घातांक व घनमूळ
घातांक व घनमूळ हा धडा विद्यार्थ्यांना घातांकांचे मूलभूत नियम आणि त्यांचा वापर शिकवतो. यात पूर्णांक घातांक तसेच परिमेय घातांक असलेल्या संख्यांचा अर्थ स्पष्ट केला आहे. वर्गमूळ, घनमूळ आणि n वे मूळ या संकल्पनांचा परिचय करून दिला जातो. दैनंदिन जीवनात आणि पुढील गणिताच्या अभ्यासात या संकल्पना अत्यंत महत्त्वाच्या आहेत, ज्यामुळे संख्यांचे मोठे गुणाकार सोप्या पद्धतीने मांडता येतात.
घातांकांचे नियम (पुनरावृत्ती)
मागील इयत्तांमध्ये शिकलेले घातांकांचे मूलभूत नियम हे या प्रकरणाचा आधार आहेत. हे नियम चांगले समजून घेणे आणि लक्षात ठेवणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे.
- घातांकित संख्या:
a^mमध्येaहा पाया (base) आणिmहा घातांक (index) असतो.a^mम्हणजेaचाmवेळा गुणाकार. - महत्त्वाचे नियम:
mवnया पूर्णांक संख्या असतील आणिa, bया शून्य नसलेल्या परिमेय संख्या असतील, तर:
- गुणाकाराचा नियम:
a^m × a^n = a^(m+n)
- उदा.
3^5 × 3^2 = 3^(5+2) = 3^7
- भागाकाराचा नियम:
a^m ÷ a^n = a^(m-n)
- उदा.
3^7 ÷ 3^9 = 3^(7-9) = 3^(-2)
- घातांकाचा घातांक:
(a^m)^n = a^(mn)
- उदा.
(3^4)^5 = 3^(4×5) = 3^20
- शून्य घातांक:
a^0 = 1(जेथेa ≠ 0)
- उदा.
5^0 = 1,(123)^0 = 1
- ऋण घातांक:
a^(-m) = 1 / a^m(जेथेa ≠ 0)
- उदा.
5^(-3) = 1 / 5^3
- गुणाकाराचा घातांक:
(a × b)^m = a^m × b^m
- उदा.
(5 × 7)^2 = 5^2 × 7^2
- भागाकाराचा घातांक:
(a/b)^m = a^m / b^m(जेथेb ≠ 0)
- उदा.
(5/7)^3 = 5^3 / 7^3
- भागाकाराचा ऋण घातांक:
(a/b)^(-m) = (b/a)^m(जेथेa, b ≠ 0)
- उदा.
(5/7)^(-3) = (7/5)^3
- लक्षात ठेवा:
a^1 = a(कोणत्याही संख्येचा घातांक 1 असल्यास ती संख्या तीच राहते).
या नियमांचा वापर करून उदाहरणे सोडवताना, प्रत्येक पायरीवर कोणता नियम वापरला हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे.
घातांकाचे नियम हे गणितीय क्रिया सोप्या करण्यासाठी वापरले जातात. विशेषतः मोठ्या संख्या किंवा अपूर्णांक यांच्या घातांकांच्या बाबतीत हे नियम खूप उपयुक्त ठरतात.
विद्यार्थी अनेकदा a^m × b^m आणि a^m × a^n यांमधील फरक विसरतात. a^m × b^m = (ab)^m (पाया वेगळे, घातांक समान) तर a^m × a^n = a^(m+n) (पाया समान, घातांक वेगळे).
संख्येचा घातांक 1/n या रूपातील परिमेय संख्या
जेव्हा एखाद्या संख्येचा घातांक 1/n या स्वरूपात असतो, तेव्हा त्याचा अर्थ त्या संख्येचे n वे मूळ (n-th root) असा होतो.
- वर्गमूळ: एखाद्या संख्येचा वर्ग
a^2असतो. तिचे वर्गमूळ√aअसे किंवाa^(1/2)असे लिहितात. - उदा.
25चे वर्गमूळ√25 = 5किंवा25^(1/2) = 5. - घनमूळ: एखाद्या संख्येचा घन
a^3असतो. तिचे घनमूळ3√aअसे किंवाa^(1/3)असे लिहितात. - उदा.
64चे घनमूळ3√64 = 4किंवा64^(1/3) = 4. - n वे मूळ: सामान्यपणे,
aचेnवे मूळn√aअसे किंवाa^(1/n)असे लिहितात. - म्हणजे, जर
x = a^(1/n)असेल, तरx^n = a. - उदा.
128^(1/7)म्हणजे128चे7वे मूळ. - उदा.
900^(1/12)म्हणजे900चे12वे मूळ.
सारांश: a^(1/n) म्हणजे a चे n वे मूळ.
n वे मूळ: x ही अशी संख्या आहे की x^n = a असेल, तर x ला a चे n वे मूळ म्हणतात आणि ते a^(1/n) असे दर्शवतात.
करणी चिन्ह √ हे वर्गमूळासाठी, 3√ हे घनमूळासाठी आणि n√ हे n व्या मुळासाठी वापरले जाते. हे घातांक 1/2, 1/3, 1/n यांच्या समतुल्य आहे.
संख्येचा घातांक m/n या रूपातील परिमेय संख्या
जेव्हा एखाद्या संख्येचा घातांक m/n या स्वरूपात असतो, तेव्हा त्याचा अर्थ दोन प्रकारे लावता येतो. हे घातांकाच्या नियमांवर आधारित आहे, विशेषतः (a^m)^n = a^(mn) या नियमावर.
a^(m/n)याचा अर्थa^(m × 1/n)किंवाa^(1/n × m)असा होतो.
- पहिला अर्थ (घातांकाचे मूळ):
a^(m/n) = (a^m)^(1/n) - याचा अर्थ
aच्याmव्या घाताचेnवे मूळ. - उदा.
8^(2/3) = (8^2)^(1/3)म्हणजे8च्या वर्गाचे घनमूळ. (8^2 = 64,64^(1/3) = 4) - उदा.
27^(4/5) = (27^4)^(1/5)म्हणजे27च्या चौथ्या घाताचे पाचवे मूळ.
- दुसरा अर्थ (मुळाचा घातांक):
a^(m/n) = (a^(1/n))^m - याचा अर्थ
aच्याnव्या मुळाचाmवा घात. - उदा.
8^(2/3) = (8^(1/3))^2म्हणजे8च्या घनमूळाचा वर्ग. (8^(1/3) = 2,2^2 = 4) - उदा.
27^(4/5) = (27^(1/5))^4म्हणजे27च्या पाचव्या मुळाचा चौथा घात.
- निष्कर्ष: दोन्ही अर्थांनी उत्तर समान येते. गणिते सोडवताना, सोपे वाटेल तो अर्थ वापरणे फायदेशीर ठरते. सहसा, आधी मूळ काढून नंतर घातांक करणे सोपे असते, कारण मूळ काढल्याने संख्या लहान होते.
- उदा.
(8^(1/3))^2(2^2 = 4) हे(8^2)^(1/3)(64^(1/3) = 4) पेक्षा सोपे आहे.
सारांश: a^(m/n) म्हणजे a च्या m व्या घाताचे n वे मूळ किंवा a च्या n व्या मुळाचा m वा घात.
परीक्षेत a^(m/n) चे दोन्ही अर्थ विचारले जातात. सारणी पूर्ण करताना हे दोन्ही अर्थ स्पष्टपणे लिहावे लागतात.
घातांक पूर्णांक संख्या असतानाचे जे नियम आहेत, तेच नियम घातांक परिमेय संख्या असतानाही लागू होतात. हा महत्त्वाचा सिद्धांत आहे.
घन व घनमूळ
घन आणि घनमूळ या संकल्पना वर्ग आणि वर्गमूळाप्रमाणेच आहेत, फक्त इथे संख्या तीन वेळा गुणली जाते.
- घन (Cube): एखाद्या संख्येला तीन वेळा स्वतःनेच गुणल्यास मिळणाऱ्या गुणाकाराला त्या संख्येचा घन म्हणतात.
aचा घनa^3असा लिहितात. - उदा.
6चा घन6 × 6 × 6 = 6^3 = 216.
- परिमेय संख्यांचा घन करणे:
- धन पूर्णांकाचा घन: नेहमी धन असतो. उदा.
17^3 = 4913. - ऋण पूर्णांकाचा घन: नेहमी ऋण असतो. उदा.
(-6)^3 = (-6) × (-6) × (-6) = 36 × (-6) = -216. - अपूर्णांकाचा घन: अंश आणि छेद यांचा स्वतंत्रपणे घन करतात. उदा.
(2/5)^3 = 2^3 / 5^3 = 8/125. - दशांश अपूर्णांकाचा घन: दशांश चिन्हाच्या उजवीकडील अंकांची संख्या तिप्पट होते. उदा.
(1.2)^3 = 1.728(1 दशांश स्थळ → 3 दशांश स्थळे).(0.02)^3 = 0.000008(2 दशांश स्थळे → 6 दशांश स्थळे).
- घनमूळ (Cube Root): एखाद्या संख्येचे घनमूळ म्हणजे अशी संख्या, जिचा घन केल्यास दिलेली संख्या मिळते.
aचे घनमूळ3√aअसे किंवाa^(1/3)असे लिहितात.
- घनमूळ काढण्याची पद्धत (मूळ अवयव पद्धत):
- दिलेल्या संख्येचे मूळ अवयव (prime factors) पाडा.
- समान अवयवांचे तीन-तीनचे गट (triplets) करा.
- प्रत्येक गटातून एक अवयव बाहेर काढा.
- बाहेर काढलेल्या अवयवांचा गुणाकार करा. तोच त्या संख्येचे घनमूळ असेल.
- उदा. 216 चे घनमूळ काढा.
216चे मूळ अवयव:216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3- गट पाडा:
(2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) - प्रत्येक गटातून एक अवयव:
2 × 3 - गुणाकार:
6 - म्हणून,
3√216 = 6किंवा216^(1/3) = 6.
- वर्गमूळ आणि घनमूळ यातील फरक: प्रत्येक धन संख्येला दोन वर्गमुळे असतात (एक धन आणि एक ऋण), तर प्रत्येक संख्येला एकच घनमूळ असते. (धन संख्येचे घनमूळ धन आणि ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण).
- उदा.
√16 = 4आणि-√16 = -4. पण3√8 = 2आणि3√(-8) = -2.
धन संख्येचा घन नेहमी धन असतो, तर ऋण संख्येचा घन नेहमी ऋण असतो. हे घनमूळ काढताना चिन्हाबद्दलची शंका दूर करते.
घनमूळ काढण्यासाठी मूळ अवयव पद्धत ही सर्वात सोपी आणि अचूक पद्धत आहे. मोठ्या संख्यांसाठी ही पद्धत वापरणे आवश्यक आहे.
