Home › Maharashtra › Class 10 › Maths › वर्तुळ
Maharashtra · Class 10 · 🧮 Maths · Chapter 3

वर्तुळ

स्पर्शवर्तुळेवर्तुळकंस आणि केंद्रीय कोनअंतर्लिखित कोनचक्रीय चौकोनस्पर्शिका-छेदिका प्रमेयजीवांचे प्रमेय

या धड्यात वर्तुळाचे विविध गुणधर्म, जसे की स्पर्शवर्तुळे, वर्तुळकंस, केंद्रीय कोन, अंतर्लिखित कोन आणि चक्रीय चौकोन यांचा अभ्यास केला जातो. स्पर्शिका-छेदिका प्रमेय आणि जीवांच्या छेदनाचे प्रमेय यांसारख्या महत्त्वाच्या प्रमेयांचा समावेश आहे. हे संकल्पना भूमितीतील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक आहेत आणि पुढील अभ्यासासाठी पाया तयार करतात.

स्पर्शवर्तुळे आणि त्यांचे गुणधर्म

वर्तुळे एकमेकांना एकाच बिंदूत स्पर्श करत असतील तर त्यांना स्पर्शवर्तुळे म्हणतात.

  • स्पर्शबिंदू: स्पर्शवर्तुळांचा स्पर्शबिंदू हा त्यांच्या केंद्रबिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेवर असतो.
  • याचा अर्थ, केंद्रबिंदू आणि स्पर्शबिंदू हे एकरेषीय असतात.

स्पर्शवर्तुळांचे प्रकार:

  1. बाह्यस्पर्शी वर्तुळे:
  • वर्तुळे एकमेकांना बाहेरून स्पर्श करतात.
  • केंद्रांतील अंतर = r1 + r2 (त्रिज्येची बेरीज).
  • [IMAGE: TODO: बाह्यस्पर्शी वर्तुळे]
  1. अंतर्स्पर्शी वर्तुळे:
  • वर्तुळे एकमेकांना आतून स्पर्श करतात.
  • केंद्रांतील अंतर = |r1 - r2| (त्रिज्येतील फरक).
  • [IMAGE: TODO: अंतर्स्पर्शी वर्तुळे]

महत्त्वाचे गुणधर्म:

  • स्पर्शवर्तुळांना एक सामाईक स्पर्शिका असते, जी त्यांच्या स्पर्शबिंदूतून जाते.
  • स्पर्शबिंदूतून काढलेली त्रिज्या स्पर्शिकेला लंब असते. (स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय)
❗महत्त्वाची नोंद

स्पर्शवर्तुळांचा स्पर्शबिंदू त्यांच्या केंद्रबिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेवर असतो.

🧮सूत्र

बाह्यस्पर्शी वर्तुळे: केंद्रांतील अंतर d = r1 + r2 अंतर्स्पर्शी वर्तुळे: केंद्रांतील अंतर d = |r1 - r2|

वर्तुळकंस आणि केंद्रीय कोन

वर्तुळकंस (Arc of a Circle):

  • वृत्तछेदिकेमुळे वर्तुळाचे दोन भागांत विभाजन होते. या भागांना वर्तुळकंस म्हणतात.
  • कंसाचे अंत्यबिंदू हे वर्तुळ आणि वृत्तछेदिकेचे छेदनबिंदू असतात.
कंसांचे प्रकार:
  1. लघुकंस (Minor Arc):
  • ज्या कंसाच्या बाजूला वर्तुळकेंद्र असते, तो लघुकंस.
  • माप त्याच्या संगत केंद्रीय कोनाएवढे असते. m(लघुकंस) = m(केंद्रीय कोन).
  • दोन अक्षरांनी (उदा. कंस AB) किंवा तीन अक्षरांनी (उदा. कंस AXB) दर्शवतात.
  1. विशालकंस (Major Arc):
  • ज्या कंसाच्या विरुद्ध बाजूला वर्तुळकेंद्र असते, तो विशालकंस.
  • माप 360° - m(संगत लघुकंस) असते.
  • तीन अक्षरांनी (उदा. कंस AYB) दर्शवतात.
  1. अर्धवर्तुळकंस (Semicircular Arc):
  • जेव्हा वृत्तछेदिका व्यास असते, तेव्हा तयार होणारे कंस.
  • माप 180° असते.
  • केंद्रीय कोन (Central Angle):
  • ज्या कोनाचा शिरोबिंदू वर्तुळकेंद्रावर असतो, तो केंद्रीय कोन.
  • केंद्रीय कोनामुळे वर्तुळाचे दोन कंसांत विभाजन होते.

कंसांची एकरूपता (Congruence of Arcs):

  • दोन कंस एकरूप असण्यासाठी:
  1. त्यांची मापे समान असावी लागतात.
  2. त्यांची त्रिज्या समान असावी लागते (म्हणजेच ते एकाच वर्तुळाचे किंवा एकरूप वर्तुळांचे कंस असावेत).

कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म:

  • जर कंस ABC आणि कंस CDE मध्ये C हा एकच बिंदू सामाईक असेल, तर m(कंस ABC) + m(कंस CDE) = m(कंस ACE).
  • जर एकापेक्षा जास्त बिंदू सामाईक असतील (उदा. कंस BC), तर हा गुणधर्म लागू होत नाही.

एकरूप कंस आणि जीवांचे प्रमेय:

  1. प्रमेय: एकाच वर्तुळाच्या (किंवा एकरूप वर्तुळांच्या) एकरूप कंसांच्या संगत जीवा एकरूप असतात.
  • कंस APC ≅ कंस DQE $\implies$ जीवा AC ≅ जीवा DE
  1. प्रमेय (व्यत्यास): एकाच वर्तुळाच्या (किंवा एकरूप वर्तुळांच्या) एकरूप जीवांचे संगत कंस एकरूप असतात.
  • जीवा PQ ≅ जीवा RS $\implies$ कंस PMQ ≅ कंस RNS
🧮सूत्र

कंसाचे माप:

  • लघुकंस: m(कंस) = m(संगत केंद्रीय कोन)
  • विशालकंस: m(कंस) = 360° - m(संगत लघुकंस)
  • अर्धवर्तुळकंस: m(कंस) = 180°
❗महत्त्वाची नोंद

दोन कंस एकरूप असण्यासाठी त्यांची मापे आणि त्रिज्या समान असावी लागतात.

अंतर्लिखित कोन आणि चक्रीय चौकोन

अंतर्लिखित कोन (Inscribed Angle):

  • ज्या कोनाचा शिरोबिंदू वर्तुळावर असतो आणि त्याच्या भुजा वर्तुळाला छेदतात, तो अंतर्लिखित कोन.
  • उदा. ∠ADB हा कंस ADB मध्ये अंतर्लिखित आहे.

अंतर्खंडित कंस (Intercepted Arc):

  • अंतर्लिखित कोनाच्या अंतर्भागात येणाऱ्या कंसाला अंतर्खंडित कंस म्हणतात.
  • कंसाचे अंत्यबिंदू हे वर्तुळ आणि कोनाचे छेदनबिंदू असावे लागतात.
  • कोनाच्या प्रत्येक भुजेवर कंसाचा एक अंत्यबिंदू असणे आवश्यक आहे.

अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय (Inscribed Angle Theorem):

  • प्रमेय: वर्तुळात अंतर्लिखित केलेल्या कोनाचे माप त्याने अंतर्खंडित केलेल्या कंसाच्या मापाच्या निम्मे असते.
  • m∠BAC = 1/2 m(कंस BDC)
उपप्रमेये (Corollaries):
  1. एकाच कंसातील कोन: एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले सर्व कोन एकरूप असतात.
  • [IMAGE: TODO: एकाच कंसातील कोन]
  1. अर्धवर्तुळातील कोन: अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित झालेला कोन काटकोन (90°) असतो.
  • [IMAGE: TODO: अर्धवर्तुळातील कोन]

चक्रीय चौकोन (Cyclic Quadrilateral):

  • ज्या चौकोनाचे चारही शिरोबिंदू एकाच वर्तुळावर असतात, त्याला चक्रीय चौकोन म्हणतात.

चक्रीय चौकोनाचे प्रमेय (Theorem of Cyclic Quadrilateral):

  • प्रमेय: चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन (बेरीज 180°) असतात.
  • m∠A + m∠C = 180° आणि m∠B + m∠D = 180°
उपप्रमेय:
  • चक्रीय चौकोनाचा बाह्यकोन त्याच्या संलग्न कोनाच्या संमुख कोनाशी एकरूप असतो.

चक्रीय चौकोनाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास:

  • प्रमेय: चौकोनाचे संमुख कोन पूरक असतील, तर तो चौकोन चक्रीय असतो.

चार बिंदू एकाच वर्तुळावर असण्याचे प्रमेय:

  • प्रमेय: रेषेचे दोन भिन्न बिंदू, त्या रेषेच्या एकाच बाजूला असणाऱ्या दोन भिन्न बिंदूंशी एकरूप कोन निश्चित करत असतील, तर ते चार बिंदू एकाच वर्तुळावर असतात.
  • जर बिंदू B व C हे रेषा AD च्या एकाच बाजूला असतील आणि ∠ABD ≅ ∠ACD, तर बिंदू A, B, C, D एकाच वर्तुळावर आहेत (म्हणजेच □ABCD चक्रीय आहे).
🧮सूत्र

अंतर्लिखित कोन प्रमेय: m(अंतर्लिखित कोन) = 1/2 m(अंतर्खंडित कंस)

❗महत्त्वाची नोंद

अर्धवर्तुळातील कोन नेहमी काटकोन असतो.

❗महत्त्वाची नोंद

चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन पूरक असतात (बेरीज 180°).

स्पर्शिका-छेदिका प्रमेय आणि जीवांचे प्रमेय

स्पर्शिका-छेदिका कोनाचे प्रमेय (Theorem of Angle between Tangent and Secant):

  • प्रमेय: शिरोबिंदू वर्तुळावर असलेल्या कोनाची एक भुजा वर्तुळाची स्पर्शिका असेल आणि दुसरी भुजा वर्तुळाला आणखी एका बिंदूत छेदत असेल, तर त्या कोनाचे माप त्याने अंतर्खंडित केलेल्या कंसाच्या मापाच्या निम्मे असते.
  • m∠ABC = 1/2 m(कंस ADB)
पर्यायी विधान:
  • वर्तुळाची स्पर्शिका व स्पर्शबिंदूतून काढलेली जीवा यांतील कोन, त्याने अंतर्खंडित केलेल्या कंसाच्या विरुद्ध कंसात अंतर्लिखित केलेल्या कोनाएवढा असतो.
  • m∠ABC = 1/2 m(कंस ADB) = m∠ATB (जेथे T हा कंस ADB च्या विरुद्ध कंसावरील बिंदू आहे).
व्यत्यास:
  • वर्तुळाच्या जीवेच्या एका अंत्यबिंदूतून जाणारी एक रेषा काढली असता, त्या रेषेने त्या जीवेशी केलेल्या कोनाचे माप त्या कोनाने अंतर्खंडित केलेल्या कंसाच्या मापाच्या निम्मे असेल, तर ती रेषा त्या वर्तुळाची स्पर्शिका असते.

जीवांच्या आंतरछेदनाचे प्रमेय (Theorem of Internal Division of Chords):

  • प्रमेय: एकाच वर्तुळाच्या दोन जीवा जेव्हा वर्तुळाच्या अंतर्भागात छेदतात, तेव्हा एका जीवेच्या दोन भागांच्या लांबींचा गुणाकार हा दुसऱ्या जीवेच्या दोन भागांच्या लांबींच्या गुणाकाराएवढा असतो.
  • AE × EB = CE × ED (जेथे जीवा AB आणि CD बिंदू E मध्ये छेदतात).
  • [IMAGE: TODO: जीवांच्या आंतरछेदनाचे प्रमेय]

जीवांच्या बाह्यछेदनाचे प्रमेय (Theorem of External Division of Chords):

  • प्रमेय: एकाच वर्तुळाच्या AB आणि CD या जीवांना सामावणाऱ्या वृत्तछेदिका परस्परांना वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदू E मध्ये छेदत असतील, तर AE × EB = CE × ED.
  • [IMAGE: TODO: जीवांच्या बाह्यछेदनाचे प्रमेय]

स्पर्शिका-छेदिका रेषाखंडांचे प्रमेय (Tangent Secant Segments Theorem):

  • प्रमेय: वर्तुळाच्या बाह्यभागातील E ह्या बिंदूतून काढलेली वृत्तछेदिका वर्तुळाला बिंदू A व B मध्ये छेदत असेल आणि त्याच बिंदूतून जाणारी स्पर्शिका वर्तुळाला बिंदू T मध्ये स्पर्श करत असेल, तर EA × EB = ET².
  • स्पर्शिकाखंडाचा वर्ग हा छेदिकाखंडाच्या बाह्यखंड आणि पूर्ण छेदिकाखंड यांच्या गुणाकाराएवढा असतो.
  • [IMAGE: TODO: स्पर्शिका-छेदिका रेषाखंडांचे प्रमेय]
🧮सूत्र

स्पर्शिका-छेदिका कोन: m(कोन) = 1/2 m(अंतर्खंडित कंस)

🧮सूत्र

जीवांचे आंतरछेदन: AE × EB = CE × ED

🧮सूत्र

जीवांचे बाह्यछेदन: AE × EB = CE × ED

🧮सूत्र

स्पर्शिका-छेदिका रेषाखंड: ET² = EA × EB

Ask SAAVI — Free