बैजिक सूत्रे - वर्ग विस्तार
या धड्यात विद्यार्थी बैजिक राशींचा गुणाकार करून वर्गविस्तार कसा करायचा हे शिकतात. यात (x + y)², (a - b)² आणि (a + b)(a - b) यांसारख्या द्विपदीच्या वर्गविस्ताराची सूत्रे आणि त्यांचे उपयोजन समजावून सांगितले आहे. तसेच, एकपदी आणि द्विपदीचे अवयव कसे पाडावे हे देखील स्पष्ट केले आहे. हे सूत्रे गणितातील पुढील अभ्यासासाठी आणि समस्या सोडवण्यासाठी अत्यंत महत्त्वाचे आहेत.
वर्ग विस्ताराची मूलभूत सूत्रे
या विभागात आपण द्विपदींच्या वर्गासाठी वापरल्या जाणाऱ्या मूलभूत सूत्रांचा अभ्यास करणार आहोत. ही सूत्रे बैजिक राशींचे गुणाकार सोपे करण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त आहेत.
- विस्तार सूत्र म्हणजे काय?
- बैजिक राशींचा गुणाकार करून मिळणारी राशी हा त्या गुणाकाराचा विस्तार असतो.
- विशिष्ट प्रकारच्या राशींचे विस्तार थेट लिहिण्यासाठी सूत्रे तयार केली जातात.
- सूत्र 1: (a + b)² चा विस्तार
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- स्पष्टीकरण:
(a + b)² = (a + b) × (a + b)= a(a + b) + b(a + b)= a² + ab + ba + b²= a² + 2ab + b²(कारणab = ba)- उपयोग: दोन पदांच्या बेरजेचा वर्ग काढण्यासाठी.
- सूत्र 2: (a - b)² चा विस्तार
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- स्पष्टीकरण:
(a - b)² = (a - b) × (a - b)= a(a - b) - b(a - b)= a² - ab - ba + b²= a² - 2ab + b²(कारण-ab - ba = -2ab)- उपयोग: दोन पदांच्या वजाबाकीचा वर्ग काढण्यासाठी.
- महत्वाचे मुद्दे:
- या सूत्रांचा उपयोग करून मोठ्या संख्यांचे वर्ग किंवा बैजिक राशींचे वर्ग जलद गतीने काढता येतात.
aआणिbहे कोणतेही पद (संख्या किंवा चल) असू शकतात.
उदाहरण:
(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9(2y - 5)² = (2y)² - 2(2y)(5) + 5² = 4y² - 20y + 25
वर्ग विस्ताराची मूलभूत सूत्रे:
(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²
या दोन्ही सूत्रांमधील फरक लक्षात ठेवा: (a + b)² मध्ये +2ab असते, तर (a - b)² मध्ये -2ab असते. बाकी a² आणि b² दोन्ही ठिकाणी धन असतात.
(a + b)(a - b) चा विस्तार
या विभागात आपण दोन द्विपदींचा गुणाकार कसा करायचा हे पाहणार आहोत, जिथे एक द्विपदी दोन पदांची बेरीज असते आणि दुसरी द्विपदी त्याच दोन पदांची वजाबाकी असते.
- सूत्र 3: (a + b)(a - b) चा विस्तार
- (a + b)(a - b) = a² - b²
- स्पष्टीकरण:
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)= a² - ab + ba - b²= a² - b²(कारण-ab + ba = 0)- उपयोग: दोन पदांच्या वर्गांमधील फरक (difference of two squares) काढण्यासाठी किंवा अशा प्रकारच्या गुणाकारासाठी.
- या सूत्राचे वैशिष्ट्य:
- या विस्तारामध्ये मध्यम पद (ab) नसते, कारण ते एकमेकांना रद्द करतात.
- हे सूत्र बैजिक राशींचे अवयव पाडताना (factorization) देखील खूप उपयोगी आहे.
उदाहरण:
(x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25(3y + 2)(3y - 2) = (3y)² - 2² = 9y² - 4
संख्यांसाठी उपयोग:
- या सूत्राचा उपयोग करून मोठ्या संख्यांचे गुणाकार सोप्या पद्धतीने करता येतात.
- उदा.
102 × 98 = (100 + 2)(100 - 2)= 100² - 2²= 10000 - 4= 9996
दोन पदांच्या वर्गांमधील फरकाचे सूत्र: (a + b)(a - b) = a² - b²
हे सूत्र a² - b² या राशीचे अवयव (a + b)(a - b) पाडण्यासाठी देखील वापरले जाते. त्यामुळे हे सूत्र दोन्ही बाजूंनी लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे.
बैजिक राशींचे अवयव पाडणे
या विभागात आपण बैजिक राशींचे अवयव कसे पाडायचे हे शिकणार आहोत. अवयव पाडणे म्हणजे दिलेल्या राशीला गुणाकाराच्या स्वरूपात लहान पदांमध्ये विभागणे.
- संख्यांचे अवयव:
- आपण पूर्ण संख्यांचे अवयव पाडायला शिकलो आहोत. उदा.
15 = 3 × 5. - येथे
3आणि5हे15चे अवयव आहेत.
- एकपदीचे अवयव:
- उदाहरण 1:
3x 3x = 3 × x- येथे
3आणिxहे3xचे अवयव आहेत. - उदाहरण 2:
5t² 5t² = 5 × t² = 5 × t × t- येथे
1, 5, t, t², 5t, 5t²हे सर्व5t²चे अवयव आहेत. - उदाहरण 3:
6ab² 6ab² = 2 × 3 × a × b × b- नियम: एकपदीचे अवयव पाडताना, प्रथम सहगुणकाचे (coefficient) अवयव पाडावेत आणि नंतर चलभागाचे (variable part) अवयव पाडावेत.
- दोन किंवा अधिक पदांच्या राशींचे अवयव (सामाईक अवयव पद्धत):
- जर दिलेल्या राशीतील प्रत्येक पदामध्ये काही सामाईक अवयव असतील, तर ते सामाईक अवयव कंसाबाहेर काढून अवयव पाडता येतात.
- उदाहरण 1:
4xy + 8xy² 4xy + 8xy²= 4(xy + 2xy²)(येथे4सामाईक आहे)= 4x(y + 2xy)(येथेxसामाईक आहे)= 4xy(1 + 2y)(येथेyसामाईक आहे)- म्हणून,
4xy(1 + 2y)हे4xy + 8xy²चे अवयव आहेत. - उदाहरण 2:
9a²bc + 12abc² 9a²bc + 12abc²= 3(3a²bc + 4abc²)(सहगुणकांमध्ये3सामाईक)= 3a(3abc + 4bc²)(चलांमध्येaसामाईक)= 3ab(3c + 4c²)(चलांमध्येbसामाईक)= 3abc(3 + 4c)(चलांमध्येcसामाईक)- म्हणून,
3abc(3 + 4c)हे9a²bc + 12abc²चे अवयव आहेत.
- सारांश: दोनही पदांचे सामाईक अवयव शोधून ते कंसाबाहेर गुणाकाराच्या रूपात लिहीत गेले, की द्विपदीचे अवयव पाडता येतात.
अवयव पाडणे (Factorization): एखाद्या बैजिक राशीला दोन किंवा अधिक राशींच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे म्हणजे तिचे अवयव पाडणे.
सामाईक अवयव काढताना, सर्व पदांमधील सर्वात मोठा सामाईक अवयव (Greatest Common Factor - GCF) काढणे महत्त्वाचे आहे, जेणेकरून अवयव पूर्णपणे पाडले जातील.
द्विपदीचे अवयव पाडणे (a² - b² प्रकार)
या विभागात आपण a² - b² या प्रकारच्या द्विपदीचे अवयव कसे पाडायचे हे शिकणार आहोत, जे (a + b)(a - b) = a² - b² या विस्तार सूत्रावर आधारित आहे.
- सूत्र वापरून अवयव पाडणे:
- आपल्याला
(a + b)(a - b) = a² - b²हे सूत्र माहीत आहे. - यावरून,
a² - b² = (a + b)(a - b)असेही अवयव मिळतात. - म्हणजेच, जर एखादी द्विपदी दोन पदांच्या वर्गांमधील फरक असेल, तर तिचे अवयव त्या पदांची बेरीज आणि वजाबाकी यांच्या गुणाकाराच्या रूपात पाडता येतात.
- उदाहरण 1:
a² - 4b² a² - 4b²= a² - (2b)²(येथेa = aआणिb = 2b)= (a + 2b)(a - 2b)
- उदाहरण 2:
3a² - 27b² - यामध्ये थेट
a² - b²स्वरूप नाही, परंतु सामाईक अवयव काढून ते स्वरूप आणता येते. 3a² - 27b²= 3(a² - 9b²)(येथे3सामाईक अवयव आहे)= 3(a² - (3b)²)(आता कंसातील राशीa² - b²स्वरूपात आहे, जिथेa = aआणिb = 3b)= 3(a + 3b)(a - 3b)
- महत्वाचे:
- या पद्धतीचा वापर करण्यासाठी, दिलेली राशी दोन पदांच्या वर्गांमधील फरक असणे आवश्यक आहे.
- जर थेट
a² - b²स्वरूप नसेल, तर प्रथम सामाईक अवयव काढून ते स्वरूप आणण्याचा प्रयत्न करा. - अपूर्णांक किंवा दशांश संख्या असलेल्या पदांसाठी देखील हे सूत्र वापरता येते.
दोन वर्गांच्या फरकाचे अवयव: a² - b² = (a + b)(a - b)
जेव्हा तुम्हाला a² - b² प्रकारचे अवयव पाडायचे असतील, तेव्हा a आणि b ओळखणे महत्त्वाचे आहे. a हे पहिल्या पदाचे वर्गमूळ आणि b हे दुसऱ्या पदाचे वर्गमूळ असते.
