Home › Maharashtra › Class 8 › Maths › परिमेय व अपरिमेय संख्या
Maharashtra · Class 8 · 🧮 Maths · Chapter 1

परिमेय व अपरिमेय संख्या

परिमेय संख्याअपरिमेय संख्यासंख्यारेषेवर संख्या दाखवणेपरिमेय संख्यांमधील क्रमसंबंधदशांश रूप

हा धडा विद्यार्थ्यांना नैसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक संख्या आणि परिमेय संख्या समूहांशी पुन्हा परिचित करतो. संख्यारेषेवर परिमेय संख्या कशा दाखवायच्या, दोन परिमेय संख्यांमधील क्रमसंबंध (लहानमोठेपणा) कसा ठरवायचा आणि परिमेय संख्यांचे दशांश रूप कसे असते हे शिकवले जाते. या धड्यात अपरिमेय संख्यांची ओळख करून दिली जाते आणि √2 सारख्या अपरिमेय संख्या संख्यारेषेवर कशा दाखवायच्या हे स्पष्ट केले आहे. हे मूलभूत संकल्पना पुढील गणिताच्या अभ्यासासाठी महत्त्वाच्या आहेत.

संख्यारेषेवर परिमेय संख्या दाखवणे

संख्यारेषेवर संख्या दर्शवणे हे गणितातील एक मूलभूत कौशल्य आहे. परिमेय संख्यांना संख्यारेषेवर कसे दाखवायचे हे समजून घेऊया.

  • संख्यारेषा: एक सरळ रेषा ज्यावर मध्यभागी '0' (शून्य) असतो. शून्याच्या उजवीकडे धन संख्या (1, 2, 3...) आणि डावीकडे ऋण संख्या (-1, -2, -3...) असतात.
  • पूर्णांक संख्या: पूर्णांक संख्या (उदा. 2, -3) संख्यारेषेवर थेट बिंदूंनी दर्शवल्या जातात.
  • अपूर्णांक (परिमेय) संख्या:
  • पायरी 1: छेद (denominator) पहा. छेद जेवढा असेल, तेवढे '0' आणि '1' (किंवा इतर दोन पूर्णांक) यांच्या दरम्यानचे समान भाग करा.
  • पायरी 2: अंश (numerator) पहा. अंशाएवढे भाग '0' पासून मोजा.
  • उदाहरण: 7/3 ही संख्या दर्शवण्यासाठी:
  • 7/3 = 2 + 1/3 (मिश्र अपूर्णांक). याचा अर्थ 2 नंतर 1/3 भाग.
  • '0' आणि '1' तसेच '1' आणि '2' तसेच '2' आणि '3' या प्रत्येक एककाचे तीन समान भाग करा.
  • '0' पासून उजवीकडे सातवा बिंदू 7/3 दर्शवेल. किंवा, 2 नंतरचा पहिला बिंदू 7/3 दर्शवेल.
  • ऋण परिमेय संख्या: (-2)/3 सारख्या ऋण संख्या दर्शवण्यासाठी, '0' च्या डावीकडे त्याच पद्धतीने भाग करून बिंदू निश्चित करा.
  • (-2)/3 दर्शवण्यासाठी, '0' आणि '-1' यांच्या दरम्यानचे तीन समान भाग करा. '0' पासून डावीकडे दुसरा बिंदू (-2)/3 दर्शवेल.

महत्वाचे:

  • प्रत्येक परिमेय संख्येसाठी संख्यारेषेवर एक विशिष्ट बिंदू असतो.
  • दोन परिमेय संख्यांच्या दरम्यान असंख्य परिमेय संख्या असतात.
❗महत्त्वाची नोंद

परिमेय संख्या m/n या स्वरूपात असते, जिथे m आणि n हे पूर्णांक असतात आणि n ≠ 0.

💡टीप

संख्यारेषेवर परिमेय संख्या दाखवताना, छेदाएवढे समान भाग करणे आणि अंशाएवढे भाग मोजणे ही मुख्य पायरी आहे. ऋण संख्या '0' च्या डावीकडे असतात हे लक्षात ठेवा.

परिमेय संख्यांतील क्रमसंबंध (लहानमोठेपणा)

दोन परिमेय संख्यांची तुलना करणे म्हणजे त्यापैकी कोणती संख्या लहान, कोणती मोठी किंवा त्या समान आहेत हे ठरवणे. संख्यारेषेवर, डावीकडील संख्या नेहमी उजवीकडील संख्येपेक्षा लहान असते.

तुलना करण्याचे नियम:

  1. समान छेद पद्धत:
  • जर दोन परिमेय संख्यांचे छेद समान असतील, तर ज्या संख्येचा अंश मोठा ती संख्या मोठी असते.
  • उदा. 5/7 आणि 3/7 मध्ये, 5 > 3 म्हणून 5/7 > 3/7.
  • जर छेद समान नसतील, तर त्यांचा लसावि (LCM) काढून छेद समान करा.
  • a/b = (a × k) / (b × k) (जेथे k ≠ 0). या गुणधर्माचा वापर करून छेद समान केले जातात.
  1. तिरकस गुणाकार पद्धत:
  • a/b आणि c/d या दोन परिमेय संख्यांची तुलना करताना (जेथे b आणि d धन आहेत):
  • जर a × d < b × c असेल, तर a/b < c/d.
  • जर a × d = b × c असेल, तर a/b = c/d.
  • जर a × d > b × c असेल, तर a/b > c/d.
  1. धन आणि ऋण संख्यांची तुलना:
  • धन संख्या नेहमी ऋण संख्येपेक्षा मोठी असते. उदा. 4/5 > -7/9.
  • शून्य (0) हे सर्व धन संख्यांपेक्षा लहान आणि सर्व ऋण संख्यांपेक्षा मोठे असते. उदा. 8/7 > 0 आणि 0 > -9/5.
  1. दोन ऋण संख्यांची तुलना:
  • दोन ऋण संख्यांची तुलना करताना, त्यांच्या धन रूपांची तुलना करा. जी धन संख्या लहान असेल, ती ऋण संख्या मोठी असते.
  • उदा. (-7)/3 आणि (-5)/2 यांची तुलना करताना:
  • प्रथम 7/3 आणि 5/2 यांची तुलना करा.
  • 7/3 = 14/6 आणि 5/2 = 15/6.
  • 14/6 < 15/6 म्हणजेच 7/3 < 5/2.
  • म्हणून, (-7)/3 > (-5)/2 (चिन्ह उलट होते).
  • नियम: जर a < b असेल, तर (-a) > (-b).
🧮सूत्र

परिमेय संख्यांची तुलना (b, d धन असताना):

  1. a/b < c/d जर a × d < b × c
  2. a/b = c/d जर a × d = b × c
  3. a/b > c/d जर a × d > b × c
🚧गैरसमज

दोन ऋण संख्यांची तुलना करताना अनेकदा गोंधळ होतो. लक्षात ठेवा, (-5) > (-7) कारण संख्यारेषेवर (-5) हे (-7) च्या उजवीकडे आहे.

परिमेय संख्यांचे दशांश रूप

परिमेय संख्यांना दशांश अपूर्णांकात रूपांतरित करता येते. हे रूपांतर दोन प्रकारचे असते:

  1. खंडित दशांश रूप (Terminating Decimal Form):
  • जेव्हा अंशाला छेदाने भागल्यावर बाकी शून्य येते आणि भागाकाराची क्रिया पूर्ण होते, तेव्हा त्या दशांश रूपाला खंडित दशांश रूप म्हणतात.
  • उदाहरणे:
  • 7/4 = 1.75
  • 1/2 = 0.5
  • 3/8 = 0.375
  • या दशांश रूपांमध्ये दशांश बिंदूनंतरच्या अंकांची संख्या मर्यादित असते.
  1. अखंड आवर्ती दशांश रूप (Non-terminating Recurring Decimal Form):
  • जेव्हा अंशाला छेदाने भागल्यावर बाकी कधीही शून्य येत नाही, परंतु दशांश बिंदूनंतर काही अंक किंवा अंकांच्या गटाची पुनरावृत्ती होते, तेव्हा त्या दशांश रूपाला अखंड आवर्ती दशांश रूप म्हणतात.
  • पुनरावृत्ती दर्शवण्यासाठी: पुनरावृत्ती होणाऱ्या अंकावर किंवा अंकांच्या गटावर एक बिंदू (dot) किंवा आडवी रेषा (bar) वापरतात.
  • उदाहरणे:
  • 7/6 = 1.1666... = 1.1̇6 (येथे 6 ची पुनरावृत्ती होते)
  • 5/6 = 0.8333... = 0.8̇3 (येथे 3 ची पुनरावृत्ती होते)
  • (-5)/3 = -1.666... = -1.̇6
  • 22/7 = 3.142857142857... = 3.̅142857 (येथे 142857 या गटाची पुनरावृत्ती होते)
  • 23/99 = 0.2323... = 0.̅23 (येथे 23 या गटाची पुनरावृत्ती होते)

महत्वाचे निरीक्षण:

  • प्रत्येक परिमेय संख्येचे दशांश रूप हे एकतर खंडित असते किंवा अखंड आवर्ती असते.
  • खंडित दशांश रूपालाही शून्याचा वापर करून अखंड आवर्ती रूपात लिहिता येते. उदा. 1.75 = 1.75000... = 1.75̇0.
📖व्याख्या

खंडित दशांश रूप: ज्या दशांश अपूर्णांकात दशांश बिंदूनंतरच्या अंकांची संख्या मर्यादित असते.

📖व्याख्या

अखंड आवर्ती दशांश रूप: ज्या दशांश अपूर्णांकात दशांश बिंदूनंतर काही अंक किंवा अंकांच्या गटाची पुनरावृत्ती होते.

अपरिमेय संख्या

परिमेय संख्यांव्यतिरिक्त संख्यारेषेवर इतरही अनेक संख्या असतात, ज्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात. या संख्या m/n या स्वरूपात लिहिता येत नाहीत.

अपरिमेय संख्यांची वैशिष्ट्ये:

  • त्यांचे दशांश रूप अखंड आणि अनावरती (non-terminating non-recurring) असते. म्हणजे, दशांश बिंदूनंतरच्या अंकांची पुनरावृत्ती होत नाही आणि भागाकार कधीही संपत नाही.
  • उदाहरणे: √2, √3, √5, π (पाय).

संख्यारेषेवर √2 दाखवणे:

  1. एक संख्यारेषा काढा आणि '0' (O) व '1' (A) हे बिंदू दर्शवा.
  2. बिंदू A वर संख्यारेषेला लंब (l) काढा.
  3. लंब l वर बिंदू P असा घ्या की OA = AP = 1 एकक असेल.
  4. OP जोडा. ΔOAP हा काटकोन त्रिकोण तयार होतो.
  5. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार: OP² = OA² + AP² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2.
  6. म्हणून, OP = √2.
  7. आता, O केंद्र आणि OP (म्हणजे √2) एवढी त्रिज्या घेऊन एक कंस काढा. हा कंस संख्यारेषेला ज्या बिंदूत छेदतो, त्याला Q नाव द्या. बिंदू Q ही संख्या √2 दर्शवतो.
  8. OQ एवढेच अंतर कंपासमध्ये घेऊन O च्या डावीकडे R हा बिंदू स्थापन केल्यास, तो बिंदू (-√2) दर्शवेल.

काही महत्वाचे मुद्दे:

  • π (पाय) ही एक अपरिमेय संख्या आहे. आपण व्यवहारात सोयीसाठी 22/7 किंवा 3.14 ही π ची अंदाजित किंमत वापरतो, परंतु या संख्या परिमेय आहेत, π नाही.
  • वास्तव संख्या (Real Numbers): ज्या संख्या संख्यारेषेवर बिंदूंनी दाखवता येतात, त्या सर्व संख्यांना वास्तव संख्या म्हणतात. सर्व परिमेय संख्या आणि सर्व अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्यांचा समूह बनतो. वास्तव संख्या समूह हा परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांचा संयोग आहे.
  • √2 ही अपरिमेय संख्या आहे. तसेच 3√2, 7 + √2, 3 - √2 इत्यादी संख्या देखील अपरिमेय आहेत. कारण जर 3√2 परिमेय असती, तर (3√2)/3 = √2 ही देखील परिमेय असायला हवी होती, पण √2 अपरिमेय आहे.
📖व्याख्या

अपरिमेय संख्या: ज्या संख्या m/n या स्वरूपात लिहिता येत नाहीत आणि ज्यांचे दशांश रूप अखंड व अनावरती असते.

⭐लक्षात ठेवा

π ही अपरिमेय संख्या आहे. 22/7 आणि 3.14 या π च्या अंदाजित परिमेय किंमती आहेत.

❗महत्त्वाची नोंद

वास्तव संख्या (Real Numbers) = परिमेय संख्या + अपरिमेय संख्या

Ask SAAVI — Free