भौमितिक रचना
भौमितिक रचना हा अध्याय विद्यार्थ्यांना भूमितीतील मूलभूत संकल्पना आणि रचनांची ओळख करून देतो. यामध्ये लंब रेषा म्हणजे काय, त्या कशा काढायच्या (गुण्या, कोनमापक, कंपास वापरून), रेषेवरील बिंदूतून आणि रेषेबाहेरील बिंदूतून लंब काढणे, तसेच रेषाखंडाचा लंबदुभाजक कसा काढायचा हे शिकवले जाते. या रचना दैनंदिन जीवनात आणि पुढील गणिताच्या अभ्यासात अत्यंत महत्त्वाच्या आहेत. हा अध्याय विद्यार्थ्यांना भूमितीतील आकृत्या अचूकपणे काढण्याचे कौशल्य प्रदान करतो.
लंब रेषा (Perpendicular Lines)
जेव्हा दोन रेषा एकमेकांना छेदतात आणि त्यांच्या छेदनबिंदूपाशी काटकोन (90° कोन) तयार करतात, तेव्हा त्या रेषांना लंब रेषा म्हणतात.
- चिन्ह: '⊥' या चिन्हाने लंब रेषा दर्शवतात. उदा. रेषा l ⊥ रेषा n.
- वाचन: 'रेषा l लंब रेषा n' असे वाचतात.
- उदाहरणे:
- भिंतीचा कोपरा.
- रस्त्यावरील दिव्याचे खांब जमिनीला लंब असतात.
- इमारती बांधताना भिंती सरळ उभ्या ठेवण्यासाठी 'ओळंबा' (Plumb bob) वापरतात, जो लंबतेचे तत्त्व दर्शवतो.
लंब रेषा: ज्या दोन रेषा एकमेकांना छेदून काटकोन (90°) तयार करतात, त्यांना लंब रेषा म्हणतात.
लंब रेषा एकमेकांना छेदल्यावर चार काटकोन तयार होतात.
रेषेवरील बिंदूतून रेषेला लंब काढणे
रेषेवरील दिलेल्या बिंदूतून त्या रेषेला लंब काढण्यासाठी विविध साधनांचा वापर करता येतो.
1. गुण्ाचा उपयोग करून
- पायऱ्या:
- एक रेषा PQ काढा आणि त्यावर R बिंदू घ्या.
- गुण्ाचा काटकोन करणारा बिंदू R वर ठेवा.
- गुण्ाची एक बाजू रेषा PQ शी जुळवा.
- गुण्ाच्या दुसऱ्या बाजूने R मधून जाणारी रेषा RS काढा.
- रेषा RS ही रेषा PQ ला R बिंदूत लंब असते. (रेषा RS ⊥ रेषा PQ)
2. कोनमापकाचा उपयोग करून
- पायऱ्या:
- एक रेषा RS काढा आणि त्यावर M बिंदू घ्या.
- कोनमापकाचा केंद्रबिंदू M वर ठेवा आणि त्याची पायारेषा RS शी जुळवा.
- 90° च्या खुणेवर N बिंदू काढा.
- M आणि N बिंदूतून जाणारी रेषा MN काढा.
- रेषा MN ही रेषा RS ला M बिंदूत लंब असते. (रेषा MN ⊥ रेषा RS)
3. कंपासचा उपयोग करून
- पायऱ्या:
- एक रेषा MN काढा आणि त्यावर K बिंदू घ्या.
- कंपासचे लोखंडी टोक K वर ठेवून, K च्या दोन्ही बाजूंना समान अंतरावर रेषेला छेदणारे दोन कंस काढा. त्यांना A व B नावे द्या.
- कंपासमध्ये AB अंतराच्या निम्यापेक्षा जास्त अंतर घ्या.
- कंपासचे टोक A वर ठेवून रेषेच्या एका अंगास एक कंस काढा.
- तेच अंतर कायम ठेवून कंपासचे टोक B वर ठेवून पूर्वीच्या कंसाला छेदणारा दुसरा कंस काढा. छेदनबिंदूला T नाव द्या.
- K आणि T बिंदूतून जाणारी रेषा KT काढा.
- रेषा KT ही रेषा MN ला K बिंदूत लंब असते. (रेषा KT ⊥ रेषा MN)
- महत्वाचे: कंपासमध्ये AB च्या निम्यापेक्षा जास्त अंतर का घ्यावे? जर कमी अंतर घेतले, तर कंस एकमेकांना छेदणार नाहीत आणि लंब काढता येणार नाही.
परीक्षेत 'कंपास व पट्टीचा उपयोग करून' लंब काढण्यास जास्त विचारले जाते. पायऱ्या व्यवस्थित लक्षात ठेवा.
कंपासने लंब काढताना, कंपासमधील अंतर AB च्या निम्यापेक्षा कमी घेतल्यास कंस एकमेकांना छेदत नाहीत, त्यामुळे रचना पूर्ण होत नाही.
रेषेबाहेरील बिंदूतून रेषेला लंब काढणे
रेषेबाहेरील दिलेल्या बिंदूतून त्या रेषेला लंब काढण्यासाठी देखील विविध पद्धती आहेत.
1. कागदाला घड्या घालून (प्रायोगिक पद्धत)
- पायऱ्या:
- कागदावर रेषा MN काढा आणि रेषेबाहेर P बिंदू घ्या.
- रेषा MN दिसेल अशा रीतीने कागदाला घडी घाला.
- P बिंदूवर आणखी एक घडी अशी घाला की, घडीच्या एका बाजूला असलेला रेषा MN चा भाग दुसऱ्या बाजूच्या भागाशी जुळेल.
- घड्या उलगडा. दोन्ही घड्यांच्या छेदनबिंदूला Q नाव द्या. रेषा PQ काढा.
- रेषा PQ ही रेषा MN ला लंब असते. (रेषा PQ ⊥ रेषा MN)
2. गुण्ाचा उपयोग करून
- पायऱ्या:
- एक रेषा XY काढा आणि रेषेबाहेर P बिंदू घ्या.
- गुण्ाची एक काटकोन करणारी बाजू रेषा XY ला जुळवून ठेवा.
- गुण्ा रेषेवर असा सरकवा की, गुण्ाची दुसरी काटकोन करणारी बाजू P बिंदूला चिकटेल.
- या बाजूलगत P बिंदूतून जाणारी रेषा PS काढा.
- रेषा PS ही रेषा XY ला लंब असते.
3. कंपास व पट्टी यांचा उपयोग करून
- पायऱ्या:
- एक रेषा MN काढा आणि रेषेबाहेर K बिंदू घ्या.
- कंपासचे टोक K वर ठेवून, कंपासमध्ये सोयीस्कर अंतर घ्या.
- रेषा MN ला A व B या दोन बिंदूत छेदणारे कंस काढा.
- कंपासमध्ये AB अंतराच्या निम्यापेक्षा जास्त अंतर घ्या.
- कंपासचे टोक A वर ठेवून रेषेच्या खालील अंगास एक कंस काढा.
- तेच अंतर कायम ठेवून कंपासचे टोक B वर ठेवून पूर्वीच्या कंसाला छेदणारा दुसरा कंस काढा. छेदनबिंदूला T नाव द्या.
- रेषा KT काढा.
- रेषा KT ही रेषा MN ला लंब असते. (रेषा KT ⊥ रेषा MN)
- महत्वाचे: या कृती करताना कंपासमधील अंतर कायम ठेवल्यास अचूक रचना मिळते. अंतर बदलल्यास कंस एकमेकांना छेदणार नाहीत किंवा चुकीच्या ठिकाणी छेदतील.
रेषेवरील बिंदूतून लंब काढणे आणि रेषेबाहेरील बिंदूतून लंब काढणे या दोन्ही पद्धतींमध्ये कंपासचा वापर करताना, कंपासमधील अंतर योग्य ठेवणे महत्त्वाचे आहे.
लंबदुभाजक (Perpendicular Bisector)
रेषाखंडाला दोन समान भागांत विभागणारी आणि त्याला लंब असणारी रेषा म्हणजे लंबदुभाजक.
- दुभाजक: जी रेषा एखाद्या रेषाखंडाला दोन समान भागांत विभागते, तिला दुभाजक म्हणतात. (उदा. रेषा q ही रेख AB ची दुभाजक असू शकते, पण ती लंब नसेल).
- लंबदुभाजक: जी रेषा एखाद्या रेषाखंडाला दोन समान भागांत विभागते आणि त्याला लंब असते, तिला लंबदुभाजक म्हणतात. (उदा. रेषा p ही रेख AB ची लंबदुभाजक असेल, कारण ती AB ला लंब आहे आणि AB ला दोन समान भागांत विभागते).
कंपासच्या साहाय्याने रेषाखंडाचा लंबदुभाजक काढणे
- पायऱ्या:
- एक रेषाखंड AB काढा.
- कंपासचे टोक A बिंदूवर ठेवा. कंपासमध्ये A आणि B या दोन बिंदूंमधील अंतराच्या निम्यापेक्षा जास्त अंतर घेऊन रेषाखंडाच्या वरच्या व खालच्या बाजूंना प्रत्येकी एक कंस काढा.
- कंपासमध्ये तेच अंतर कायम ठेवा आणि कंपासचे टोक B बिंदूवर ठेवून पूर्वीच्या कंसांना छेदणारे कंस काढा.
- कंसांच्या छेदनबिंदूंना P आणि Q अशी नावे द्या.
- रेषा PQ काढा.
- रेषा PQ ही रेख AB ची लंबदुभाजक रेषा आहे. ती रेख AB ला M बिंदूत छेदते, तर AM = MB आणि रेषा PQ ⊥ रेख AB.
- कागदाला घड्या घालून लंबदुभाजक तपासणे:
- एक आयताकृती कागद घेऊन त्याला खालून वर आणि उजवीकडून डावीकडे अशा दोन घड्या घाला. उभ्या घडीवरील सर्व बिंदू आडव्या घडीवरील टोकांपासून समान अंतरावर असल्याचे दिसून येईल. ही रचना लंबदुभाजकाचे तत्त्व दर्शवते.
लंबदुभाजक: जी रेषा एखाद्या रेषाखंडाला दोन समान भागांत विभागते आणि त्याला काटकोनात छेदते, तिला त्या रेषाखंडाचा लंबदुभाजक म्हणतात.
लंबदुभाजकावरील कोणताही बिंदू रेषाखंडाच्या अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो.
