Gravitation

गुरुत्वाकर्षण म्हणजे दोन वस्तूंमधील आकर्षणाचे बल. हे बल केवळ पृथ्वीवरील वस्तूंमध्येच नव्हे, तर विश्वातील कोणत्याही दोन वस्तूंमध्ये कार्य करते.

• न्यूटनची कल्पना: सफरचंद खाली पडताना पाहून न्यूटनने विचार केला की पृथ्वी सफरचंदाला स्वतःकडे आकर्षित करते. हे आकर्षण बल पृथ्वीच्या केंद्राकडे निर्देशित असते.
• विश्वातील गुरुत्वाकर्षण: न्यूटनने असा निष्कर्ष काढला की हे बल केवळ सफरचंदावरच नव्हे, तर चंद्र, ग्रह आणि सूर्य यांसारख्या खगोलीय वस्तूंवरही कार्य करते.

एखादी वस्तू वर्तुळाकार मार्गावर फिरत असताना, तिच्या गतीची दिशा आणि वेग सतत बदलत असतो. या बदलासाठी एका बलाची आवश्यकता असते.

• अभिकेंद्री बल (Centripetal Force):
• वर्तुळाकार मार्गावर फिरणाऱ्या कोणत्याही वस्तूवर वर्तुळाच्या केंद्राच्या दिशेने कार्य करणारे बल.
• 'सेंट्रिपेटल' म्हणजे 'केंद्राकडे जाणारे'.
• उदाहरण: दोरीला बांधलेला दगड फिरवताना, आपल्या हाताने दगडावर केंद्राच्या दिशेने बल लावले जाते. दोरी सोडल्यास, दगड स्पर्शिकेच्या (tangent) दिशेने सरळ जातो.
• चंद्र आणि पृथ्वी: पृथ्वी चंद्राला स्वतःकडे आकर्षित करते, ज्यामुळे चंद्र पृथ्वीभोवती वर्तुळाकार कक्षेत फिरतो. हे बल अभिकेंद्री बल म्हणून कार्य करते.

जोहान्स केप्लरने ग्रहांच्या गतीचे निरीक्षण करून तीन नियम मांडले. हे नियम न्यूटनला गुरुत्वाकर्षणाचा नियम मांडण्यास उपयुक्त ठरले.

• केप्लरचा पहिला नियम (कक्षेचा नियम):
• "ग्रहाची कक्षा लंबवर्तुळाकार असते आणि सूर्य त्या लंबवर्तुळाच्या एका नाभीवर (focus) असतो."
• लंबवर्तुळाला दोन नाभीबिंदू (focal points) असतात.
• केप्लरचा दुसरा नियम (क्षेत्रफळाचा नियम):
• "ग्रहाला सूर्याशी जोडणारी रेषा समान कालावधीत समान क्षेत्रफळ व्यापते."
• याचा अर्थ ग्रह सूर्याजवळ असताना वेगाने फिरतो आणि दूर असताना हळू फिरतो.
• केप्लरचा तिसरा नियम (कालावधीचा नियम):
• "सूर्याभोवती ग्रहाच्या परिक्रमेच्या आवर्तकालाचा वर्ग (\(T^2\)) हा ग्रहाच्या सूर्यापासूनच्या सरासरी अंतराच्या घनाला (\(r^3\)) समानुपाती असतो."
• गणितीय सूत्र: \(T^2 \propto r^3\) किंवा \(\frac{T^2}{r^3} = K\) (स्थिरांक).
• \(T\) = परिक्रमेचा आवर्तकाल, \(r\) = सूर्यापासूनचे सरासरी अंतर, \(K\) = केप्लरचा स्थिरांक.

न्यूटनने केप्लरच्या नियमांचा अभ्यास करून वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम मांडला.

• नियमाचे विधान: "विश्वातील प्रत्येक वस्तू दुसऱ्या वस्तूला आकर्षित करते. हे आकर्षण बल त्या वस्तूंच्या वस्तुमानांच्या गुणाकाराशी समानुपाती असते आणि त्यांच्यातील अंतराच्या वर्गाशी व्यस्त प्रमाणात असते."
• गणितीय सूत्र: \(F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}\)
• \(F\) = गुरुत्वाकर्षण बल
• \(m_1\), \(m_2\) = दोन वस्तूंचे वस्तुमान
• \(d\) = दोन वस्तूंमधील अंतर (त्यांच्या केंद्रांमधील)
• \(G\) = वैश्विक गुरुत्वीय स्थिरांक (Universal Gravitational Constant)
• G चे मूल्य आणि एकक:
• \(G = 6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{kg}^{-2}\)
• हे मूल्य हेन्री कॅव्हेंडिशने प्रथम प्रायोगिकरित्या मोजले.
• नियमाचे परिणाम:
• जर एका वस्तूचे वस्तुमान दुप्पट केले, तर बल दुप्पट होते.
• जर अंतर दुप्पट केले, तर बल एक चतुर्थांश होते (व्यस्त वर्ग नियम).
• केंद्राचे महत्त्व: जर वस्तू गोलाकार असतील, तर बल त्यांच्या केंद्रांना जोडणाऱ्या रेषेच्या दिशेने कार्य करते. अनियमित आकाराच्या वस्तूंसाठी, बल त्यांच्या वस्तुमान केंद्रांना (centre of mass) जोडणाऱ्या रेषेच्या दिशेने कार्य करते.

पृथ्वी तिच्या जवळील प्रत्येक वस्तूला गुरुत्वाकर्षण बलाने स्वतःकडे आकर्षित करते. हे बल पृथ्वीच्या वस्तुमान केंद्र (center of mass) म्हणजेच तिच्या केंद्राकडे निर्देशित असते.

• सफरचंद आणि पृथ्वी: पृथ्वी सफरचंदाला आकर्षित करते, त्याचप्रमाणे सफरचंदही पृथ्वीला आकर्षित करते (न्यूटनचा तिसरा नियम). परंतु, पृथ्वीचे वस्तुमान खूप जास्त असल्याने, सफरचंदाच्या आकर्षणाने पृथ्वीवर कोणताही दृश्य परिणाम होत नाही, तर सफरचंद पृथ्वीकडे वेगाने पडते.
• चंद्र आणि उपग्रह: चंद्र आणि कृत्रिम उपग्रह पृथ्वीभोवती फिरतात कारण पृथ्वी त्यांना आकर्षित करते. ते पृथ्वीवर पडत नाहीत कारण त्यांच्याकडे त्यांच्या कक्षेत फिरण्यासाठी पुरेसा वेग असतो. जर हा वेग नसता, तर ते पृथ्वीवर पडले असते.
• भरती-ओहोटी: समुद्रातील भरती-ओहोटी चंद्राच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे होते. चंद्राच्या खालील पाणी चंद्राकडे खेचले जाते, ज्यामुळे भरती येते. याच्या ९० अंशावर असलेल्या ठिकाणी ओहोटी येते.

पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे वस्तूमध्ये निर्माण होणाऱ्या त्वरणाला गुरुत्वीय त्वरण (acceleration due to gravity) म्हणतात. हे 'g' या अक्षराने दर्शवले जाते.

• दिशा: 'g' ची दिशा नेहमी पृथ्वीच्या केंद्राकडे, म्हणजेच उभ्या दिशेने खाली असते.
• सूत्र:
• न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार, \(F = ma\). गुरुत्वाकर्षण बलासाठी, \(F = mg\).
• न्यूटनच्या गुरुत्वाकर्षण नियमानुसार, \(F = G \frac{Mm}{r^2}\).
• म्हणून, \(mg = G \frac{Mm}{r^2}\) \(\Rightarrow g = G \frac{M}{r^2}\)
• \(M\) = पृथ्वीचे वस्तुमान, \(r\) = वस्तूचे पृथ्वीच्या केंद्रापासूनचे अंतर.
• पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर 'g' चे मूल्य:
• पृष्ठभागावर \(r = R\) (पृथ्वीची त्रिज्या).
• \(g = G \frac{M}{R^2}\)
• \(G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{kg}^{-2}\)
• \(M = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\)
• \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\)
• या मूल्यांचा वापर करून, \(g \approx 9.77 \text{ m/s}^2\) (सरासरी मूल्य).
• 'g' च्या मूल्यातील बदल:
• अ. पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर:
• पृथ्वीचा आकार पूर्णपणे गोलाकार नाही, ती ध्रुवांवर चपटी आणि विषुववृत्तावर फुगीर आहे.
• विषुववृत्तावर त्रिज्या जास्त असते, म्हणून \(g\) चे मूल्य कमी (सुमारे \(9.78 \text{ m/s}^2\)).
• ध्रुवांवर त्रिज्या कमी असते, म्हणून \(g\) चे मूल्य जास्त (सुमारे \(9.832 \text{ m/s}^2\)).
• ब. उंचीनुसार बदल:
• पृथ्वीच्या पृष्ठभागापासून वर गेल्यास \(r\) वाढतो, त्यामुळे \(g\) चे मूल्य कमी होते.\(g \propto \frac{1}{r^2}\)
• कमी उंचीसाठी हा बदल नगण्य असतो, परंतु उपग्रहांसारख्या मोठ्या उंचीसाठी तो महत्त्वाचा असतो.
• क. खोलीनुसार बदल:
• पृथ्वीच्या आत गेल्यास \(r\) कमी होतो, परंतु गुरुत्वाकर्षण बल निर्माण करणारे पृथ्वीचे वस्तुमान \(M\) देखील कमी होते.
• या दोन्ही बदलांमुळे, पृथ्वीच्या आत गेल्यास \(g\) चे मूल्य कमी होते.
• पृथ्वीच्या केंद्रावर \(g\) चे मूल्य शून्य असते.
• इतर ग्रह/चंद्रांवर 'g': प्रत्येक ग्रह किंवा चंद्राचे वस्तुमान आणि त्रिज्या भिन्न असल्याने, त्यांच्या पृष्ठभागावरील \(g\) चे मूल्य भिन्न असते. चंद्रावर \(g\) चे मूल्य पृथ्वीवरील मूल्याच्या सुमारे \(\frac{1}{6}\) पट असते.

वस्तुमान (Mass) आणि वजन (Weight) या दोन भिन्न भौतिक राशी आहेत, ज्यांची गल्लत अनेकदा केली जाते.

• वस्तुमान (Mass):
• व्याख्या: वस्तूमध्ये असलेल्या द्रव्याचे प्रमाण.
• एकक: SI एकक किलोग्राम (kg).
• प्रकार: अदिश राशी (scalar quantity).
• बदल: वस्तुमानाचे मूल्य विश्वात कुठेही बदलत नाही. ते स्थिर असते.
• जडत्वाचे माप: न्यूटनच्या पहिल्या नियमानुसार, वस्तुमान हे वस्तूच्या जडत्वाचे (inertia) माप आहे. जास्त वस्तुमान म्हणजे जास्त जडत्व.
• वजन (Weight):
• व्याख्या: पृथ्वी (किंवा कोणताही ग्रह) ज्या बलाने वस्तूला स्वतःकडे आकर्षित करते, ते बल म्हणजे वस्तूचे वजन.
• सूत्र: \(W = mg\)
• \(m\) = वस्तूचे वस्तुमान
• \(g\) = गुरुत्वीय त्वरण
• एकक: SI एकक न्यूटन (N), कारण वजन हे एक बल आहे.
• प्रकार: सदिश राशी (vector quantity), दिशा नेहमी पृथ्वीच्या केंद्राकडे.
• बदल: 'g' चे मूल्य बदलत असल्याने, वस्तूचे वजन ठिकाणानुसार बदलते. (उदा. चंद्रावर वजन पृथ्वीच्या \(\frac{1}{6}\) पट असते).
• दुकान आणि विज्ञान: सामान्यतः दुकानात आपण 'वजन' किलोग्राममध्ये मोजतो, पण ते प्रत्यक्षात वस्तुमान असते. वैज्ञानिक भाषेत, '75 kg वजन' म्हणजे 75 kg वस्तुमान असलेल्या वस्तूवर पृथ्वीने लावलेले बल (75 x 9.8 N = 735 N).

गुरुत्वीय लहरी या अवकाश-वेळेच्या (space-time) संरचनेतील लहरी आहेत. आइन्स्टाईनने 1916 मध्ये त्यांच्या अस्तित्वाची भविष्यवाणी केली होती.

• स्वरूप: या लहरी खूप कमकुवत असतात आणि त्यांना शोधणे खूप कठीण असते.
• शोध: LIGO (Laser Interferometric Gravitational-Wave Observatory) सारख्या अत्यंत संवेदनशील उपकरणांनी खगोलीय स्त्रोतांकडून येणाऱ्या गुरुत्वीय लहरींचा शोध लावला.
• महत्त्व: या शोधामुळे विश्वाविषयी माहिती मिळवण्यासाठी एक नवीन मार्ग खुला झाला आहे. भारतीय वैज्ञानिकांनीही या शोधात महत्त्वपूर्ण योगदान दिले आहे.

जेव्हा एखादी वस्तू केवळ गुरुत्वाकर्षण बलाच्या प्रभावाखाली गतिमान असते, तेव्हा तिला मुक्त पतन (free fall) म्हणतात.

• शुरुवातीचा वेग: मुक्त पतनामध्ये वस्तूचा सुरुवातीचा वेग (initial velocity) शून्य असतो (\(u=0\)).
• त्वरण: वस्तू गुरुत्वीय त्वरण 'g' मुळे खाली पडते, त्यामुळे तिचा वेग वाढत जातो.
• घर्षण आणि उत्प्लावक बल: वास्तविक जीवनात, हवेमुळे घर्षण बल आणि उत्प्लावक बल (buoyant force) वस्तूवर कार्य करतात. त्यामुळे 'खरे मुक्त पतन' केवळ निर्वात पोकळीतच (vacuum) शक्य आहे.
• गतीची समीकरणे (मुक्त पतनासाठी):
• \(v = gt\)
• \(v^2 = 2gs\)
• \(s = \frac{1}{2}gt^2\)
• येथे, \(u=0\) आणि \(a=g\).
• वर फेकलेल्या वस्तूंसाठी:
• वस्तू वर फेकल्यास, त्वरण \(a = -g\) घेतले जाते, कारण गुरुत्वाकर्षण बल गतीच्या विरुद्ध दिशेने कार्य करते.
• यामुळे वस्तूचा वेग कमी होतो आणि एका विशिष्ट उंचीवर तो शून्य होतो, त्यानंतर वस्तू खाली पडू लागते.
• गॅलिलिओचा प्रयोग: गॅलिलिओने पिसाच्या झुकलेल्या मनोऱ्यातून वेगवेगळ्या वस्तुमानाचे गोळे टाकून दाखवले की ते एकाच वेळी जमिनीवर पोहोचतात (हवेचा विरोध नसताना). याचा अर्थ 'g' चे मूल्य वस्तूच्या वस्तुमानावर अवलंबून नसते.

वस्तूच्या स्थितीमुळे किंवा अवस्थेमुळे तिच्यात साठवलेली ऊर्जा म्हणजे स्थितीज ऊर्जा (potential energy).

• पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळ:
• जर उंची \(h\) पृथ्वीच्या त्रिज्येच्या तुलनेत कमी असेल, तर \(g\) स्थिर मानले जाते.
• स्थितीज ऊर्जा \(PE = mgh\).
• पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर \(PE = 0\) मानले जाते.
• मोठ्या उंचीसाठी:
• मोठ्या उंचीवर \(g\) चे मूल्य उंचीनुसार कमी होते.
• अनंत अंतरावर (infinite distance) \(g\) चे मूल्य शून्य होते, त्यामुळे गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करत नाही. या ठिकाणी स्थितीज ऊर्जा शून्य मानणे अधिक योग्य आहे.
• पृथ्वीच्या पृष्ठभागापासून \(h\) उंचीवर असलेल्या वस्तूची गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा: \(PE = -\frac{GMm}{R+h}\)
• येथे, \(M\) = पृथ्वीचे वस्तुमान, \(R\) = पृथ्वीची त्रिज्या, \(m\) = वस्तूचे वस्तुमान.
• ऋण चिन्ह (negative sign) दर्शवते की गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षणाचे आहे आणि अनंत अंतरावर ऊर्जा शून्य आहे.

एखाद्या वस्तूला पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणातून कायमस्वरूपी बाहेर पडण्यासाठी आवश्यक असलेला किमान वेग म्हणजे पलायन वेग (escape velocity).

• संकल्पना: जर एखाद्या वस्तूला इतक्या वेगाने वर फेकले की ती पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणातून बाहेर पडून कधीही परत येत नाही, तर तो वेग पलायन वेग असतो.
• ऊर्जेचे अक्षय्यतेचे तत्व:
• पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर (वस्तुमान \(m\) साठी):
• गतिज ऊर्जा \(KE = \frac{1}{2}mv_{esc}^2\)
• स्थितीज ऊर्जा \(PE = -\frac{GMm}{R}\)
• एकूण ऊर्जा \(E_1 = \frac{1}{2}mv_{esc}^2 - \frac{GMm}{R}\)
• अनंत अंतरावर (जेथे वस्तू थांबते):
• गतिज ऊर्जा \(KE = 0\)
• स्थितीज ऊर्जा \(PE = 0\)
• एकूण ऊर्जा \(E_2 = 0\)
• ऊर्जा अक्षय्यतेच्या तत्त्वानुसार, \(E_1 = E_2\)
• \(\frac{1}{2}mv_{esc}^2 - \frac{GMm}{R} = 0\)
• \(\frac{1}{2}mv_{esc}^2 = \frac{GMm}{R}\)
• \(v_{esc}^2 = \frac{2GM}{R}\)
• \(v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\) किंवा \(v_{esc} = \sqrt{2gR}\)
• पृथ्वीसाठी पलायन वेग:
• \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\), \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\)
• \(v_{esc} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6} \approx 11.2 \text{ km/s}\)
• उपयोग: चंद्र किंवा इतर ग्रहांवर पाठवल्या जाणाऱ्या अवकाशयानांना पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणातून बाहेर पडण्यासाठी पलायन वेगापेक्षा जास्त वेग देणे आवश्यक असते.

अवकाशयानातील अंतराळवीर आणि वस्तू तरंगताना दिसतात, याला भारहीनता म्हणतात.

• गैरसमज: अवकाशयान पृथ्वीपासून खूप उंचीवर असल्याने तेथे 'g' शून्य असतो, हा गैरसमज आहे. अवकाश स्थानकात 'g' चे मूल्य पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील मूल्यापेक्षा फक्त 11% कमी असते.
• वास्तविक कारण: भारहीनतेचे कारण म्हणजे अवकाशयान आणि त्यातील सर्व वस्तू मुक्त पतनाच्या अवस्थेत (state of free fall) असतात.
• अवकाशयान पृथ्वीवर पडत नाही कारण त्याला कक्षेत फिरण्यासाठी वेग असतो.
• परंतु, त्यावर कार्य करणारे एकमेव बल म्हणजे पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण बल.
• मुक्त पतनाचा वेग वस्तूच्या गुणधर्मांवर अवलंबून नसल्यामुळे, अवकाशयान, अंतराळवीर आणि आतील वस्तू यांचा मुक्त पतनाचा वेग समान असतो.
• त्यामुळे, अंतराळवीराने एखादी वस्तू सोडल्यास, ती त्याच्या सापेक्ष स्थिर राहते आणि त्याला भारहीनता जाणवते.