भौमितिक रचना

दोन त्रिकोण समरूप असतात, तेव्हा त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात आणि संगत कोन एकरूप असतात. या गुणधर्माचा उपयोग करून समरूप त्रिकोणाची रचना करता येते.

• दिलेली माहिती: एका त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी आणि दोन्ही समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर.
• रचनेची मूलभूत पायरी:

1. दिलेल्या मापांचा पहिला त्रिकोण काढा.
2. समरूपतेच्या गुणोत्तराचा वापर करून दुसऱ्या त्रिकोणाच्या संगत बाजूंची लांबी काढा.
3. काढलेल्या बाजूंच्या लांबीचा वापर करून दुसरा त्रिकोण काढा.

उदाहरण: \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\), \(AB = 5.4\) सेमी, \(BC = 4.2\) सेमी, \(AC = 6.0\) सेमी. \(AB:PQ = 3:2\).

• पायरी 1: \(\triangle ABC\) काढणे.
• \(BC = 4.2\) सेमी लांबीचा रेषाखंड काढा.
• B बिंदूतून 5.4 सेमी त्रिज्येचा कंस काढा.
• C बिंदूतून 6.0 सेमी त्रिज्येचा कंस काढा.
• दोन्ही कंसांच्या छेदनबिंदूला A नाव द्या आणि \(\triangle ABC\) पूर्ण करा.

• पायरी 2: \(\triangle PQR\) च्या बाजू काढणे.
• समरूपतेच्या गुणधर्मानुसार: \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{3}{2}\)
• \(\frac{5.4}{PQ} = \frac{3}{2} \implies PQ = \frac{5.4 \times 2}{3} = 3.6\) सेमी.
• \(\frac{4.2}{QR} = \frac{3}{2} \implies QR = \frac{4.2 \times 2}{3} = 2.8\) सेमी.
• \(\frac{6.0}{PR} = \frac{3}{2} \implies PR = \frac{6.0 \times 2}{3} = 4.0\) सेमी.

• पायरी 3: \(\triangle PQR\) काढणे.
• \(QR = 2.8\) सेमी लांबीचा रेषाखंड काढा.
• Q बिंदूतून 3.6 सेमी त्रिज्येचा कंस काढा.
• R बिंदूतून 4.0 सेमी त्रिज्येचा कंस काढा.
• दोन्ही कंसांच्या छेदनबिंदूला P नाव द्या आणि \(\triangle PQR\) पूर्ण करा.

या प्रकारच्या रचनेत, दोन्ही त्रिकोणांमध्ये कोणताही शिरोबिंदू सामाईक नसतो.

जेव्हा दोन समरूप त्रिकोणांमध्ये एक शिरोबिंदू सामाईक असतो, तेव्हा रचना अधिक सोपी होते. येथे, दिलेल्या त्रिकोणापेक्षा लहान त्रिकोण काढायचा असतो.

उदाहरण: \(\triangle ABC\) काढा. \(\triangle ABC \sim \triangle A'BC'\) असा काढा की \(AB:A'B = 5:3\). येथे \(B\) हा सामाईक शिरोबिंदू आहे. \(A'B < AB\) असल्याने, \(\triangle A'BC'\) हा \(\triangle ABC\) पेक्षा लहान असेल.

• विश्लेषण:
• \(B, A, A'\) आणि \(B, C, C'\) हे एकरेषीय असतील.
• \(\triangle ABC \sim \triangle A'BC' \implies \angle ABC = \angle A'BC'\).
• \(\frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{5}{3}\).
• म्हणजे \(BC' = \frac{3}{5} BC\).

• रचनेच्या पायऱ्या:

1. \(\triangle ABC\) काढा. (दिलेल्या मापांनुसार किंवा कोणताही एक त्रिकोण).
2. किरण BX काढा. बिंदू B मधून, रेषाखंड BC च्या विरुद्ध बाजूस, कोणताही एक लघुकोन करणारा किरण BX काढा.
3. किरण BX वर खुणा करा. \(AB:A'B = 5:3\) हे गुणोत्तर \(5:3\) आहे. यातील मोठा अंक 5 आहे. म्हणून, कंपासमध्ये सोयीस्कर अंतर घेऊन, किरण BX वर \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5\) असे 5 समान भाग करा, जेणेकरून \(BB_1 = B_1B_2 = ... = B_4B_5\).
4. \(B_5C\) जोडा. \(BC\) च्या गुणोत्तरातील अंश 5 असल्याने, \(B_5\) हा बिंदू \(C\) शी जोडा.
5. \(B_3C'\) समांतर रेषा काढा. \(BC\) च्या गुणोत्तरातील छेद 3 असल्याने, \(B_3\) बिंदूतून रेषा \(B_5C\) ला समांतर रेषा काढा. ही रेषा \(BC\) ला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला \(C'\) नाव द्या. (समांतर रेषा काढण्यासाठी, \(\angle BB_3C' = \angle BB_5C\) या एकरूप कोनांची रचना करा).
6. \(A'C'\) समांतर रेषा काढा. \(C'\) बिंदूतून रेषा \(AC\) ला समांतर रेषा काढा. ही रेषा \(AB\) ला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला \(A'\) नाव द्या.
7. \(\triangle A'BC'\) हा अपेक्षित त्रिकोण आहे.

या रचनेत, सामाईक शिरोबिंदू B असतो आणि नवीन त्रिकोण \(\triangle A'BC'\) हा मूळ त्रिकोण \(\triangle ABC\) च्या आत असतो.

जेव्हा दोन समरूप त्रिकोणांमध्ये एक शिरोबिंदू सामाईक असतो आणि दिलेल्या त्रिकोणापेक्षा मोठा त्रिकोण काढायचा असतो, तेव्हा रचना थोडी वेगळी असते.

उदाहरण: \(\triangle ABC\) काढा. \(\triangle ABC \sim \triangle A'BC'\) असा काढा की \(AB:A'B = 5:7\). येथे \(B\) हा सामाईक शिरोबिंदू आहे. \(A'B > AB\) असल्याने, \(\triangle A'BC'\) हा \(\triangle ABC\) पेक्षा मोठा असेल.

• विश्लेषण:
• \(B, A, A'\) आणि \(B, C, C'\) हे एकरेषीय असतील.
• \(\triangle ABC \sim \triangle A'BC' \implies \angle ABC = \angle A'BC'\).
• \(\frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{5}{7}\).
• म्हणजे \(BC' = \frac{7}{5} BC\).

• रचनेच्या पायऱ्या:

1. \(\triangle ABC\) काढा. (दिलेल्या मापांनुसार किंवा कोणताही एक त्रिकोण).
2. किरण BX काढा. बिंदू B मधून, रेषाखंड BC च्या विरुद्ध बाजूस, कोणताही एक लघुकोन करणारा किरण BX काढा.
3. किरण BX वर खुणा करा. \(AB:A'B = 5:7\) हे गुणोत्तर \(5:7\) आहे. यातील मोठा अंक 7 आहे. म्हणून, कंपासमध्ये सोयीस्कर अंतर घेऊन, किरण BX वर \(B_1, B_2, ..., B_7\) असे 7 समान भाग करा, जेणेकरून \(BB_1 = B_1B_2 = ... = B_6B_7\).
4. \(B_5C\) जोडा. \(BC\) च्या गुणोत्तरातील अंश 5 असल्याने, \(B_5\) हा बिंदू \(C\) शी जोडा.
5. किरण BC आणि किरण BA वाढवा. \(\triangle A'BC'\) हा \(\triangle ABC\) पेक्षा मोठा असल्याने, \(BC\) आणि \(BA\) हे किरण वाढवावे लागतील.
6. \(B_7C'\) समांतर रेषा काढा. \(BC\) च्या गुणोत्तरातील छेद 7 असल्याने, \(B_7\) बिंदूतून रेषा \(B_5C\) ला समांतर रेषा काढा. ही रेषा वाढवलेल्या किरण BC ला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला \(C'\) नाव द्या.
7. \(A'C'\) समांतर रेषा काढा. \(C'\) बिंदूतून रेषा \(AC\) ला समांतर रेषा काढा. ही रेषा वाढवलेल्या किरण BA ला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला \(A'\) नाव द्या.
8. \(\triangle A'BC'\) हा अपेक्षित त्रिकोण आहे.

या रचनेत, सामाईक शिरोबिंदू B असतो आणि नवीन त्रिकोण \(\triangle A'BC'\) हा मूळ त्रिकोण \(\triangle ABC\) च्या बाहेर असतो.

वर्तुळाच्या त्रिज्येच्या बाह्यटोकाशी काढलेली लंबरेषा ही त्या वर्तुळाची स्पर्शिका असते, या गुणधर्माचा वापर करून स्पर्शिका काढता येते.

• दिलेली माहिती: वर्तुळकेंद्र आणि वर्तुळावरील एक बिंदू.

• विश्लेषण:
• समजा, केंद्र C असलेल्या वर्तुळावरील P बिंदूतून जाणारी रेषा l ही स्पर्शिका काढायची आहे.
• त्रिज्या CP काढल्यास, रेषा l ही त्रिज्या CP ला P बिंदूत लंब असेल. (म्हणजे \(CP \perp l\)).
• म्हणून, P बिंदूतून किरण CP ला लंब रेषा काढल्यास ती अपेक्षित स्पर्शिका असेल.

• रचनेच्या पायऱ्या:

1. वर्तुळ काढा. केंद्र C असलेले आणि दिलेल्या त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
2. बिंदू P घ्या. वर्तुळावर कोणताही एक बिंदू P घ्या.
3. किरण CP काढा. केंद्र C आणि बिंदू P यांना जोडून किरण CP काढा.
4. P बिंदूतून लंब रेषा काढा. बिंदू P ला केंद्र मानून, सोयीस्कर त्रिज्येने किरण CP च्या दोन्ही बाजूंना छेदणारे कंस काढा. छेदनबिंदूंना X आणि Y नाव द्या.
5. X आणि Y बिंदूंना केंद्र मानून, X-Y च्या निम्म्यापेक्षा जास्त त्रिज्येने CP च्या एका बाजूस कंस काढा. हे कंस एकमेकांना ज्या बिंदूत छेदतील, त्याला D नाव द्या.
6. रेषा PD काढा. रेषा PD ही वर्तुळाची P बिंदूतून जाणारी अपेक्षित स्पर्शिका आहे.

या पद्धतीत, वर्तुळकेंद्र C चा उपयोग केला जातो.

काहीवेळा वर्तुळकेंद्र उपलब्ध नसते किंवा त्याचा उपयोग न करता स्पर्शिका काढायची असते. अशावेळी स्पर्शिका-छेदिका कोनाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास वापरला जातो.

• दिलेली माहिती: वर्तुळ आणि वर्तुळावरील एक बिंदू (केंद्र अज्ञात).

• विश्लेषण:
• स्पर्शिका-छेदिका कोनाच्या प्रमेयानुसार, स्पर्शिका आणि स्पर्शबिंदूतून काढलेल्या जीवेने आंतरखंडित केलेला कोन त्या जीवेने आंतरखंडित केलेल्या अंतर्लिखित कोनाएवढा असतो. (म्हणजे \(\angle CAB = \angle BCD\)).
• या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, जर \(\angle CAB = \angle BCD\) असेल, तर रेषा CD ही वर्तुळाची स्पर्शिका असते.

• रचनेच्या पायऱ्या:

1. वर्तुळ काढा. कोणत्याही त्रिज्येचे एक वर्तुळ काढा.
2. बिंदू C घ्या. वर्तुळावर कोणताही एक बिंदू C घ्या.
3. जीवा CB आणि अंतर्लिखित \(\angle CAB\) काढा. C बिंदूतून जाणारी एक जीवा CB काढा. वर्तुळावर A हा कोणताही तिसरा बिंदू घेऊन \(\triangle ABC\) पूर्ण करा. (म्हणजे \(\angle CAB\) हा अंतर्लिखित कोन होईल).
4. \(\angle CAB\) एवढा कोन \(\angle BCD\) काढा.

• कंपासमध्ये सोयीस्कर त्रिज्या घेऊन, A बिंदू केंद्र मानून \(\angle CAB\) च्या भुजांना (AC आणि AB) छेदणारा कंस काढा. छेदनबिंदूंना M आणि N नाव द्या.
• तीच त्रिज्या आणि केंद्र C घेऊन, जीवा CB ला छेदणारा कंस काढा. छेदनबिंदूला R नाव द्या.
• कंपासमध्ये MN एवढी त्रिज्या घ्या. केंद्र R घेऊन, आधी काढलेल्या कंसाला छेदणारा आणखी एक कंस काढा. छेदनबिंदूला D नाव द्या.

1. रेषा CD काढा. रेषा CD ही वर्तुळाची C बिंदूतून जाणारी अपेक्षित स्पर्शिका आहे.

या पद्धतीत, वर्तुळकेंद्र C चा उपयोग केला जात नाही.

वर्तुळाबाहेरील बिंदूतून वर्तुळाला दोन स्पर्शिका काढता येतात. या रचनेत, अर्धवर्तुळातील कोन काटकोन असतो, या गुणधर्माचा उपयोग केला जातो.

• दिलेली माहिती: वर्तुळकेंद्र, वर्तुळाची त्रिज्या आणि वर्तुळाबाहेरील एक बिंदू.

• विश्लेषण:
• समजा, केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागात P हा बिंदू आहे.
• P मधून काढलेल्या स्पर्शिका वर्तुळाला A आणि B बिंदूत स्पर्श करतात.
• त्रिज्या OA आणि OB काढल्यास, \(OA \perp PA\) आणि \(OB \perp PB\) (स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय).
• म्हणजे \(\triangle OAP\) आणि \(\triangle OBP\) हे काटकोन त्रिकोण आहेत, ज्यात OP हा कर्ण आहे.
• जर OP व्यास असलेले वर्तुळ काढले, तर ते मूळ वर्तुळाला ज्या बिंदूत छेदेल, ते A आणि B हे स्पर्शबिंदू असतील. कारण अर्धवर्तुळातील कोन काटकोन असतो.

• रचनेच्या पायऱ्या:

1. वर्तुळ काढा. केंद्र O असलेले आणि दिलेल्या त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
2. बिंदू P घ्या. वर्तुळाच्या बाह्यभागात P हा एक बिंदू घ्या.
3. रेषाखंड OP काढा. केंद्र O आणि बाह्यबिंदू P यांना जोडा.
4. रेषाखंड OP चा लंबदुभाजक काढा. OP च्या निम्म्यापेक्षा जास्त त्रिज्या घेऊन O आणि P बिंदूंना केंद्र मानून OP च्या दोन्ही बाजूंना कंस काढा. हे कंस एकमेकांना ज्या बिंदूत छेदतील, त्यांना जोडून लंबदुभाजक काढा. हा लंबदुभाजक OP ला ज्या बिंदूत छेदेल, त्याला M नाव द्या. M हा OP चा मध्यबिंदू आहे.
5. दुसरे वर्तुळ काढा. M ला केंद्र मानून आणि OM (किंवा MP) त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा.
6. छेदनबिंदू शोधा. हे दुसरे वर्तुळ, मूळ वर्तुळाला ज्या दोन बिंदूत छेदेल, त्यांना A आणि B नाव द्या. हे स्पर्शबिंदू आहेत.
7. स्पर्शिका काढा. रेषा PA आणि रेषा PB काढा. या वर्तुळाच्या अपेक्षित स्पर्शिका आहेत.

या रचनेत, वर्तुळाबाहेरील बिंदूतून वर्तुळाला दोन स्पर्शिका काढता येतात.