समप्रमाण आणि व्यस्तप्रमाण
हे प्रकरण समप्रमाण (Direct Proportion) आणि व्यस्तप्रमाण (Inverse Proportion) या मूलभूत संकल्पनांची ओळख करून देते. विद्यार्थी दोन राशींमधील संबंध कसे ओळखायचे आणि ते गणितामध्ये कसे वापरायचे हे शिकतात. या प्रकरणांमध्ये भागीदारी (Partnership) आणि नफा-तोटा वाटप यांसारख्या व्यावहारिक उपयोगांचाही समावेश आहे, ज्यामुळे विद्यार्थ्यांना दैनंदिन जीवनातील समस्या सोडवण्यासाठी गणिताचा वापर कसा करायचा हे समजते.
समप्रमाण (Direct Proportion)
जेव्हा दोन राशींमध्ये असा संबंध असतो की, एका राशीत वाढ झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात वाढते किंवा एका राशीत घट झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात घटते, तेव्हा त्या राशी समप्रमाणात आहेत असे म्हणतात.
- गणिती स्वरूप:
- जर x आणि y समप्रमाणात असतील, तर \( \frac{x}{y} = k \) (स्थिरांक) किंवा \( x = ky \).
- याचा अर्थ \( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \) असतो.
- ओळखण्याची पद्धत:
- दोन राशींचे गुणोत्तर नेहमी स्थिर असते.
- उदाहरणार्थ: वस्तूंची संख्या वाढल्यास त्यांची किंमत वाढते. कापलेले अंतर वाढल्यास लागणारे पेट्रोल वाढते.
- दैनंदिन जीवनातील उदाहरणे:
- पेनची संख्या आणि त्यांची एकूण किंमत.
- कामगारांची संख्या आणि त्यांनी केलेले काम (वेळ स्थिर असल्यास).
- वाहनाचा वेग स्थिर असल्यास, कापलेले अंतर आणि लागणारा वेळ.
समप्रमाणात, दोन राशींचे गुणोत्तर नेहमी स्थिर असते.
उदाहरण: 10 पेनांची किंमत 60 रुपये आहे. 13 पेनांची किंमत किती?
- येथे पेनची संख्या आणि किंमत समप्रमाणात आहेत.
- \( \frac{\text{पेनची संख्या}}{\text{किंमत}} = \text{स्थिरांक} \)
- \( \frac{10}{60} = \frac{13}{x} \)
- \( 10x = 13 \times 60 \)
- \( 10x = 780 \)
- \( x = \frac{780}{10} \)
- \( x = 78 \)
- म्हणून, 13 पेनांची किंमत 78 रुपये आहे.
समप्रमाण (Direct Proportion): दोन राशींमध्ये असा संबंध की, एका राशीत वाढ झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात वाढते किंवा एका राशीत घट झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात घटते.
जर x आणि y समप्रमाणात असतील, तर \( \frac{x}{y} = k \) (स्थिरांक).
समप्रमाणाची गणिते सोडवताना, दोन राशींचे गुणोत्तर स्थिर असते हे तत्त्व नेहमी लक्षात ठेवा आणि समीकरण तयार करा.
व्यस्तप्रमाण (Inverse Proportion)
जेव्हा दोन राशींमध्ये असा संबंध असतो की, एका राशीत वाढ झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात घटते किंवा एका राशीत घट झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात वाढते, तेव्हा त्या राशी व्यस्तप्रमाणात आहेत असे म्हणतात.
- गणिती स्वरूप:
- जर x आणि y व्यस्तप्रमाणात असतील, तर \( x \times y = k \) (स्थिरांक).
- याचा अर्थ \( x_1 y_1 = x_2 y_2 \) असतो.
- ओळखण्याची पद्धत:
- दोन राशींचा गुणाकार नेहमी स्थिर असतो.
- उदाहरणार्थ: कामगारांची संख्या वाढल्यास काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारे दिवस कमी होतात. वाहनाचा वेग वाढल्यास ठराविक अंतर कापण्यासाठी लागणारा वेळ कमी होतो.
- दैनंदिन जीवनातील उदाहरणे:
- कामगारांची संख्या आणि काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारे दिवस.
- वाहनाचा वेग आणि ठराविक अंतर कापण्यासाठी लागणारा वेळ.
- एका वस्तूचे वाटप करताना, व्यक्तींची संख्या वाढल्यास प्रत्येकाला मिळणाऱ्या वस्तूंची संख्या कमी होते.
व्यस्तप्रमाणात, दोन राशींचा गुणाकार नेहमी स्थिर असतो.
उदाहरण: एक मोठी भिंत बांधायला 15 मजुरांना 8 तास लागतात; तर 12 मजुरांना तेच काम करायला किती तास लागतील?
- येथे मजुरांची संख्या आणि लागणारा वेळ व्यस्तप्रमाणात आहेत.
- \( \text{मजुरांची संख्या} \times \text{लागणारे तास} = \text{स्थिरांक} \)
- \( 15 \times 8 = 12 \times x \)
- \( 120 = 12x \)
- \( x = \frac{120}{12} \)
- \( x = 10 \)
- म्हणून, 12 मजुरांना भिंत बांधायला 10 तास लागतील.
व्यस्तप्रमाण (Inverse Proportion): दोन राशींमध्ये असा संबंध की, एका राशीत वाढ झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात घटते किंवा एका राशीत घट झाल्यास दुसरी राशी त्याच प्रमाणात वाढते.
जर x आणि y व्यस्तप्रमाणात असतील, तर \( x \times y = k \) (स्थिरांक).
समप्रमाण आणि व्यस्तप्रमाण यामध्ये गोंधळ करू नका. समप्रमाणात गुणोत्तर स्थिर असते, तर व्यस्तप्रमाणात गुणाकार स्थिर असतो.
भागीदारी (Partnership)
जेव्हा दोन किंवा अधिक व्यक्ती एकत्र येऊन व्यवसाय सुरू करतात आणि त्यासाठी भांडवल गुंतवतात, तेव्हा त्यास भागीदारी म्हणतात.
- महत्वाचे नियम:
- भागीदारीतील नफा किंवा तोटा गुंतवलेल्या भांडवलाच्या प्रमाणात वाटला जातो.
- जर भांडवल वेगवेगळ्या कालावधीसाठी गुंतवले असेल, तर नफा/तोटा वाटताना भांडवल आणि कालावधी यांचा गुणाकार विचारात घेतला जातो (या प्रकरणात फक्त समान कालावधी गृहीत धरला आहे).
- नफा/तोटा वाटपाची प्रक्रिया:
- गुंतवलेल्या भांडवलाचे प्रमाण काढा: सर्व भागीदारांनी गुंतवलेल्या भांडवलाचे सर्वात सोपे गुणोत्तर शोधा.
- नफ्याचे/तोट्याचे वाटप: मिळालेला एकूण नफा किंवा झालेला एकूण तोटा या भांडवलाच्या प्रमाणात वाटून घ्या.
उदाहरण 1: झेलम व अथर्व यांनी अनुक्रमे 2100 रुपये व 2800 रुपये भांडवल घालून व्यवसाय चालू केला. त्यांना 3500 रुपये फायदा झाला. तो कसा वाटावा?
- भांडवलाचे प्रमाण:
- झेलमचे भांडवल : अथर्वचे भांडवल = 2100 : 2800
- = 21 : 28 (100 ने भागून)
- = 3 : 4 (7 ने भागून)
- नफ्याचे वाटप:
- एकूण नफा = 3500 रुपये.
- झेलमचा नफा 3x आणि अथर्वचा नफा 4x मानू.
- \( 3x + 4x = 3500 \)
- \( 7x = 3500 \)
- \( x = \frac{3500}{7} \)
- \( x = 500 \)
- झेलमला नफा = \( 3 \times 500 = 1500 \) रुपये.
- अथर्वला नफा = \( 4 \times 500 = 2000 \) रुपये.
उदाहरण 2: चिन्मय आणि सॅम यांनी 130000 रुपये भांडवल 3:2 या प्रमाणात गुंतवले. त्यांना 36000 रुपयांचा नफा झाला, तर प्रत्येकाचा नफा किती असेल?
- प्रत्येकाची गुंतवणूक:
- एकूण गुंतवणूक = 130000 रुपये.
- प्रमाण = 3:2. एकूण भाग = 3 + 2 = 5.
- चिन्मयची गुंतवणूक = \( \frac{3}{5} \times 130000 = 3 \times 26000 = 78000 \) रुपये.
- सॅमची गुंतवणूक = \( \frac{2}{5} \times 130000 = 2 \times 26000 = 52000 \) रुपये.
- नफ्याचे वाटप:
- एकूण नफा = 36000 रुपये.
- नफ्याचे प्रमाण भांडवलाच्या प्रमाणातच (3:2) असेल.
- चिन्मयचा नफा = \( \frac{3}{5} \times 36000 = 3 \times 7200 = 21600 \) रुपये.
- सॅमचा नफा = \( \frac{2}{5} \times 36000 = 2 \times 7200 = 14400 \) रुपये.
तीन भागीदारांचे उदाहरण:
- अबदुल, सेजल व सोहम यांचे भांडवल अनुक्रमे 30 रुपये, 70 रुपये आणि 50 रुपये आहे. सायलीने 150 रुपये घालून एकूण 300 रुपये भांडवल केले. एकूण नफा 420 रुपये मिळाला.
- सायलीचा नफा: सायलीचे भांडवल एकूण भांडवलाच्या निममे (150/300 = 1/2) होते, म्हणून तिचा नफाही निममा = \( \frac{1}{2} \times 420 = 210 \) रुपये.
- उरलेला नफा: 420 - 210 = 210 रुपये (अबदुल, सेजल, सोहमसाठी).
- उरलेल्या तिघांच्या भांडवलाचे प्रमाण: 30 : 70 : 50 = 3 : 7 : 5.
- नफ्याचे वाटप: एकूण भाग = 3 + 7 + 5 = 15.
- अबदुलचा नफा = \( \frac{3}{15} \times 210 = 3 \times 14 = 42 \) रुपये.
- सेजलचा नफा = \( \frac{7}{15} \times 210 = 7 \times 14 = 98 \) रुपये.
- सोहमचा नफा = \( \frac{5}{15} \times 210 = 5 \times 14 = 70 \) रुपये.
भागीदारी (Partnership): दोन किंवा अधिक व्यक्ती एकत्र येऊन व्यवसाय सुरू करतात आणि त्यासाठी भांडवल गुंतवतात, तेव्हा त्यास भागीदारी म्हणतात.
भागीदारीतील नफा किंवा तोटा नेहमी गुंतवलेल्या भांडवलाच्या प्रमाणात वाटला जातो.
भागीदारीच्या गणितांमध्ये, प्रथम भांडवलाचे सर्वात सोपे गुणोत्तर काढा. नफा किंवा तोटा याच प्रमाणात वाटला जातो.
