \frac{v-u}{t}\)
• जहाँ \(u\) प्रारंभिक वेग, \(v\) अंतिम वेग और \(t\) समय है।
• यह एक सदिश राशि है।
• SI मात्रक: मीटर/सेकंड² (m/s²)।
• धनात्मक त्वरण: जब वस्तु का वेग समय के साथ बढ़ता है।
• ऋणात्मक त्वरण (मंदन/अवत्वरण): जब वस्तु का वेग समय के साथ घटता है। इसे \(-a\) से दर्शाते हैं।

एक समान त्वरण (Uniform Acceleration)

• जब वस्तु का वेग समान समय अंतराल में समान मात्रा में बदलता है, तो त्वरण एक समान होता है।
• उदाहरण: गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती वस्तु की गति (वायु प्रतिरोध को नगण्य मानने पर)।

असमान त्वरण (Non-Uniform Acceleration)

• जब वस्तु का वेग समान समय अंतराल में असमान मात्रा में बदलता है, तो त्वरण असमान होता है।
• उदाहरण: भीड़भाड़ वाली सड़क पर चलती कार।

गति के समीकरण (Equations of Motion)

• ये समीकरण एक समान त्वरित गति में वस्तु के वेग, त्वरण, समय और तय की गई दूरी के बीच संबंध स्थापित करते हैं।
• प्रारंभिक वेग: \(u\)
• अंतिम वेग: \(v\)
• त्वरण: \(a\)
• समय: \(t\)
• तय की गई दूरी/विस्थापन: \(s\)

गति का प्रथम समीकरण (वेग-समय संबंध):

• सूत्र: \(v = u + at\)
• यह समीकरण वस्तु के अंतिम वेग (v), प्रारंभिक वेग (u), त्वरण (a) और समय (t) के बीच संबंध बताता है।
• व्युत्पत्ति (ग्राफ विधि से):
• वेग-समय ग्राफ में, त्वरण \(a = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{समय में परिवर्तन}} = \frac{v-u}{t}\)
• \(at = v-u\)
• \(v = u + at\)

गति का द्वितीय समीकरण (स्थिति-समय संबंध):

• सूत्र: \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
• यह समीकरण वस्तु द्वारा तय की गई दूरी (s), प्रारंभिक वेग (u), त्वरण (a) और समय (t) के बीच संबंध बताता है।
• व्युत्पत्ति (ग्राफ विधि से):
• वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन (s) को दर्शाता है।
• यह क्षेत्रफल एक आयत और एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
• आयत का क्षेत्रफल \( = u \times t = ut\)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times t \times (v-u)\)
• चूँकि \(v-u = at\) (प्रथम समीकरण से),
• त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times t \times at = \frac{1}{2}at^2\)
• कुल विस्थापन \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
• \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)

गति का तृतीय समीकरण (स्थिति-वेग संबंध):

• सूत्र: \(v^2 = u^2 + 2as\)
• यह समीकरण वस्तु के अंतिम वेग (v), प्रारंभिक वेग (u), त्वरण (a) और तय की गई दूरी (s) के बीच संबंध बताता है।
• व्युत्पत्ति (ग्राफ विधि से):
• वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन (s) को दर्शाता है।
• यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
• समलंब का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}\)
• \(s = \frac{1}{2} \times (u+v) \times t\)
• प्रथम समीकरण से, \(t = \frac{v-u}{a}\)
• \(s = \frac{1}{2} \times (u+v) \times \frac{(v-u)}{a}\)
• \(s = \frac{v^2 - u^2}{2a}\)
• \(v^2 - u^2 = 2as\) या \(v^2 = u^2 + 2as\)

गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति के समीकरण:

• जब वस्तु गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करती है (जैसे ऊपर से गिरना या ऊपर फेंकना), तो त्वरण \(a\) को गुरुत्वीय त्वरण \(g\) से बदल दिया जाता है।
• मुक्त रूप से गिरती वस्तु: \(a = +g\) (लगभग \(9.8 \text{ m/s}^2\) या \(10 \text{ m/s}^2\))
• ऊपर फेंकी गई वस्तु: \(a = -g\)
• दूरी (s) को ऊँचाई (h) से बदल दिया जाता है।
• \(v = u + gt\)
• \(h = ut + \frac{1}{2}gt^2\)
• \(v^2 = u^2 + 2gh\)

वृत्तीय गति (Circular Motion)

• जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर गति करती है, तो उसकी गति को वृत्तीय गति कहते हैं।

एक समान वृत्तीय गति (Uniform Circular Motion)

• जब कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर नियत चाल (constant speed) से गति करती है, तो उसकी गति को एक समान वृत्तीय गति कहते हैं।
• इस गति में वस्तु की चाल नियत रहती है, लेकिन उसकी वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
• चूँकि वेग की दिशा लगातार बदल रही है, इसलिए वस्तु में त्वरण होता है। यह त्वरण केंद्र की ओर निर्देशित होता है, जिसे अभिकेंद्रीय त्वरण कहते हैं।
• वेग की दिशा: वृत्ताकार पथ के हर बिंदु पर स्पर्शरेखीय (tangential) होती है।
• चाल की गणना: यदि वस्तु \(r\) त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर \(t\) समय में एक चक्कर पूरा करती है, तो तय की गई दूरी वृत्त की परिधि \((2\pi r)\) के बराबर होगी।
• \(\text{चाल } v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2\pi r}{t}\)

वृत्तीय गति में वेग परिवर्तन की स्थितियाँ:

1. वेग के परिमाण में परिवर्तन, दिशा नियत: (सरल रेखीय त्वरित गति)
2. वेग का परिमाण नियत, दिशा में परिवर्तन: (एक समान वृत्तीय गति)
3. वेग के परिमाण और दिशा दोनों में परिवर्तन: (असमान वृत्तीय गति, जैसे वृत्तीय पथ पर बढ़ती चाल से दौड़ना)

एक समान वृत्तीय गति के उदाहरण:

• पृथ्वी की सूर्य के चारों ओर गति (लगभग)।
• चंद्रमा की पृथ्वी के चारों ओर गति (लगभग)।
• घड़ी की सुइयों की नोक की गति।
• एक डोरी से बंधे पत्थर को घुमाना।
• एक समान चाल से घूमते पंखे के ब्लेड पर किसी बिंदु की गति।