त्रिकोणाचे शिरोलंब व मध्यगा
या प्रकरणात, विद्यार्थी त्रिकोणाचे शिरोलंब आणि मध्यगा या दोन महत्त्वाच्या भूमितीय संकल्पनांचा अभ्यास करतात. शिरोलंब म्हणजे त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून त्याच्या समोरील बाजूवर काढलेला लंब रेषाखंड होय, आणि तीन शिरोलंब ज्या बिंदूत मिळतात त्याला लंबसंपात बिंदू म्हणतात. मध्यगा म्हणजे त्रिकोणाचा शिरोबिंदू आणि समोरील बाजूचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड, आणि तीन मध्यगा ज्या बिंदूत मिळतात त्याला मध्यगासंपात बिंदू म्हणतात. या प्रकरणात लंबसंपात आणि मध्यगासंपात बिंदूंचे त्रिकोणाच्या प्रकारानुसार (लघुकोन, काटकोन, विशालकोन) स्थान आणि मध्यगासंपात बिंदू मध्यगेचे 2:1 प्रमाणात विभाजन करतो हा गुणधर्म शिकवला जातो. हे संकल्पना भूमितीतील पुढील अभ्यासासाठी पायाभूत आहेत.
शिरोलंब (Altitude)
त्रिकोणाच्या कोणत्याही शिरोबिंदूतून त्याच्या समोरील बाजूवर काढलेल्या लंब रेषाखंडास त्या त्रिकोणाचा शिरोलंब म्हणतात.
- प्रत्येक त्रिकोणाला तीन शिरोलंब असतात.
- हे तीनही शिरोलंब एकसंपाती (Concurrent) असतात.
- शिरोलंबांच्या संपातबिंदूला शिरोलंबसंपात बिंदू किंवा लंबसंपात बिंदू म्हणतात.
- लंबसंपात बिंदू 'O' या अक्षराने दर्शवतात.
शिरोलंब काढण्याची पद्धत:
- त्रिकोण काढा.
- एका शिरोबिंदूतून समोरील बाजूवर गुण्याच्या साहाय्याने लंब टाका.
- हीच प्रक्रिया इतर दोन शिरोबिंदूंसाठी करा.
- तिन्ही लंब एकाच बिंदूत छेदतील, तो लंबसंपात बिंदू असेल.
विविध त्रिकोणांमध्ये लंबसंपाताचे स्थान:
- लघुकोन त्रिकोण: लंबसंपात बिंदू त्रिकोणाच्या अंतर्भागात असतो.
- काटकोन त्रिकोण: लंबसंपात बिंदू हा काटकोन करणाऱ्या शिरोबिंदूवर असतो.
- विशालकोन त्रिकोण: लंबसंपात बिंदू त्रिकोणाच्या बाह्यभागात असतो. या प्रकारात, काही शिरोलंब काढण्यासाठी बाजू वाढवावी लागते (बाजूच्या बाह्यभागावर लंब येतो).
शिरोलंब (Altitude): त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून त्याच्या समोरील बाजूवर काढलेला लंब रेषाखंड.
त्रिकोणाचे तीनही शिरोलंब नेहमी एकसंपाती असतात.
मध्यगा (Median)
त्रिकोणाचा शिरोबिंदू आणि त्याच्या समोरील बाजूचा मध्यबिंदू जोडणाऱ्या रेषाखंडास त्या त्रिकोणाची मध्यगा म्हणतात.
- प्रत्येक त्रिकोणाला तीन मध्यगा असतात.
- या तीनही मध्यगा एकसंपाती (Concurrent) असतात.
- मध्यगांच्या संपातबिंदूला मध्यगासंपात बिंदू म्हणतात.
- मध्यगासंपात बिंदू 'G' या अक्षराने दर्शवतात.
मध्यगा काढण्याची पद्धत:
- त्रिकोण काढा.
- त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूचा मध्यबिंदू कंपास किंवा पट्टीने शोधा.
- प्रत्येक शिरोबिंदूतून त्याच्या समोरील बाजूच्या मध्यबिंदूपर्यंत रेषाखंड काढा.
- हे तीनही रेषाखंड एकाच बिंदूत छेदतील, तो मध्यगासंपात बिंदू असेल.
विविध त्रिकोणांमध्ये मध्यगासंपाताचे स्थान:
- कोणत्याही प्रकारच्या त्रिकोणात (लघुकोन, काटकोन, विशालकोन) मध्यगासंपात बिंदू नेहमी त्रिकोणाच्या अंतर्भागात असतो.
मध्यगासंपात बिंदूचा गुणधर्म:
- मध्यगासंपात बिंदू (G) हा प्रत्येक मध्यगेचे 2:1 या गुणोत्तरात विभाजन करतो.
- शिरोबिंदूकडून मध्यबिंदूकडे हे गुणोत्तर 2:1 असते.
- उदाहरणार्थ, जर AR ही मध्यगा असेल आणि G हा मध्यगासंपात असेल, तर \(l(AG) : l(GR) = 2:1\).
मध्यगा (Median): त्रिकोणाचा शिरोबिंदू आणि त्याच्या समोरील बाजूचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड.
मध्यगासंपात बिंदू (G) हा प्रत्येक मध्यगेचे शिरोबिंदूकडून \(2:1\) या गुणोत्तरात विभाजन करतो.
मध्यगासंपात बिंदू नेहमी त्रिकोणाच्या अंतर्भागात असतो, त्रिकोणाच्या प्रकारावर अवलंबून नसतो.
