Linear Equations in Two Variables

दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणजे असे समीकरण ज्यात दोन चले (variables) असतात आणि प्रत्येक चलाच्या पदाची घात (degree) एक असते. या समीकरणात दोन चलांचा गुणाकार असलेले पद नसते.

• सामान्य स्वरूप (General Form): ax + by + c = 0
• येथे a, b, c या वास्तव संख्या (Real Numbers) आहेत.
• a आणि b एकाच वेळी शून्य नसतात (म्हणजे a ≠ 0 किंवा b ≠ 0).
• x आणि y ही चले आहेत.

• उदाहरणे:
• 3x - 4y + 12 = 0 हे दोन चलांतील रेषीय समीकरण आहे.
• √2x - √5y = 16 हे देखील दोन चलांतील रेषीय समीकरण आहे.

• रेषीय समीकरण नसण्याची कारणे:
• 3x² - 7y = 13 (येथे x चा घात 2 आहे).
• 4/x + 5/y = 4 (येथे x आणि y छेदस्थानी आहेत, म्हणजे x⁻¹ आणि y⁻¹ घात आहे).
• 4xy - 5y - 8 = 0 (येथे xy पद आहे, म्हणजे चलांचा गुणाकार आहे).

• विशेष प्रकरणे:
• 0x + 6y - 3 = 0 हे 6y - 3 = 0 असे होते, जे एका चलातील रेषीय समीकरण आहे. हे दोन चलांतील रेषीय समीकरण नाही कारण x चा सहगुणक शून्य आहे.
• 0.3x + 0y - 36 = 0 हे 0.3x - 36 = 0 असे होते, जे एका चलातील रेषीय समीकरण आहे.

जेव्हा आपण एकाच वेळी दोन चलांतील दोन रेषीय समीकरणांचा विचार करतो, तेव्हा त्यांना एकसामायिक रेषीय समीकरणे (Simultaneous Linear Equations) म्हणतात. या समीकरणांचा संच सोडवून x आणि y ची अशी मूल्ये मिळतात, जी दोन्ही समीकरणांना एकाच वेळी समाधानकारक असतात.

• सोडवण्याच्या पद्धती:

1. निरसन पद्धत (Elimination Method): एका चलाचे निरसन करून दुसऱ्या चलाचे मूल्य काढणे.
2. आलेख पद्धत (Graphical Method): दोन्ही समीकरणांचे आलेख काढून छेदनबिंदू शोधणे.
3. क्रेमरची पद्धत (Cramer's Rule / Determinant Method): निर्धारकांचा वापर करून समीकरणे सोडवणे.

1. निरसन पद्धत (Elimination Method)

• पायऱ्या:

1. दिलेली समीकरणे ax + by = c या स्वरूपात लिहा.
2. एका चलाचे सहगुणक समान करण्यासाठी योग्य संख्येने एका किंवा दोन्ही समीकरणांना गुणा.
3. जर समान सहगुणकांचे चिन्ह भिन्न असतील तर समीकरणे बेरीज करा (add), आणि जर चिन्ह समान असतील तर वजाबाकी करा (subtract). यामुळे एका चलाचे निरसन होईल.
4. उरलेल्या एका चलाचे मूल्य शोधा.
5. हे मूल्य मूळ समीकरणांपैकी कोणत्याही एका समीकरणात ठेवून दुसऱ्या चलाचे मूल्य शोधा.
6. मिळालेली (x, y) ही उकल (solution) आहे.

• उदाहरण: 5x - 3y = 8 आणि 3x + y = 2 सोडवा.

1. 5x - 3y = 8 . . . (I)
2. 3x + y = 2 . . . (II)
3. समीकरण (II) ला 3 ने गुणल्यास: 9x + 3y = 6 . . . (III)
4. समीकरण (I) आणि (III) ची बेरीज केल्यास:

(5x - 3y) + (9x + 3y) = 8 + 6 14x = 14 x = 1

1. x = 1 हे समीकरण (II) मध्ये ठेवल्यास:

3(1) + y = 2 3 + y = 2 y = -1

1. उकल: (x, y) = (1, -1).

• विशेष प्रकरण - सहगुणकांची अदलाबदल (Interchanged Coefficients):
• जर a₁x + b₁y = c₁ आणि b₁x + a₁y = c₂ असे समीकरणे असतील (म्हणजे x आणि y चे सहगुणक अदलाबदल केलेले असतील), तर ती सोडवण्यासाठी एकदा दोन्ही समीकरणांची बेरीज करा आणि एकदा वजाबाकी करा. यामुळे दोन सोपी रेषीय समीकरणे मिळतात, जी सोडवणे सोपे होते.
• उदाहरण: 15x + 17y = 21 आणि 17x + 15y = 11

1. बेरीज: (15x + 17y) + (17x + 15y) = 21 + 11

32x + 32y = 32 x + y = 1 . . . (III)

1. वजाबाकी: (15x + 17y) - (17x + 15y) = 21 - 11

-2x + 2y = 10 -x + y = 5 . . . (IV)

1. समीकरण (III) आणि (IV) सोडवल्यास x = -2, y = 3 मिळेल.

दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचा आलेख नेहमी एक सरळ रेषा (straight line) असतो. दोन एकसामायिक रेषीय समीकरणांची उकल म्हणजे त्यांच्या आलेखांचा छेदनबिंदू (point of intersection).

• आलेख काढण्याच्या पायऱ्या:

1. प्रत्येक समीकरणासाठी x आणि y च्या किमान 4 क्रमित जोड्या (ordered pairs) शोधा. (दोन बिंदू पुरेसे असले तरी, अचूकतेसाठी 3 किंवा 4 बिंदू घेणे चांगले).

• x = 0 ठेवून y मिळवा आणि y = 0 ठेवून x मिळवा. यामुळे y-अक्षावरील आणि x-अक्षावरील बिंदू मिळतात.

1. आलेख कागदावर X-अक्ष आणि Y-अक्ष काढा.
2. मिळालेले क्रमित जोड्या बिंदू म्हणून आलेख कागदावर स्थानांकन (plot) करा.
3. सर्व बिंदू एका सरळ रेषेत आहेत का ते तपासा. जर नसतील, तर तुमच्या गणितात चूक झाली आहे.
4. दोन्ही समीकरणांसाठी रेषा काढा.
5. दोन्ही रेषा ज्या बिंदूत छेदतात, तो बिंदू म्हणजे समीकरणांची उकल (x, y).

• विशेष प्रकरणे (Special Cases):
• समांतर रेषा (Parallel Lines): जर दोन्ही समीकरणांचे आलेख समांतर रेषा असतील, तर त्यांना एकही उकल नसते (No Solution). हे घडते जेव्हा a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
• एकमेकांवर जुळणाऱ्या रेषा (Coincident Lines): जर दोन्ही समीकरणांचे आलेख एकच रेषा असतील (म्हणजे एक रेषा दुसऱ्या रेषेवर जुळते), तर त्यांना असंख्य उकली असतात (Infinitely Many Solutions). हे घडते जेव्हा a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
• छेदन करणाऱ्या रेषा (Intersecting Lines): जर दोन्ही समीकरणांचे आलेख एकमेकांना एका बिंदूत छेदत असतील, तर त्यांना एकमेव उकल असते (Unique Solution). हे घडते जेव्हा a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.

• उदाहरणे:
• x + y = 4 आणि 2x - y = 2 चे आलेख काढल्यास, त्या (2, 2) बिंदूत छेदतात. म्हणून x = 2, y = 2 ही उकल आहे.

निर्धारक हे संख्यांचे चौरस मांडणी (square arrangement) असते, ज्याचे एक विशिष्ट मूल्य असते. दोन चलांतील रेषीय समीकरणे सोडवण्यासाठी निर्धारकांचा वापर केला जातो.

• स्वरूप: |a b / c d|
• येथे a, b, c, d या संख्या आहेत.
• a, b ही पहिली ओळ (row) आणि c, d ही दुसरी ओळ आहे.
• a, c हे पहिले स्तंभ (column) आणि b, d हे दुसरे स्तंभ आहे.
• या निर्धारकाची श्रेणी (degree) 2 आहे, कारण प्रत्येक ओळीत आणि स्तंभात 2 घटक आहेत.

• मूल्य काढणे: |a b / c d| = ad - bc
• तिरकस गुणाकार करून वजाबाकी केली जाते.

• उदाहरणे:

1. A = |5 3 / 7 9| = (5 × 9) - (3 × 7) = 45 - 21 = 24
2. N = |-8 -3 / 2 4| = (-8 × 4) - (-3 × 2) = -32 - (-6) = -32 + 6 = -26
3. B = |2√3 9 / 2 3√3| = (2√3 × 3√3) - (9 × 2) = (6 × 3) - 18 = 18 - 18 = 0

• संकेत: निर्धारक सहसा A, B, C, D अशा मोठ्या अक्षरांनी दर्शवले जातात.

क्रेमरची पद्धत ही एकसामायिक रेषीय समीकरणे सोडवण्यासाठी निर्धारकांचा वापर करणारी एक सोपी आणि जलद पद्धत आहे. ही पद्धत स्विस गणितज्ञ गॅब्रिएल क्रेमर यांनी विकसित केली.

• समीकरणांचे सामान्य स्वरूप:

a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂

• निर्धारक काढणे:

1. D (मुख्य निर्धारक): x आणि y च्या सहगुणकांचा निर्धारक.

D = |a₁ b₁ / a₂ b₂| = a₁b₂ - a₂b₁

1. Dx (x साठी निर्धारक): D मध्ये x च्या सहगुणकांच्या स्तंभाऐवजी स्थिर पदांचा स्तंभ ठेवणे.

Dx = |c₁ b₁ / c₂ b₂| = c₁b₂ - c₂b₁

1. Dy (y साठी निर्धारक): D मध्ये y च्या सहगुणकांच्या स्तंभाऐवजी स्थिर पदांचा स्तंभ ठेवणे.

Dy = |a₁ c₁ / a₂ c₂| = a₁c₂ - a₂c₁

• उकल शोधणे:

x = Dx / D y = Dy / D

• महत्त्वाचे: क्रेमरची पद्धत वापरण्यासाठी D ≠ 0 असणे आवश्यक आहे. जर D = 0 असेल, तर समीकरणांना एकमेव उकल नसते (ते एकतर समांतर रेषा असतात किंवा एकमेकांवर जुळणाऱ्या रेषा असतात).

• क्रेमरच्या पद्धतीच्या पायऱ्या:

1. दिलेली समीकरणे ax + by = c या स्वरूपात लिहा.
2. D, Dx, Dy या निर्धारकांची मूल्ये शोधा.
3. x = Dx / D आणि y = Dy / D या सूत्रांचा वापर करून x आणि y ची मूल्ये शोधा.

• उदाहरण: 5x + 3y = -11 आणि 2x + 4y = -10 सोडवा.

1. D = |5 3 / 2 4| = (5 × 4) - (3 × 2) = 20 - 6 = 14
2. Dx = |-11 3 / -10 4| = (-11 × 4) - (3 × -10) = -44 - (-30) = -44 + 30 = -14
3. Dy = |5 -11 / 2 -10| = (5 × -10) - (-11 × 2) = -50 - (-22) = -50 + 22 = -28
4. x = Dx / D = -14 / 14 = -1
5. y = Dy / D = -28 / 14 = -2
6. उकल: (x, y) = (-1, -2).

काही समीकरणे थेट रेषीय नसतात, परंतु योग्य प्रतिस्थापन (substitution) करून ती दोन चलांतील रेषीय समीकरणात रूपांतरित करता येतात.

• पायऱ्या:

1. दिलेल्या समीकरणात 1/x, 1/y, 1/(x+y), 1/(x-y) अशा पदांना नवीन चले m, n (किंवा a, b) यांनी प्रतिस्थापित करा.
2. या प्रतिस्थापनामुळे मूळ समीकरणे m आणि n (किंवा a आणि b) या चलांतील रेषीय समीकरणात रूपांतरित होतील.
3. ही नवीन रेषीय समीकरणे निरसन पद्धत किंवा क्रेमरच्या पद्धतीसारख्या कोणत्याही सोप्या पद्धतीने सोडवा.
4. m आणि n ची मूल्ये मिळाल्यावर, ती परत मूळ प्रतिस्थापनामध्ये (1/x = m, 1/y = n इत्यादी) ठेवून x आणि y ची मूल्ये शोधा.

• महत्त्वाचे: छेदस्थानी असलेले पद शून्य नसावे. उदा. 1/x असेल तर x ≠ 0.

• उदाहरण 1: 4/x + 5/y = 7 आणि 3/x + 4/y = 5 सोडवा.

1. 1/x = m आणि 1/y = n मानू.
2. समीकरणे अशी होतील:

4m + 5n = 7 . . . (III) 3m + 4n = 5 . . . (IV)

1. ही समीकरणे सोडवल्यास m = 3 आणि n = -1 मिळेल.
2. परत प्रतिस्थापन केल्यास:

1/x = 3 => x = 1/3 1/y = -1 => y = -1

1. उकल: (x, y) = (1/3, -1).

• उदाहरण 2: 4/(x-y) + 1/(x+y) = 3 आणि 2/(x-y) - 3/(x+y) = 5 सोडवा.

1. 1/(x-y) = a आणि 1/(x+y) = b मानू.
2. समीकरणे अशी होतील:

4a + b = 3 . . . (III) 2a - 3b = 5 . . . (IV)

1. ही समीकरणे सोडवल्यास a = 1 आणि b = -1 मिळेल.
2. परत प्रतिस्थापन केल्यास:

1/(x-y) = 1 => x - y = 1 . . . (V) 1/(x+y) = -1 => x + y = -1 . . . (VI)

1. समीकरण (V) आणि (VI) सोडवल्यास x = 0 आणि y = -1 मिळेल.
2. उकल: (x, y) = (0, -1).

दोन चलांतील रेषीय समीकरणे अनेक शाब्दिक उदाहरणे (Word Problems) सोडवण्यासाठी वापरली जातात. यामध्ये वय, वेग, अंतर, संख्या, भूमितीतील आकृत्या इत्यादींवर आधारित प्रश्न असतात.

• शाब्दिक उदाहरणे सोडवण्याच्या पायऱ्या:

1. प्रश्नातील अटी काळजीपूर्वक वाचा.
2. ज्या दोन गोष्टींची मूल्ये शोधायची आहेत, त्यांना x आणि y अशी चले माना.
3. दिलेल्या अटींनुसार x आणि y वापरून दोन रेषीय समीकरणे तयार करा.
4. ही समीकरणे कोणत्याही योग्य पद्धतीने (निरसन, आलेख, क्रेमर) सोडवा.
5. मिळालेल्या x आणि y च्या मूल्यांवरून प्रश्नातील विचारलेल्या गोष्टींची उत्तरे लिहा.
6. उत्तरांची पडताळणी करा (मूळ प्रश्नातील अटींमध्ये मूल्ये ठेवून).

• उदाहरणे (संक्षिप्त):
• आयत (Rectangle): परिमिती 40 सेमी, लांबी रुंदीच्या दुप्पटीपेक्षा 2 ने जास्त. लांबी x, रुंदी y मानून समीकरणे तयार करा: 2(x+y) = 40 आणि x = 2y + 2.
• घड्याळे (Watches): एनालॉग घड्याळाची किंमत x, डिजिटल घड्याळाची किंमत y मानून विक्रीच्या माहितीवरून समीकरणे तयार करा: 11x + 6y = 4330 आणि 22x + 5y = 7330.
• प्रवाह आणि नाव (Boat and Stream): शांत पाण्यातील नावेचा वेग x, प्रवाहाचा वेग y मानून प्रवाहाच्या दिशेने (x+y) आणि प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने (x-y) वेग वापरून समीकरणे तयार करा: 16/(x-y) + 24/(x+y) = 6 आणि 36/(x-y) + 48/(x+y) = 13.
• विद्यार्थी आणि रक्कम (Students and Amount): विद्यार्थ्यांची संख्या x, प्रत्येक विद्यार्थ्याला मिळालेली रक्कम y मानून एकूण रक्कम xy वापरून समीकरणे तयार करा: (x+10)(y-2) = xy आणि (x-15)(y+6) = xy.
• तीन अंकी संख्या (Three-Digit Number): एकक स्थानचा अंक y, शतक स्थानचा अंक x मानून दशक स्थानचा अंक x+y+1 (प्रश्नानुसार) घेऊन संख्या 100x + 10(x+y+1) + y तयार करा आणि अटींनुसार समीकरणे बनवा.