त्रिकोण व त्रिकोणाचे गुणधर्म
या धड्यात विद्यार्थ्यांना त्रिकोणाची ओळख करून दिली जाते. त्रिकोणाचे शिरोबिंदू, बाजू आणि कोन या मूलभूत घटकांची माहिती दिली जाते. बाजूंच्या लांबीनुसार (समभुज, समद्विभुज, विषमभुज) आणि कोनांच्या मापांनुसार (लघुकोन, काटकोन, विशालकोन) त्रिकोणांचे वर्गीकरण कसे केले जाते हे शिकवले जाते. तसेच, त्रिकोणाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते आणि कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा नेहमी मोठी असते यांसारख्या महत्त्वाच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केला जातो. हा धडा भूमितीतील त्रिकोणांच्या संकल्पना स्पष्ट करतो, जो पुढील अभ्यासासाठी महत्त्वाचा पाया आहे.
त्रिकोण: व्याख्या आणि घटक
त्रिकोण म्हणजे तीन नैकरेषीय बिंदूंना रेषाखंडांनी जोडून तयार होणारी बंदिस्त आकृती.
- घटक:
- शिरोबिंदू (Vertices): त्रिकोणाला तीन शिरोबिंदू असतात. उदा. ∆ABC मध्ये A, B, C.
- बाजू (Sides): त्रिकोणाला तीन बाजू असतात. उदा. ∆ABC मध्ये बाजू AB, बाजू BC, बाजू AC.
- कोन (Angles): त्रिकोणाला तीन कोन असतात. उदा. ∆ABC मध्ये ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB.
- संकेत: त्रिकोणाला '∆' या चिन्हाने दर्शवतात. उदा. ∆ABC.
- त्रिकोण काढण्यासाठी आवश्यक अटी:
- तीन नैकरेषीय बिंदू असणे आवश्यक आहे. (एकाच रेषेवर नसलेले बिंदू)
- तीन रेषाखंडांनी बंदिस्त आकृती तयार होणे आवश्यक आहे.
त्रिकोण: तीन नैकरेषीय बिंदूंना रेषाखंडांनी जोडून तयार होणारी बंदिस्त आकृती.
त्रिकोणाचे सहा घटक असतात: तीन बाजू आणि तीन कोन.
त्रिकोणाचे प्रकार - बाजूंवरून
त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीनुसार त्याचे तीन मुख्य प्रकार पडतात:
- समभुज त्रिकोण (Equilateral Triangle):
- तिन्ही बाजूंची लांबी समान असते.
- उदाहरण: जर l(AB) = l(BC) = l(AC) = 5 सेमी, तर ∆ABC हा समभुज त्रिकोण आहे.
- प्रत्येक कोनाचे माप 60° असते.
- समद्विभुज त्रिकोण (Isosceles Triangle):
- कोणत्याही दोन बाजूंची लांबी समान असते.
- उदाहरण: जर l(PQ) = l(PR) = 6 सेमी आणि l(QR) = 4 सेमी, तर ∆PQR हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.
- समान बाजूंसमोरील कोन समान मापाचे असतात.
- विषमभुज त्रिकोण (Scalene Triangle):
- कोणत्याही दोन बाजूंची लांबी समान नसते, म्हणजेच तिन्ही बाजूंची लांबी वेगवेगळी असते.
- उदाहरण: जर l(XY) = 3 सेमी, l(YZ) = 4 सेमी आणि l(XZ) = 5 सेमी, तर ∆XYZ हा विषमभुज त्रिकोण आहे.
- या त्रिकोणात कोणतेही कोन समान मापाचे नसतात.
समभुज (Equilateral): 'सम' म्हणजे समान, 'भुज' म्हणजे बाजू. ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान लांबीच्या असतात.
समद्विभुज (Isosceles): 'सम' म्हणजे समान, 'द्वि' म्हणजे दोन, 'भुज' म्हणजे बाजू. ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात.
विषमभुज (Scalene): 'विषम' म्हणजे समान नसणे. ज्या त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजू समान लांबीच्या नसतात.
त्रिकोणाचे प्रकार - कोनांवरून
त्रिकोणाच्या कोनांच्या मापनुसार त्याचे तीन मुख्य प्रकार पडतात:
- लघुकोन त्रिकोण (Acute-angled Triangle):
- त्रिकोणाचे तिन्ही कोन लघुकोन असतात (म्हणजे प्रत्येक कोनाचे माप 90° पेक्षा कमी असते).
- उदाहरण: ∆DEF मध्ये ∠D = 70°, ∠E = 60°, ∠F = 50°.
- काटकोन त्रिकोण (Right-angled Triangle):
- त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन असतो (म्हणजे एका कोनाचे माप 90° असते).
- इतर दोन कोन नेहमी लघुकोन असतात.
- उदाहरण: ∆PQR मध्ये ∠Q = 90°.
- काटकोन त्रिकोणात, काटकोनासमोरच्या बाजूला कर्ण (Hypotenuse) म्हणतात. ही त्रिकोणातील सर्वात लांब बाजू असते.
- विशालकोन त्रिकोण (Obtuse-angled Triangle):
- त्रिकोणाचा एक कोन विशालकोन असतो (म्हणजे एका कोनाचे माप 90° पेक्षा जास्त असते).
- इतर दोन कोन नेहमी लघुकोन असतात.
- उदाहरण: ∆LMN मध्ये ∠M = 110°.
लघुकोन त्रिकोण: ज्या त्रिकोणाचे तिन्ही कोन लघुकोन असतात.
काटकोन त्रिकोण: ज्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन (90°) असतो.
विशालकोन त्रिकोण: ज्या त्रिकोणाचा एक कोन विशालकोन (90° पेक्षा मोठा) असतो.
एका त्रिकोणात एकापेक्षा जास्त काटकोन किंवा विशालकोन असू शकत नाहीत. कारण तसे झाल्यास कोनांची बेरीज 180° पेक्षा जास्त होईल.
त्रिकोणाचे गुणधर्म: कोन-बेरीज गुणधर्म
त्रिकोणाचा सर्वात महत्त्वाचा गुणधर्म म्हणजे त्याच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज नेहमी 180° असते.
- सूत्र: ∆ABC मध्ये, \(m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ\)
- सिद्धता (प्रयोगाद्वारे):
- एक त्रिकोणाकृती कागद घ्या.
- त्याचे तिन्ही कोन वेगवेगळ्या रंगांनी रंगवा किंवा खुणा करा.
- आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे (NCERT Fig 15.8, 15.9) तिन्ही कोपरे कापून घ्या.
- हे तिन्ही कोपरे एका सरळ रेषेवर (180° कोन) जुळवून पहा. ते बरोबर जुळतात.
- यावरून सिद्ध होते की त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज 180° असते.
- उपयोग:
- जर त्रिकोणाचे दोन कोन दिले असतील, तर तिसरा कोन काढता येतो.
- त्रिकोण काढणे शक्य आहे की नाही हे तपासण्यासाठी.
त्रिकोणाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज: \(m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ\)
या गुणधर्मावर आधारित प्रश्न बोर्ड परीक्षेत वारंवार विचारले जातात, जिथे दोन कोन देऊन तिसरा कोन विचारला जातो.
त्रिकोणाचे गुणधर्म: बाजू-बेरीज गुणधर्म
त्रिकोणाचा दुसरा महत्त्वाचा गुणधर्म म्हणजे त्याच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज ही तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा नेहमी मोठी असते.
- सूत्र: ∆ABC मध्ये,
- \(l(AB) + l(BC) > l(AC)\)
- \(l(BC) + l(AC) > l(AB)\)
- \(l(AC) + l(AB) > l(BC)\)
- उपयोग:
- दिलेल्या तीन लांबींच्या रेषाखंडांपासून त्रिकोण काढणे शक्य आहे की नाही हे तपासण्यासाठी हा गुणधर्म वापरला जातो.
- जर ही अट पूर्ण होत नसेल, तर त्रिकोण काढणे शक्य नाही.
- उदाहरण:
- बाजू 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी: \(3+4 > 5\) (7 > 5, सत्य), \(4+5 > 3\) (9 > 3, सत्य), \(3+5 > 4\) (8 > 4, सत्य). म्हणून त्रिकोण काढता येईल.
- बाजू 2 सेमी, 3 सेमी, 6 सेमी: \(2+3 > 6\) (5 > 6, असत्य). म्हणून त्रिकोण काढता येणार नाही.
त्रिकोणाच्या बाजू-बेरीज गुणधर्म: त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज ही तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा नेहमी मोठी असते.
केवळ दोन बाजूंची बेरीज तपासू नका, तर तिन्ही बाजूंच्या जोड्यांची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी आहे का ते तपासा. (उदा. \(a+b>c\), \(b+c>a\), \(a+c>b\))
