Home › Maharashtra › Class 7 › Maths › पायथागोरसचा सिद्‌धान्त
Maharashtra · Class 7 · 🧮 Maths · Chapter 13

पायथागोरसचा सिद्‌धान्त

काटकोन त्रिकोणकर्णपायथागोरसचा सिद्‌धान्तत्रिकोणाच्या बाजूपायथागोरसचे त्रिकुट

पायथागोरसचा सिद्‌धान्त हा भूमितीमधील एक मूलभूत आणि महत्त्वाचा सिद्‌धान्त आहे. या अध्यायात विद्यार्थ्यांना काटकोन त्रिकोण म्हणजे काय, कर्ण कशाला म्हणतात, आणि पायथागोरसचा सिद्‌धान्त (कर्ण)² = (पाया)² + (उंची)² कसा वापरला जातो हे शिकवले जाते. या सिद्‌धान्ताचा उपयोग करून काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू दिल्या असता तिसरी बाजू कशी काढायची हे विद्यार्थी शिकतात. तसेच, पायथागोरसचे त्रिकुट म्हणजे काय आणि ते कसे ओळखायचे हे देखील या अध्यायात समाविष्ट आहे. हा सिद्‌धान्त दैनंदिन जीवनात अनेक ठिकाणी उपयुक्त ठरतो, जसे की बांधकाम, अभियांत्रिकी आणि नेव्हिगेशन.

काटकोन त्रिकोण आणि कर्ण

काटकोन त्रिकोण म्हणजे ज्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन (90°) असतो तो त्रिकोण.

  • कर्ण (Hypotenuse): काटकोन त्रिकोणामध्ये, काटकोनासमोरील बाजूस कर्ण म्हणतात.
  • कर्ण ही काटकोन त्रिकोणाची सर्वात मोठी बाजू असते.
  • काटकोन करणाऱ्या बाजू (Legs of the right triangle): काटकोन तयार करणाऱ्या इतर दोन बाजूंना काटकोन करणाऱ्या बाजू म्हणतात. या बाजूंना 'पाया' आणि 'उंची' असेही संबोधले जाते.

उदाहरणे:

  • ∆ABC मध्ये, जर ∠B = 90° असेल, तर बाजू AC हा कर्ण आहे. बाजू AB आणि BC या काटकोन करणाऱ्या बाजू आहेत.
  • ∆PQR मध्ये, जर ∠Q = 90° असेल, तर बाजू PR हा कर्ण आहे. बाजू PQ आणि QR या काटकोन करणाऱ्या बाजू आहेत.

कर्ण ओळखणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे, कारण पायथागोरसचा सिद्‌धान्त कर्णावर आधारित आहे.

📖व्याख्या

काटकोन त्रिकोण: ज्या त्रिकोणाचा एक कोन 90° असतो, तो काटकोन त्रिकोण असतो.

📖व्याख्या

कर्ण: काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोनासमोरील बाजूस कर्ण म्हणतात. ही सर्वात लांब बाजू असते.

पायथागोरसचा सिद्‌धान्त

पायथागोरस हा एक महान ग्रीक गणितज्ञ होता, ज्याने काटकोन त्रिकोणासंबंधी एक महत्त्वाचा सिद्‌धान्त मांडला. हा सिद्‌धान्त प्राचीन काळापासून अनेक संस्कृतींना ज्ञात होता, परंतु पायथागोरसने त्याची पहिली औपचारिक सिद्धता दिली.

सिद्‌धान्ताचे विधान:

  • काटकोन त्रिकोणात, कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

गणितीय सूत्र: जर काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 'a', 'b' आणि कर्ण 'c' असेल, तर: $$c^2 = a^2 + b^2$$

  • येथे, 'c' हा कर्ण आहे, तर 'a' आणि 'b' या काटकोन करणाऱ्या बाजू आहेत (पाया आणि उंची).

उदाहरणे:

  • जर काटकोन त्रिकोणाच्या काटकोन करणाऱ्या बाजू 3 सेमी आणि 4 सेमी असतील, तर कर्ण:
  • कर्ण$^2$ = 3$^2$ + 4$^2$
  • कर्ण$^2$ = 9 + 16
  • कर्ण$^2$ = 25
  • कर्ण = $\sqrt{25}$ = 5 सेमी
  • या सिद्‌धान्ताचा उपयोग करून, काटकोन त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंची लांबी दिली असता, तिसऱ्या बाजूची लांबी काढता येते.

पायथागोरस सिद्‌धान्ताचे महत्त्व:

  • हा सिद्‌धान्त भूमितीतील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी मूलभूत आहे.
  • बांधकाम, अभियांत्रिकी आणि नेव्हिगेशन यांसारख्या क्षेत्रांमध्ये याचा व्यापक उपयोग होतो.
🧮सूत्र

पायथागोरसचा सिद्‌धान्त: $$(कर्ण)^2 = (पाया)^2 + (उंची)^2$$

❗महत्त्वाची नोंद

पायथागोरसचा सिद्‌धान्त फक्त काटकोन त्रिकोणांसाठीच लागू होतो.

पायथागोरस सिद्‌धान्ताची पडताळणी

पायथागोरसचा सिद्‌धान्त विविध कृतींद्वारे आणि उदाहरणांद्वारे पडताळता येतो. या पडताळणीमुळे सिद्‌धान्ताची सत्यता अधिक स्पष्ट होते.

कृती-आधारित पडताळणी (उदा. चौरसांच्या क्षेत्रफळांचा वापर):

  1. एक काटकोन त्रिकोण घ्या, ज्याच्या काटकोन करणाऱ्या बाजू 'b' आणि 'c' आहेत आणि कर्ण 'a' आहे.
  2. प्रत्येक बाजूवर एक चौरस काढा. कर्णावर काढलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ $a^2$ असेल, आणि इतर दोन बाजूंवर काढलेल्या चौरसांचे क्षेत्रफळ $b^2$ आणि $c^2$ असेल.
  3. सिद्‌धान्तानुसार, $a^2 = b^2 + c^2$ हे सिद्ध होते.

उदाहरण (आकृती 13.5 नुसार):

  • जर काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 3 सेमी, 4 सेमी आणि 5 सेमी असतील.
  • 3 सेमी बाजूवरील चौरसाचे क्षेत्रफळ = $3^2 = 9$ चौ. सेमी.
  • 4 सेमी बाजूवरील चौरसाचे क्षेत्रफळ = $4^2 = 16$ चौ. सेमी.
  • 5 सेमी बाजूवरील चौरसाचे क्षेत्रफळ = $5^2 = 25$ चौ. सेमी.
  • येथे, $9 + 16 = 25$. म्हणजेच, $3^2 + 4^2 = 5^2$. यावरून सिद्‌धान्त पडताळला जातो.

पायथागोरस सिद्‌धान्ताचा वापर करून बाजू काढणे:

  • जर काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू दिल्या असतील, तर तिसरी बाजू काढण्यासाठी सिद्‌धान्ताचा वापर करा.
  • कर्ण काढण्यासाठी: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
  • काटकोन करणारी बाजू काढण्यासाठी (उदा. 'a'): $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

उदाहरण: ∆ABC मध्ये, ∠C = 90°, l(AC) = 5 सेमी आणि l(BC) = 12 सेमी, तर l(AB) = किती?

  • उकल:
  1. ∆ABC मध्ये ∠C = 90° असल्याने, AB हा कर्ण आहे.
  2. पायथागोरस सिद्‌धान्तानुसार:

$l(AB)^2 = l(AC)^2 + l(BC)^2$ $l(AB)^2 = 5^2 + 12^2$ $l(AB)^2 = 25 + 144$ $l(AB)^2 = 169$ $l(AB) = \sqrt{169}$ $l(AB) = 13$ सेमी

  1. म्हणून, रेख AB ची लांबी 13 सेमी आहे.
💡टीप

परीक्षेत पायथागोरस सिद्‌धान्ताचा वापर करून बाजू काढताना, कर्ण कोणता आहे हे प्रथम निश्चित करा. काटकोनासमोरील बाजू नेहमी कर्ण असते.

🚧गैरसमज

काटकोन करणाऱ्या बाजू काढताना, कर्णाच्या वर्गातून दुसऱ्या बाजूचा वर्ग वजा करायचा असतो, बेरीज नाही. उदा. $a^2 = c^2 - b^2$, $a^2 = b^2 - c^2$ असे लिहिता कामा नये.

पायथागोरसचे त्रिकुट

पायथागोरसचे त्रिकुट म्हणजे तीन नैसर्गिक संख्यांचा असा समूह, ज्यामध्ये सर्वात मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो.

  • जर (a, b, c) हे पायथागोरसचे त्रिकुट असेल आणि c ही सर्वात मोठी संख्या असेल, तर $c^2 = a^2 + b^2$.
  • ज्या त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी अशा त्रिकुटातील संख्यांनी दर्शवली जाते, तो त्रिकोण काटकोन त्रिकोण असतो.

पायथागोरसचे त्रिकुट ओळखणे:

  1. दिलेल्या तीन संख्यांपैकी सर्वात मोठी संख्या ओळखा.
  2. सर्वात मोठ्या संख्येचा वर्ग करा.
  3. इतर दोन संख्यांच्या वर्गांची बेरीज करा.
  4. जर सर्वात मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल, तर ते पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.

उदाहरणे:

  • (3, 4, 5):
  • सर्वात मोठी संख्या = 5
  • $5^2 = 25$
  • $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
  • $25 = 25$, म्हणून (3, 4, 5) हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे. हा एक काटकोन त्रिकोण आहे.
  • (7, 24, 25):
  • सर्वात मोठी संख्या = 25
  • $25^2 = 625$
  • $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
  • $625 = 625$, म्हणून (7, 24, 25) हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.
  • (2, 4, 5):
  • सर्वात मोठी संख्या = 5
  • $5^2 = 25$
  • $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
  • $25 \neq 20$, म्हणून (2, 4, 5) हे पायथागोरसचे त्रिकुट नाही. हा काटकोन त्रिकोण नाही.

काही सामान्य पायथागोरसची त्रिकुटे:

  • (3, 4, 5)
  • (5, 12, 13)
  • (8, 15, 17)
  • (7, 24, 25)
  • (20, 21, 29)
  • (9, 40, 41)
📖व्याख्या

पायथागोरसचे त्रिकुट: तीन नैसर्गिक संख्यांचा समूह (a, b, c) असा की, $c^2 = a^2 + b^2$ (येथे c सर्वात मोठी संख्या).

⭐लक्षात ठेवा

जर दिलेल्या संख्या पायथागोरसचे त्रिकुट असतील, तर त्या संख्यांनी तयार होणारा त्रिकोण नेहमी काटकोन त्रिकोण असतो.

Ask SAAVI — Free