चौकोन
चौकोन हे भूमितीतील एक महत्त्वाचे प्रकरण आहे. या प्रकरणात विद्यार्थ्यांना चौकोनाची ओळख, त्याच्या बाजू, शिरोबिंदू, लगतच्या बाजू, संमुख बाजू, लगतचे कोन, संमुख कोन आणि कर्ण या मूलभूत संकल्पना शिकायला मिळतात. चौकोनाच्या चारही कोनांच्या मापांची बेरीज ३६०° असते हे सिद्ध केले जाते. तसेच, पंचकोन आणि इतर बहुभुजाकृतींचीही ओळख करून दिली जाते. हे प्रकरण विद्यार्थ्यांना भूमितीतील आकारांचे सखोल ज्ञान देते आणि पुढील वर्गातील भूमितीच्या अभ्यासासाठी पाया तयार करते.
चौकोन (Quadrilateral)
चौकोन ही चार रेषाखंडांनी बंदिस्त केलेली आकृती असते. या आकृतीला चार बाजू आणि चार शिरोबिंदू असतात.
- व्याख्या: कागदावर A, B, C, D हे चार बिंदू असे घ्या, की कोणतेही तीन बिंदू नैकरेषीय (non-collinear) असतील. ते बिंदू एकमेकांना जोडून एक बंदिस्त आकृती तयार करायची आहे, मात्र कोणतेही दोन बिंदू जोडले तर उरलेले दोन बिंदू त्या रेषेच्या एकाच बाजूला असावेत. या नियमांचे पालन करून तयार झालेल्या आकृतीला चौकोन म्हणतात.
- शिरोबिंदू (Vertices): चौकोन ABCD मध्ये A, B, C, D हे चार शिरोबिंदू आहेत.
- बाजू (Sides): चौकोन ABCD मध्ये रेख AB, रेख BC, रेख CD आणि रेख DA या चार बाजू आहेत.
- कोन (Angles): चौकोन ABCD मध्ये ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD आणि ∠CDA हे चार कोन आहेत.
- वाचन आणि लेखन: चौकोनाचे नाव लिहिताना ते शिरोबिंदूंच्या क्रमाने (घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने किंवा विरुद्ध दिशेने) लिहितात. उदा. चौकोन ABCD, चौकोन BCDA, चौकोन CDAB, चौकोन DABC. चिन्हात □ABCD असे लिहितात.
चौकोन हा त्रिकोणाप्रमाणे एक बंदिस्त आकृती आहे.
उदाहरणे: घराची भिंत, पुस्तकाचे पृष्ठ, खिडकीचा तावदान.
कोणतेही तीन शिरोबिंदू नैकरेषीय (एका रेषेत नसलेले) असणे आवश्यक आहे.
चौकोनाच्या लगतच्या बाजू (Adjacent Sides)
- व्याख्या: चौकोनाच्या ज्या दोन बाजूंमध्ये एक सामाईक शिरोबिंदू असतो, त्या बाजूंना चौकोनाच्या लगतच्या बाजू म्हणतात.
- चौकोन ABCD मध्ये लगतच्या बाजूंच्या जोड्या:
- (बाजू AB, बाजू BC) - सामाईक शिरोबिंदू B
- (बाजू BC, बाजू CD) - सामाईक शिरोबिंदू C
- (बाजू CD, बाजू DA) - सामाईक शिरोबिंदू D
- (बाजू DA, बाजू AB) - सामाईक शिरोबिंदू A
- प्रत्येक चौकोनात लगतच्या बाजूंच्या चार जोड्या असतात.
लगतच्या बाजूंना नेहमी एक शिरोबिंदू सामाईक असतो.
चौकोनाच्या संमुख बाजू (Opposite Sides)
- व्याख्या: चौकोनाच्या ज्या दोन बाजूंमध्ये एकही शिरोबिंदू सामाईक नसतो, त्या बाजूंना चौकोनाच्या संमुख बाजू किंवा समोरासमोरील बाजू म्हणतात.
- चौकोन ABCD मध्ये संमुख बाजूंच्या जोड्या:
- (बाजू AB, बाजू DC)
- (बाजू BC, बाजू AD)
- प्रत्येक चौकोनात संमुख बाजूंच्या दोन जोड्या असतात.
संमुख बाजूंना कोणताही शिरोबिंदू सामाईक नसतो, त्या एकमेकांसमोर असतात.
चौकोनाचे लगतचे कोन (Adjacent Angles)
- व्याख्या: चौकोनाच्या ज्या दोन कोनांमध्ये एक बाजू सामाईक असते, त्या कोनांना चौकोनाचे लगतचे कोन किंवा शेजारचे कोन म्हणतात.
- चौकोन DEFG मध्ये लगतच्या कोनांच्या जोड्या:
- (∠D, ∠E) - सामाईक बाजू DE
- (∠E, ∠F) - सामाईक बाजू EF
- (∠F, ∠G) - सामाईक बाजू FG
- (∠G, ∠D) - सामाईक बाजू GD
- प्रत्येक चौकोनात लगतच्या कोनांच्या चार जोड्या असतात.
लगतच्या कोनांना नेहमी एक बाजू सामाईक असते.
चौकोनाचे संमुख कोन (Opposite Angles)
- व्याख्या: चौकोनाच्या ज्या दोन कोनांमध्ये एकही बाजू सामाईक नसते, त्या कोनांना चौकोनाचे संमुख कोन किंवा समोरासमोरील कोन म्हणतात.
- चौकोन DEFG मध्ये संमुख कोनांच्या जोड्या:
- (∠D, ∠F)
- (∠E, ∠G)
- प्रत्येक चौकोनात संमुख कोनांच्या दोन जोड्या असतात.
संमुख कोनांना कोणतीही बाजू सामाईक नसते, ते एकमेकांसमोर असतात.
चौकोनाचा कर्ण (Diagonals of a Quadrilateral)
- व्याख्या: चौकोनाच्या संमुख कोनांचे शिरोबिंदू जोडणाऱ्या रेषाखंडाला चौकोनाचा कर्ण म्हणतात.
- चौकोन ABCD मध्ये कर्ण:
- रेख AC हा कर्ण आहे, जो ∠A आणि ∠C या संमुख कोनांचे शिरोबिंदू जोडतो.
- रेख BD हा कर्ण आहे, जो ∠B आणि ∠D या संमुख कोनांचे शिरोबिंदू जोडतो.
- प्रत्येक चौकोनाला दोन कर्ण असतात.
कर्ण चौकोनाला दोन त्रिकोणांमध्ये विभागतात.
चौकोनाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज (Sum of Angles of a Quadrilateral)
- प्रमेय: चौकोनाच्या चारही कोनांच्या मापांची बेरीज 360° असते.
- सिद्धता (प्रायोगिक):
- एक चौकोन ABCD काढा.
- त्याचा एक कर्ण (उदा. AC) काढा. यामुळे चौकोनाचे दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजन होते: ∆ABC आणि ∆ADC.
- आपल्याला माहीत आहे की त्रिकोणाच्या तीनही कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असते.
- ∆ABC मध्ये: \(m\angle BAC + m\angle ABC + m\angle BCA = 180°\)
- ∆ADC मध्ये: \(m\angle DAC + m\angle ADC + m\angle DCA = 180°\)
- चौकोनाच्या सर्व कोनांची बेरीज म्हणजे या दोन त्रिकोणांच्या कोनांच्या बेरजेची बेरीज.
\(m\angle A + m\angle B + m\angle C + m\angle D\) \(= (m\angle BAC + m\angle DAC) + m\angle ABC + (m\angle BCA + m\angle DCA) + m\angle ADC\) \(= (m\angle BAC + m\angle ABC + m\angle BCA) + (m\angle DAC + m\angle ADC + m\angle DCA)\) \(= 180° + 180°\) \(= 360°\)
- म्हणून, चौकोनाच्या चारही कोनांच्या मापांची बेरीज 360° असते.
चौकोनाच्या कोनांच्या मापांची बेरीज = \(360°\)
या गुणधर्माचा उपयोग करून चौकोनातील अज्ञात कोनाचे माप काढता येते, जर इतर तीन कोनांची मापे दिली असतील.
बहुभुजाकृती (Polygons)
- व्याख्या: तीन किंवा अधिक रेषाखंडांनी बंदिस्त केलेल्या आकृतीला बहुभुजाकृती म्हणतात.
- बहुभुजाकृतींचे प्रकार (बाजूंच्या संख्येनुसार):
- त्रिकोण (Triangle): 3 बाजू
- चौकोन (Quadrilateral): 4 बाजू
- पंचकोन (Pentagon): 5 बाजू
- षटकोन (Hexagon): 6 बाजू
- सप्तकोन (Heptagon): 7 बाजू
- अष्टकोन (Octagon): 8 बाजू
- आणि यापुढेही बाजूंच्या संख्येनुसार बहुभुजाकृतींची नावे असतात.
- बहुभुजाकृतींच्या कोनांच्या मापांची बेरीज: एका बहुभुजाकृतीला तिच्या एका शिरोबिंदूतून कर्ण काढून त्रिकोणांमध्ये विभागता येते. जर 'n' बाजू असलेली बहुभुजाकृती असेल, तर ती \((n-2)\) त्रिकोणांमध्ये विभागली जाते. म्हणून, तिच्या सर्व कोनांच्या मापांची बेरीज \((n-2) \times 180°\) असते.
- त्रिकोण (n=3): \((3-2) \times 180° = 1 \times 180° = 180°\)
- चौकोन (n=4): \((4-2) \times 180° = 2 \times 180° = 360°\)
- पंचकोन (n=5): \((5-2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°\)
- षटकोन (n=6): \((6-2) \times 180° = 4 \times 180° = 720°\)
उदाहरणे: घराची छत (त्रिकोण), खिडकी (चौकोन), मधमाशीचे पोळे (षटकोन).
n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या कोनांच्या मापांची बेरीज = \((n-2) \times 180°\)
