पायथागोरसचे प्रमेय
पायथागोरसचे प्रमेय हा भूमितीमधील एक मूलभूत सिद्धांत आहे जो काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीमधील संबंधांचे वर्णन करतो. या अध्यायात, विद्यार्थी काटकोन त्रिकोणाच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करतात, ज्यात 45°-45°-90° आणि 30°-60°-90° त्रिकोणांचा समावेश आहे. भूमिती मध्याचे प्रमेय, पायथागोरसचे प्रमेय आणि त्याचा व्यत्यास, तसेच अपोलोनियसचे प्रमेय यांसारख्या महत्त्वाच्या प्रमेयांची सिद्धता आणि उपयोजन शिकवले जाते. हे प्रमेय भूमितीतील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी आणि उच्च गणिताच्या अभ्यासासाठी महत्त्वाचे आहेत.
काटकोन त्रिकोणाचे गुणधर्म
काटकोन त्रिकोणामध्ये काही विशिष्ट कोनांच्या मापांवर आधारित गुणधर्म असतात, जे गणिते सोडवताना खूप उपयुक्त ठरतात.
1. 30°-60°-90° त्रिकोणाचा गुणधर्म
- जर एखाद्या काटकोन त्रिकोणाचे कोन 30°, 60° आणि 90° असतील, तर:
- 30° कोनासमोरील बाजू कर्णाच्या निमपट असते.
- 60° कोनासमोरील बाजू कर्णाच्या \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) पट असते.
उदाहरण: \(\triangle ABC\) मध्ये, \(\angle B = 90^\circ, \angle A = 30^\circ, \angle C = 60^\circ\).
- BC (30° समोरील बाजू) \(= \frac{1}{2} \times AC\) (कर्ण)
- AB (60° समोरील बाजू) \(= \frac{\sqrt{3}}{2} \times AC\) (कर्ण)
2. 45°-45°-90° त्रिकोणाचा गुणधर्म
- जर एखाद्या काटकोन त्रिकोणाचे कोन 45°, 45° आणि 90° असतील (म्हणजे तो समद्विभुज काटकोन त्रिकोण असेल), तर:
- 45° कोनासमोरील प्रत्येक बाजू कर्णाच्या \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) पट असते.
उदाहरण: \(\triangle PQR\) मध्ये, \(\angle Q = 90^\circ, \angle P = 45^\circ, \angle R = 45^\circ\).
- PQ (45° समोरील बाजू) \(= \frac{1}{\sqrt{2}} \times PR\) (कर्ण)
- QR (45° समोरील बाजू) \(= \frac{1}{\sqrt{2}} \times PR\) (कर्ण)
30°-60°-90° त्रिकोणासाठी:
- 30° समोरील बाजू \(= \frac{1}{2} \times \text{कर्ण}\)
- 60° समोरील बाजू \(= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{कर्ण}\)
45°-45°-90° त्रिकोणासाठी:
- 45° समोरील बाजू \(= \frac{1}{\sqrt{2}} \times \text{कर्ण}\)
समरूपता आणि काटकोन त्रिकोण
काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णावर शिरोलंब टाकल्यास तयार होणारे त्रिकोण मूळ त्रिकोणाशी आणि परस्परांशी समरूप असतात. हा गुणधर्म पायथागोरसचे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी महत्त्वाचा आहे.
प्रमेय: काटकोन त्रिकोणात कर्णावर टाकलेल्या शिरोलंबामुळे जे त्रिकोण तयार होतात ते मूळ काटकोन त्रिकोणाशी व परस्परांशी समरूप असतात.
- पक्ष: \(\triangle ABC\) मध्ये, \(\angle ABC = 90^\circ\), रेख BD \(\perp\) रेख AC, A-D-C.
- साध्य:
- \(\triangle ADB \sim \triangle ABC\)
- \(\triangle BDC \sim \triangle ABC\)
- \(\triangle ADB \sim \triangle BDC\)
- सिद्धता:
- \(\triangle ADB\) आणि \(\triangle ABC\) मध्ये:
- \(\angle DAB \cong \angle BAC\) (सामाईक कोन)
- \(\angle ADB \cong \angle ABC\) (प्रत्येकी 90°)
- म्हणून, \(\triangle ADB \sim \triangle ABC\) (को-को कसोटी)
- \(\triangle BDC\) आणि \(\triangle ABC\) मध्ये:
- \(\angle BCD \cong \angle ACB\) (सामाईक कोन)
- \(\angle BDC \cong \angle ABC\) (प्रत्येकी 90°)
- म्हणून, \(\triangle BDC \sim \triangle ABC\) (को-को कसोटी)
- निष्कर्ष: विधान (1) आणि (2) वरून, \(\triangle ADB \sim \triangle BDC\) (संक्रमकता गुणधर्म).
- अंतिम निष्कर्ष: \(\triangle ADB \sim \triangle BDC \sim \triangle ABC\)
काटकोन त्रिकोणात कर्णावर टाकलेला शिरोलंब मूळ त्रिकोणाचे दोन समरूप त्रिकोणांमध्ये विभाजन करतो, आणि हे दोन्ही त्रिकोण मूळ त्रिकोणाशीही समरूप असतात.
भूमिती मध्याचे प्रमेय
भूमिती मध्याचे प्रमेय हे समरूपता आणि काटकोन त्रिकोणाच्या गुणधर्मावर आधारित आहे.
प्रमेय: काटकोन त्रिकोणात, कर्णावर काढलेला शिरोलंब, त्या शिरोलंबामुळे होणाऱ्या कर्णाच्या दोन भागांचा भूमिती मध्य असतो.
- पक्ष: काटकोन \(\triangle PQR\) मध्ये, \(\angle Q = 90^\circ\), रेख QS \(\perp\) कर्ण PR.
- साध्य: \(QS^2 = PS \times SR\)
- सिद्धता:
- आपल्याला माहित आहे की, \(\triangle PSQ \sim \triangle QSR\) (काटकोन त्रिकोणाची समरूपता).
- समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात, म्हणून:
\(\frac{PS}{QS} = \frac{SQ}{SR} = \frac{PQ}{QR}\)
- पहिली दोन गुणोत्तरे घेतल्यास:
\(\frac{PS}{QS} = \frac{QS}{SR}\)
- तिरकस गुणाकार केल्यास:
\(QS \times QS = PS \times SR\) \(QS^2 = PS \times SR\)
- यावरून, शिरोलंब QS हा रेख PS आणि रेख SR यांचा भूमिती मध्य आहे.
भूमिती मध्याचे प्रमेय:
काटकोन त्रिकोणात, कर्णावर टाकलेल्या शिरोलंबाची लांबी \(h\) असल्यास आणि कर्णाचे दोन भाग \(p_1\) व \(p_2\) असल्यास, \(h^2 = p_1 \times p_2\)
पायथागोरसचे प्रमेय
पायथागोरसचे प्रमेय हे भूमितीतील सर्वात मूलभूत आणि महत्त्वाच्या प्रमेयांपैकी एक आहे, जे काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीमधील संबंध दर्शवते.
प्रमेय: काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.
- पक्ष: \(\triangle ABC\) मध्ये, \(\angle ABC = 90^\circ\).
- साध्य: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
- रचना: बिंदू B मधून बाजू AC वर रेख BD लंब काढला. (A-D-C)
- सिद्धता:
- काटकोन \(\triangle ABC\) मध्ये, रेख BD \(\perp\) कर्ण AC (रचना).
- काटकोन त्रिकोणाच्या समरूपतेनुसार:
\(\triangle ABC \sim \triangle ADB \sim \triangle BDC\)
- \(\triangle ABC \sim \triangle ADB\) घेतल्यास:
- संगत बाजू प्रमाणात असल्याने:
\(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DB} = \frac{AC}{AB}\)
- \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}\)
- तिरकस गुणाकार केल्यास: \(AB^2 = AD \times AC\) ...(I)
- \(\triangle ABC \sim \triangle BDC\) घेतल्यास:
- संगत बाजू प्रमाणात असल्याने:
\(\frac{AB}{BD} = \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC}\)
- \(\frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC}\)
- तिरकस गुणाकार केल्यास: \(BC^2 = DC \times AC\) ...(II)
- समीकरण (I) आणि (II) यांची बेरीज केल्यास:
\(AB^2 + BC^2 = (AD \times AC) + (DC \times AC)\) \(AB^2 + BC^2 = AC (AD + DC)\)
- आकृतीनुसार, A-D-C असल्याने, \(AD + DC = AC\).
- म्हणून, \(AB^2 + BC^2 = AC \times AC\)
\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
- अशाप्रकारे, \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) हे सिद्ध होते.
पायथागोरसचे प्रमेय:
काटकोन त्रिकोणात, \(\text{कर्ण}^2 = (\text{पहिली बाजू})^2 + (\text{दुसरी बाजू})^2\)
पायथागोरसची त्रिकुटे: तीन नैसर्गिक संख्यांच्या संचाला पायथागोरसचे त्रिकुट म्हणतात, जर त्यापैकी एका संख्येचा वर्ग इतर दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल. उदा. (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).
पायथागोरसच्या प्रमेयाचा व्यत्यास
पायथागोरसच्या प्रमेयाचा व्यत्यास त्रिकोण काटकोन आहे की नाही हे ठरवण्यासाठी वापरला जातो.
प्रमेय: एखाद्या त्रिकोणातील एका बाजूचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल, तर तो त्रिकोण काटकोन त्रिकोण असतो.
- पक्ष: \(\triangle ABC\) मध्ये, \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
- साध्य: \(\angle ABC = 90^\circ\).
- रचना: \(\triangle PQR\) असा काढा की, \(PQ = AB\), \(QR = BC\) आणि \(\angle PQR = 90^\circ\).
- सिद्धता:
- \(\triangle PQR\) मध्ये, \(\angle Q = 90^\circ\) (रचना).
- पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार: \(PR^2 = PQ^2 + QR^2\).
- रचनेनुसार, \(PQ = AB\) आणि \(QR = BC\).
म्हणून, \(PR^2 = AB^2 + BC^2\).
- परंतु, पक्षानुसार \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
- म्हणून, \(PR^2 = AC^2\).
- दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेतल्यास: \(PR = AC\).
- आता, \(\triangle ABC\) आणि \(\triangle PQR\) मध्ये:
- \(AB = PQ\) (रचना)
- \(BC = QR\) (रचना)
- \(AC = PR\) (सिद्ध केले)
- म्हणून, \(\triangle ABC \cong \triangle PQR\) (बा-बा-बा कसोटी).
- एकत्रित त्रिकोणांचे संगत कोन एकरूप असतात, म्हणून \(\angle ABC = \angle PQR\).
- रचनेनुसार \(\angle PQR = 90^\circ\).
- म्हणून, \(\angle ABC = 90^\circ\).
- याचा अर्थ \(\triangle ABC\) हा काटकोन त्रिकोण आहे.
पायथागोरसचा व्यत्यास त्रिकुटे ओळखण्यासाठी आणि त्रिकोण काटकोन आहे की नाही हे तपासण्यासाठी वापरला जातो. मोठ्या बाजूचा वर्ग इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल तरच तो काटकोन त्रिकोण असतो.
पायथागोरसच्या प्रमेयाचे उपयोजन
पायथागोरसचे प्रमेय केवळ काटकोन त्रिकोणापुरते मर्यादित नसून, ते लघुकोन आणि विशालकोन त्रिकोणांमध्येही बाजूंच्या संबंधांसाठी वापरले जाते. यालाच पायथागोरसच्या प्रमेयाचे उपयोजन म्हणतात.
1. लघुकोन त्रिकोणासाठी उपयोजन
- प्रमेय: \(\triangle ABC\) मध्ये, जर \(\angle C\) हा लघुकोन असेल आणि रेख AD \(\perp\) रेख BC, तर सिद्ध करा: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC \times DC\).
- सिद्धता (संक्षिप्त):
- \(\triangle ADB\) मध्ये, \(AB^2 = AD^2 + BD^2\) (पायथागोरस प्रमेय).
- \(BD = BC - DC\) (आकृतीनुसार).
- म्हणून, \(AB^2 = AD^2 + (BC - DC)^2\)
\(AB^2 = AD^2 + BC^2 - 2BC \times DC + DC^2\) ...(I)
- \(\triangle ADC\) मध्ये, \(AD^2 = AC^2 - DC^2\) (पायथागोरस प्रमेय).
- समीकरण (I) मध्ये \(AD^2\) ची किंमत ठेवल्यास:
\(AB^2 = (AC^2 - DC^2) + BC^2 - 2BC \times DC + DC^2\) \(AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC \times DC\)
2. विशालकोन त्रिकोणासाठी उपयोजन
- प्रमेय: \(\triangle ABC\) मध्ये, जर \(\angle ACB\) हा विशालकोन असेल आणि रेख AD \(\perp\) रेख BC (BC वाढवल्यावर), तर सिद्ध करा: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 + 2BC \times CD\).
- सिद्धता (संक्षिप्त):
- \(\triangle ADB\) मध्ये, \(AB^2 = AD^2 + DB^2\) (पायथागोरस प्रमेय).
- \(DB = DC + CB\) (आकृतीनुसार).
- म्हणून, \(AB^2 = AD^2 + (DC + CB)^2\)
\(AB^2 = AD^2 + DC^2 + 2DC \times CB + CB^2\) ...(I)
- \(\triangle ADC\) मध्ये, \(AD^2 = AC^2 - DC^2\) (पायथागोरस प्रमेय).
- समीकरण (I) मध्ये \(AD^2\) ची किंमत ठेवल्यास:
\(AB^2 = (AC^2 - DC^2) + DC^2 + 2DC \times CB + CB^2\) \(AB^2 = BC^2 + AC^2 + 2BC \times CD\)
लघुकोन त्रिकोणासाठी उपयोजन:
जर \(\angle C\) लघुकोन असेल, तर \(AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC \times DC\)
विशालकोन त्रिकोणासाठी उपयोजन:
जर \(\angle C\) विशालकोन असेल, तर \(AB^2 = BC^2 + AC^2 + 2BC \times CD\)
अपोलोनियसचे प्रमेय
अपोलोनियसचे प्रमेय त्रिकोणाच्या बाजू आणि मध्यगा यांच्यातील संबंध दर्शवते. हे प्रमेय पायथागोरसच्या प्रमेयाच्या उपयोजनावर आधारित आहे.
प्रमेय: \(\triangle ABC\) मध्ये, बिंदू M हा बाजू BC चा मध्यबिंदू असेल, तर \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2\).
- पक्ष: \(\triangle ABC\) मध्ये M हा बाजू BC चा मध्यबिंदू आहे.
- साध्य: \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2\)
- रचना: रेख AD \(\perp\) रेख BC काढला.
- सिद्धता:
- जर रेख AM हा रेख BC ला लंब नसेल, तर \(\angle AMB\) आणि \(\angle AMC\) यांपैकी एक विशालकोन आणि दुसरा लघुकोन असतो. (समजा \(\angle AMB\) विशालकोन आणि \(\angle AMC\) लघुकोन आहे).
- विशालकोन \(\triangle AMB\) साठी (पायथागोरसचे उपयोजन):
\(AB^2 = AM^2 + MB^2 + 2BM \times MD\) ...(I)
- लघुकोन \(\triangle AMC\) साठी (पायथागोरसचे उपयोजन):
\(AC^2 = AM^2 + MC^2 - 2MC \times MD\)
- M हा BC चा मध्यबिंदू असल्याने, \(BM = MC\). म्हणून, समीकरण (II) असे लिहिता येते:
\(AC^2 = AM^2 + BM^2 - 2BM \times MD\) ...(II)
- समीकरण (I) आणि (II) यांची बेरीज केल्यास:
\(AB^2 + AC^2 = (AM^2 + BM^2 + 2BM \times MD) + (AM^2 + BM^2 - 2BM \times MD)\) \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2\)
- अशाप्रकारे, \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2\) हे सिद्ध होते.
- टीप: जर रेख AM \(\perp\) बाजू BC असेल, तर \(MD = 0\) होईल आणि पायथागोरसच्या प्रमेयानुसारच सिद्धता देता येते.
अपोलोनियसचे प्रमेय:
त्रिकोणात, मध्यगा \(AM\) असल्यास आणि \(M\) हा \(BC\) चा मध्यबिंदू असल्यास, \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2\)
अपोलोनियसचे प्रमेय त्रिकोणाच्या बाजू आणि मध्यगा यांच्यातील संबंधांसाठी वापरले जाते. हे प्रमेय समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या गुणधर्मांशी संबंधित उदाहरणे सोडवण्यासाठीही उपयुक्त आहे.
