भौमितिक रचना
या प्रकरणात विद्यार्थी रेषाखंडांचे लंबदुभाजक, कोनांचे दुभाजक काढायला शिकतात. तसेच त्रिकोणाचे कोनदुभाजक आणि बाजूंचे लंबदुभाजक कसे काढायचे, त्यांचे संपातबिंदू (अंतर्मध्य आणि परिमध्य) कुठे असतात, याचा अभ्यास करतात. त्रिकोण रचनेच्या विविध पद्धती (तीन बाजू दिल्या असता, दोन बाजू व समाविष्ट कोन दिला असता, दोन कोन व समाविष्ट बाजू दिली असता, काटकोन त्रिकोणात कर्ण व एक बाजू दिली असता) सविस्तरपणे शिकवल्या आहेत. एकरूप रेषाखंड, एकरूप कोन आणि एकरूप वर्तुळे या संकल्पनांचाही परिचय करून दिला आहे, ज्यामुळे विद्यार्थ्यांना भौमितिक आकृत्यांच्या समानतेची ओळख होते. हे प्रकरण भूमितीतील मूलभूत संकल्पना स्पष्ट करते.
मूलभूत भौमितिक रचना: दुभाजक
या विभागात आपण रेषाखंड आणि कोनांचे दुभाजक कसे काढायचे हे शिकू. हे मूलभूत बांधकाम पुढील जटिल रचनांसाठी आवश्यक आहे.
- रेषाखंडाचा लंबदुभाजक:
- रेषाखंडाला दोन समान भागांमध्ये विभागणारी रेषा.
- ही रेषा रेषाखंडावर लंब (90° कोन) असते.
- लंबदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू रेषाखंडाच्या दोन्ही अंत्यबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो.
- कोनदुभाजक:
- कोनाला दोन समान कोनांमध्ये विभागणारा किरण.
- कोनदुभाजकावरील प्रत्येक बिंदू कोनाच्या दोन्ही भुजांपासून समान अंतरावर असतो.
- रचनेसाठी आवश्यक साधने:
- पट्टी (Ruler)
- कंपास (Compass)
- पेन्सिल (Pencil)
- कोनमापक (Protractor) - कोनाचे माप घेण्यासाठी
- लंबदुभाजक आणि कोनदुभाजक काढण्याचे महत्त्व:
- त्रिकोणाच्या रचनांमध्ये, विशेषतः संपातबिंदू शोधण्यासाठी यांचा वापर होतो.
- इमारतींच्या नकाशांमध्ये किंवा अभियांत्रिकी रेखाचित्रांमध्ये अचूक मापनासाठी उपयुक्त.
कोणत्याही भौमितिक रचनेपूर्वी कच्ची आकृती (Rough Figure) काढणे आवश्यक आहे. यामुळे रचनेतील पायऱ्यांचा क्रम ठरवणे सोपे होते.
त्रिकोणाचे कोनदुभाजक आणि बाजूंचे लंबदुभाजक
त्रिकोणामध्ये तीन कोन आणि तीन बाजू असतात. या प्रत्येकाचे दुभाजक काढता येतात आणि त्यांचे विशिष्ट गुणधर्म आहेत.
- त्रिकोणाचे कोनदुभाजक:
- त्रिकोणाच्या प्रत्येक कोनाचा दुभाजक काढल्यास, हे तिन्ही दुभाजक एकाच बिंदूत छेदतात.
- या संपातबिंदूला अंतर्मध्य (Incentre) म्हणतात.
- अंतर्मध्य 'I' या अक्षराने दर्शवला जातो.
- अंतर्मध्य त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंपासून समान अंतरावर असतो. या अंतराचा वापर करून त्रिकोणाच्या आत एक वर्तुळ काढता येते, ज्याला अंतर्वर्तुळ (Incircle) म्हणतात.
- त्रिकोणाच्या बाजूंचे लंबदुभाजक:
- त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूचा लंबदुभाजक काढल्यास, हे तिन्ही लंबदुभाजक एकाच बिंदूत छेदतात.
- या संपातबिंदूला परिमध्य (Circumcentre) किंवा परिकेंद्र (Circumcenter) म्हणतात.
- परिमध्य 'C' या अक्षराने दर्शवला जातो.
- परिमध्य त्रिकोणाच्या तिन्ही शिरोबिंदूंपासून समान अंतरावर असतो. या अंतराचा वापर करून त्रिकोणाच्या बाहेरून एक वर्तुळ काढता येते, ज्याला परिवर्तुळ (Circumcircle) म्हणतात.
- परिमध्याचे स्थान:
- लघुकोन त्रिकोण: परिमध्य त्रिकोणाच्या आतमध्ये असतो.
- काटकोन त्रिकोण: परिमध्य कर्णाच्या मध्यबिंदूवर असतो.
- विशालकोन त्रिकोण: परिमध्य त्रिकोणाच्या बाहेर असतो.
अंतर्मध्य (Incentre) = कोनदुभाजकांचा संपातबिंदू (तिन्ही बाजूंपासून समान अंतर). परिमध्य (Circumcentre) = बाजूंच्या लंबदुभाजकांचा संपातबिंदू (तिन्ही शिरोबिंदूंपासून समान अंतर).
त्रिकोण रचना: विविध अटी
त्रिकोण काढण्यासाठी किमान तीन घटक (बाजू किंवा कोन) आवश्यक असतात. परंतु, हे घटक विशिष्ट क्रमाने आणि विशिष्ट अटींनुसार असावे लागतात.
- त्रिकोण काढण्यासाठी आवश्यक अटी (एकमेव त्रिकोण काढण्यासाठी):
- तीन बाजूंची लांबी दिली असता (बा-बा-बा कसोटी):
- उदा. l(XY) = 6 सेमी, l(YZ) = 4 सेमी, l(XZ) = 5 सेमी.
- पायऱ्या: सर्वात मोठी बाजू पाया म्हणून घ्या. कंपासमध्ये इतर दोन बाजूंची लांबी घेऊन कंस काढा. छेदनबिंदू जोडा.
- त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूंपेक्षा मोठी असावी ही अट पूर्ण होणे आवश्यक आहे.
- दोन बाजू व त्यांनी समाविष्ट केलेला कोन दिला असता (बा-को-बा कसोटी):
- उदा. l(PQ) = 5.5 सेमी, m∠P = 50°, l(PR) = 5 सेमी.
- पायऱ्या: दिलेल्या बाजूंपैकी एक पाया म्हणून घ्या. दिलेल्या कोनाचे माप कोनमापकाने घ्या. दुसऱ्या बाजूची लांबी कंपासमध्ये घेऊन कंस काढा.
- दोन कोन आणि त्यांनी समाविष्ट केलेली बाजू दिली असता (को-बा-को कसोटी):
- उदा. l(YX) = 6 सेमी, m∠ZXY = 30°, m∠XYZ = 100°.
- पायऱ्या: दिलेली बाजू पाया म्हणून घ्या. दोन्ही अंत्यबिंदूंवर दिलेले कोन काढा. किरणांचा छेदनबिंदू तिसरा शिरोबिंदू असेल.
- त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज 180° असते या गुणधर्माचा वापर करून तिसरा कोन काढता येतो, जर तो दिला नसेल.
- काटकोन त्रिकोण: कर्ण व एका बाजूची लांबी दिली असता (क-भु कसोटी):
- उदा. m∠LMN = 90°, कर्ण LN = 5 सेमी, l(MN) = 3 सेमी.
- पायऱ्या: दिलेली बाजू पाया म्हणून घ्या. काटकोन असलेल्या शिरोबिंदूवर 90° चा कोन काढा. कर्णाची लांबी कंपासमध्ये घेऊन दुसऱ्या शिरोबिंदूतून कंस काढा.
- त्रिकोण काढता न येण्याच्या किंवा अनेक त्रिकोण मिळण्याच्या अटी:
- तीन कोन दिले असता: अनेक त्रिकोण काढता येतात (समरूप त्रिकोण). एकमेव त्रिकोण काढता येत नाही.
- दोन बाजू आणि असमाविष्ट कोन: कधीकधी दोन त्रिकोण मिळतात किंवा एकही मिळत नाही (उदा. l(BC) = 8 सेमी, l(CA) = 6 सेमी, m∠ABC = 40°).
त्रिकोण रचनेच्या प्रत्येक पायरीचे अचूक वर्णन करणे महत्त्वाचे आहे. रफ आकृती काढायला विसरू नका.
त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूंपेक्षा कमी असल्यास त्रिकोण काढता येत नाही. (उदा. 2 सेमी, 2 सेमी, 4 सेमी बाजू असलेला त्रिकोण काढणे शक्य नाही कारण 2+2 = 4, जे 4 पेक्षा मोठे नाही).
एकरूपता: रेषाखंड, कोन आणि वर्तुळे
दोन भौमितिक आकृत्या तंतोतंत जुळत असतील, म्हणजे त्यांचा आकार आणि माप सारखे असतील, तर त्या आकृत्यांना एकरूप (Congruent) म्हणतात. एकरूपतेसाठी '≅' हे चिन्ह वापरतात.
- एकरूप रेषाखंड (Congruent Line Segments):
- ज्या रेषाखंडांची लांबी समान असते, ते रेषाखंड एकरूप असतात.
- उदा. जर l(AB) = 5 सेमी आणि l(PQ) = 5 सेमी, तर रेख AB ≅ रेख PQ.
- गुणधर्म:
- परावर्तकता (Reflexivity): प्रत्येक रेषाखंड स्वतःशी एकरूप असतो (रेख AB ≅ रेख AB).
- सममितता (Symmetry): जर रेख AB ≅ रेख PQ, तर रेख PQ ≅ रेख AB.
- संक्रामकता (Transitivity): जर रेख AB ≅ रेख PQ आणि रेख PQ ≅ रेख MN, तर रेख AB ≅ रेख MN.
- एकरूप कोन (Congruent Angles):
- ज्या कोनांची मापे समान असतात, ते कोन एकरूप असतात.
- उदा. जर m∠ABC = 40° आणि m∠XYZ = 40°, तर ∠ABC ≅ ∠XYZ.
- कोनांची एकरूपता त्यांच्या भुजांच्या लांबीवर अवलंबून नसते, तर कोनाच्या मापावर अवलंबून असते.
- गुणधर्म:
- परावर्तकता: प्रत्येक कोन स्वतःशी एकरूप असतो (∠A ≅ ∠A).
- सममितता: जर ∠A ≅ ∠B, तर ∠B ≅ ∠A.
- संक्रामकता: जर ∠A ≅ ∠B आणि ∠B ≅ ∠C, तर ∠A ≅ ∠C.
- एकरूप वर्तुळे (Congruent Circles):
- ज्या वर्तुळांच्या त्रिज्या समान असतात, ती वर्तुळे एकरूप असतात.
- उदा. जर वर्तुळ 1 ची त्रिज्या 3 सेमी आणि वर्तुळ 2 ची त्रिज्या 3 सेमी, तर वर्तुळ 1 ≅ वर्तुळ 2.
- एकरूप वर्तुळे एकमेकांवर तंतोतंत जुळतात.
दोन आकृत्या एकरूप आहेत, म्हणजे त्या आकारात आणि मापात सारख्या आहेत. त्या एकमेकांवर ठेवल्यास तंतोतंत जुळतात.
