परिमिती व क्षेत्रफळ
परिमिती व क्षेत्रफळ हा धडा भूमितीतील मूलभूत संकल्पना शिकवतो. यामध्ये विविध आकृत्यांची (चौरस, आयत, त्रिकोण) परिमिती आणि क्षेत्रफळ कसे काढायचे हे स्पष्ट केले आहे. तसेच, काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि त्रिमितीय वस्तूंचे (इष्टिकाचिती, घन) पृष्ठफळ कसे काढायचे हे देखील शिकवले आहे. दैनंदिन जीवनात या संकल्पनांचा उपयोग कसा होतो, हे उदाहरणांसह स्पष्ट केले आहे. हा धडा विद्यार्थ्यांना भूमितीतील समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक कौशल्ये प्रदान करतो.
परिमिती (Perimeter)
बंदिस्त आकृतीच्ा सर्व बाजूंच्ा लांबींची बेरीज म्हणजे त्ा आकृतीची परिमिती होय. परिमिती नेहमी लांबीच्ा एककात (उदा. सेमी, मीटर, किमी) मोजली जाते.
- बहुभुजाकृतीची परिमिती: तिच्या सर्व बाजूंच्ा लांबींची बेरीज.
- उदा. त्रिकोणाची परिमिती = बाजू 1 + बाजू 2 + बाजू 3
प्रमुख आकृत्यांची परिमिती सूत्रे:
- चौरसाची परिमिती:
- चौरसाला चार समान बाजू असतात.
- सूत्र: 4 × बाजू
- जर बाजू 'a' असेल, तर परिमिती = \(4a\)
- आयताची परिमिती:
- आयताला समोरासमोरच्या बाजू समान लांबीच्या असतात.
- सूत्र: 2 × (लांबी + रुंदी) किंवा \(2 \times \text{लांबी} + 2 \times \text{रुंदी}\)
- जर लांबी 'l' आणि रुंदी 'b' असेल, तर परिमिती = \(2l + 2b\)
परिमितीचे व्यावहारिक उपयोग:
- कुंपण घालणे.
- तारा लावणे.
- एखाद्या जागेभोवती फिरणे.
- कपड्याला लेस लावणे.
चौरसाची परिमिती = \(4 \times \text{बाजू}\) आयताची परिमिती = \(2 \times (\text{लांबी} + \text{रुंदी})\)
परिमिती नेहमी एक-मितीय (1D) असते, म्हणून ती लांबीच्या एककात (उदा. सेमी, मीटर) मोजली जाते. क्षेत्रफळ आणि परिमितीच्या एककात गल्लत करू नका.
क्षेत्रफळ (Area)
एखाद्या बंदिस्त आकृतीने सपाट पृष्ठभागावर व्यापलेली जागा म्हणजे तिचे क्षेत्रफळ होय. क्षेत्रफळ नेहमी चौरस एककात (उदा. चौसेमी, चौमी, चौकिमी) मोजले जाते.
प्रमुख आकृत्यांची क्षेत्रफळ सूत्रे:
- चौरसाचे क्षेत्रफळ:
- सूत्र: बाजू × बाजू किंवा \((\text{बाजू})^2\)
- जर बाजू 'a' असेल, तर क्षेत्रफळ = \(a^2\)
- आयताचे क्षेत्रफळ:
- सूत्र: लांबी × रुंदी
- जर लांबी 'l' आणि रुंदी 'b' असेल, तर क्षेत्रफळ = \(l \times b\)
क्षेत्रफळाचे व्यावहारिक उपयोग:
- जमिनीचे मोजमाप.
- भिंतीला रंग देणे किंवा फरशा बसवणे.
- शेतात पीक लागवड करणे.
- कपड्याचे किंवा कागदाचे प्रमाण ठरवणे.
रस्त्याचे/पट्ट्याचे क्षेत्रफळ काढणे:
अनेकदा उदाहरणांमध्ये बागेभोवती किंवा मैदानाच्या आत/बाहेर रस्ता असतो. अशा वेळी रस्त्याचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी दोन आयतांच्या क्षेत्रफळांची वजाबाकी करावी लागते.
- बाहेरून रस्ता असल्यास: मोठ्या आयताचे क्षेत्रफळ - लहान आयताचे क्षेत्रफळ.
- आतमध्ये रस्ता असल्यास: मोठ्या आयताचे क्षेत्रफळ - लहान आयताचे क्षेत्रफळ.
चौरसाचे क्षेत्रफळ = \((\text{बाजू})^2\) आयताचे क्षेत्रफळ = \(\text{लांबी} \times \text{रुंदी}\)
क्षेत्रफळ नेहमी द्वि-मितीय (2D) असते, म्हणून ते चौरस एककात (उदा. \(\text{सेमी}^2\), \(\text{मीटर}^2\)) मोजले जाते. एकक लिहिताना नेहमी चौरस (square) किंवा घात 2 (power 2) वापरा.
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (Area of triangle)
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी पाया आणि उंचीची आवश्यकता असते. उंची म्हणजे शिरोबिंदूतून पायावर टाकलेला लंब होय.
सामान्य त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ:
- सूत्र: \( \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} \)
- येथे, 'पाया' त्रिकोणाची कोणतीही बाजू असू शकते आणि 'उंची' म्हणजे त्या पायावर समोरच्या शिरोबिंदूतून टाकलेला लंब.
काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ:
- काटकोन त्रिकोणात, काटकोन करणाऱ्या दोन बाजूंपैकी एक बाजू पाया मानल्यास दुसरी बाजू उंची असते.
- सूत्र: \( \frac{1}{2} \times \text{काटकोन करणाऱ्या बाजूंच्या लांबीचा गुणाकार} \)
- हे सूत्र सामान्य त्रिकोणाच्या सूत्राचेच एक विशेष रूप आहे, कारण काटकोन करणाऱ्या बाजूंपैकी एक पाया आणि दुसरी उंची असते.
त्रिकोणाची उंची शोधणे:
- आकृती 1 (लंब पायावर आतमध्ये): जर शिरोबिंदूतून टाकलेला लंब पायावरच (किंवा पायाच्या वाढवलेल्या रेषेवर) पडत असेल, तर ती उंची असते.
- आकृती 2 (लंब पायाच्या बाहेर): काही त्रिकोणांमध्ये (उदा. विशालकोन त्रिकोण), उंची काढण्यासाठी पायाची रेषा वाढवावी लागते. अशा वेळी, शिरोबिंदूतून वाढवलेल्या पायावर टाकलेला लंब ही उंची असते. तरीही सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} \) हेच राहते, फक्त पाया ही त्रिकोणाची मूळ बाजू असते, वाढवलेली रेषा नाही.
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = \( \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} \) काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = \( \frac{1}{2} \times \text{काटकोन करणाऱ्या बाजूंच्या लांबीचा गुणाकार} \)
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढताना, पाया आणि उंची नेहमी एकमेकांना लंब असाव्यात.
पृष्ठफळ (Surface area)
कोणत्याही त्रिमितीय (3D) वस्तूच्ा सर्व पृष्ठभागांच्ा क्षेत्रफळांची बेरीज म्हणजे त्ा वस्तूचे पृष्ठफळ होय. पृष्ठफळ देखील चौरस एककात (उदा. चौसेमी, चौमी) मोजले जाते.
इष्टिकाचितीचे पृष्ठफळ:
- इष्टिकाचितीला 6 पृष्ठे असतात, जी आयताकृती असतात.
- समोरासमोरील पृष्ठांचे क्षेत्रफळ समान असते.
- इष्टिकाचितीची लांबी (l), रुंदी (b) आणि उंची (h) असते.
- पृष्ठे: 2 (लांबी × रुंदी), 2 (रुंदी × उंची), 2 (लांबी × उंची)
- एकूण पृष्ठफळ सूत्र: \( 2 (lb + bh + lh) \)
- येथे, \(l\) = लांबी, \(b\) = रुंदी, \(h\) = उंची.
घनाचे पृष्ठफळ:
- घन ही एक विशेष प्रकारची इष्टिकाचिती आहे, जिच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या असतात.
- घनाला 6 पृष्ठे असतात, जी चौरसाकृती असतात.
- सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ समान असते.
- घनाची बाजू 'l' मानू.
- एका पृष्ठाचे क्षेत्रफळ = \(l^2\)
- एकूण पृष्ठफळ सूत्र: \( 6 \times l^2 \)
पृष्ठफळाचे व्यावहारिक उपयोग:
- एखाद्या पेटीला रंग देणे किंवा कागद चिकटवणे.
- इमारतीला रंग देण्यासाठी लागणाऱ्या रंगाचे प्रमाण काढणे.
- वस्तू पॅक करण्यासाठी लागणाऱ्या आवरणाचे क्षेत्रफळ ठरवणे.
इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ = \( 2 (lb + bh + lh) \) घनाचे एकूण पृष्ठफळ = \( 6l^2 \)
पृष्ठफळ: त्रिमितीय वस्तूच्या सर्व बाह्य पृष्ठभागांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज. हे नेहमी चौरस एककात मोजले जाते.
