विसतार सूत्रे

मागील इयत्तेत आपण काही मूलभूत विस्तार सूत्रांचा अभ्यास केला आहे. ही सूत्रे पुढील प्रकरणांसाठी पायाभूत आहेत. त्यांचे पुनरावलोकन करणे महत्त्वाचे आहे:

• वर्ग विस्तार सूत्रे (Square Expansion Formulas):
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²

• दोन वर्गांतील फरकाचे सूत्र (Difference of Two Squares Formula):
• (a + b)(a - b) = a² - b²

या सूत्रांचा उपयोग करून अनेक बैजिक राशींचा गुणाकार आणि संख्यांचे वर्ग सहजपणे काढता येतात.

उदाहरणे:

• (x + 2y)² = x² + 2(x)(2y) + (2y)² = x² + 4xy + 4y²
• (2x - 5y)² = (2x)² - 2(2x)(5y) + (5y)² = 4x² - 20xy + 25y²
• (101)² = (100 + 1)² = 100² + 2(100)(1) + 1² = 10000 + 200 + 1 = 10201
• (98)² = (100 - 2)² = 100² - 2(100)(2) + 2² = 10000 - 400 + 4 = 9604
• (5m + 3n)(5m - 3n) = (5m)² - (3n)² = 25m² - 9n²

या प्रकारच्या द्विपदींचा गुणाकार करताना, एक पद समान असते आणि दुसरे पद भिन्न असते. या विस्तारासाठी एक विशिष्ट सूत्र आहे.

विस्तार सूत्र: \((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\)

सूत्राची सिद्धता (Derivation): \((x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)\) \(= x^2 + bx + ax + ab\) \(= x^2 + (a + b)x + ab\)

या सूत्राचा उपयोग कधी करावा? जेव्हा दोन कंसांमधील पहिले पद समान असते आणि दुसरे पद भिन्न असते, तेव्हा हे सूत्र वापरले जाते. हे सूत्र गुणाकार सोपा करते.

उदाहरणे:

1. (x + 2)(x + 3)

• येथे a = 2, b = 3
• x² + (2 + 3)x + (2 × 3) = x² + 5x + 6

1. (y + 4)(y - 3)

• येथे a = 4, b = -3
• y² + (4 + (-3))y + (4 × (-3)) = y² + (4 - 3)y - 12 = y² + y - 12

1. (x - 3)(x - 7)

• येथे a = -3, b = -7
• x² + ((-3) + (-7))x + ((-3) × (-7)) = x² + (-10)x + 21 = x² - 10x + 21

1. (m + 3/2)(m + 1/2)

• येथे a = 3/2, b = 1/2
• m² + (3/2 + 1/2)m + (3/2 × 1/2) = m² + (4/2)m + 3/4 = m² + 2m + 3/4

1. (2a + 3b)(2a - 3b)

• हे उदाहरण (x + a)(x + b) आणि (A + B)(A - B) या दोन्ही सूत्रांनी सोडवता येते.
• x = 2a, a = 3b, b = -3b मानल्यास:

(2a)² + (3b + (-3b))(2a) + (3b)(-3b) = 4a² + (0)(2a) - 9b² = 4a² - 9b²

• किंवा (A + B)(A - B) = A² - B² वापरल्यास:

(2a)² - (3b)² = 4a² - 9b² दुसऱ्या पद्धतीने हे अधिक सोपे होते.

दोन पदांच्या बेरजेचा घन (Cube of sum of two terms) काढण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाते.

विस्तार सूत्र: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

सूत्राची सिद्धता (Derivation): \((a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b)\) \(= (a + b)(a + b)^2\) \(= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\) \(= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)\) \(= a^3 + 2a^2b + ab^2 + ba^2 + 2ab^2 + b^3\) \(= a^3 + (2a^2b + ba^2) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3\) \(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

या सूत्राचा उपयोग:

• बैजिक राशींचा घन काढण्यासाठी.
• संख्यांचा घन काढण्यासाठी, उदा. (41)³ = (40 + 1)³.

उदाहरणे:

1. (x + 3)³

• येथे a = x, b = 3
• x³ + 3(x)²(3) + 3(x)(3)² + 3³
• = x³ + 9x² + 27x + 27

1. (3x + 4y)³

• येथे a = 3x, b = 4y
• (3x)³ + 3(3x)²(4y) + 3(3x)(4y)² + (4y)³
• = 27x³ + 3(9x²)(4y) + 3(3x)(16y²) + 64y³
• = 27x³ + 108x²y + 144xy² + 64y³

1. (m/n + n/m)³

• येथे a = m/n, b = n/m
• (m/n)³ + 3(m/n)²(n/m) + 3(m/n)(n/m)² + (n/m)³
• = m³/n³ + 3(m²/n²)(n/m) + 3(m/n)(n²/m²) + n³/m³
• = m³/n³ + 3m/n + 3n/m + n³/m³

1. (41)³

• (40 + 1)³
• = 40³ + 3(40)²(1) + 3(40)(1)² + 1³
• = 64000 + 3(1600)(1) + 3(40)(1) + 1
• = 64000 + 4800 + 120 + 1 = 68921

दोन पदांच्या वजाबाकीचा घन (Cube of difference of two terms) काढण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाते. हे सूत्र (a + b)³ च्या सूत्रासारखेच आहे, फक्त चिन्हे बदलतात.

विस्तार सूत्र: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

सूत्राची सिद्धता (Derivation): \((a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b)\) \(= (a - b)(a - b)^2\) \(= (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)\) \(= a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2)\) \(= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3\) \(= a^3 - (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3\) \(= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

या सूत्राचा उपयोग:

• बैजिक राशींचा घन काढण्यासाठी.
• संख्यांचा घन काढण्यासाठी, उदा. (99)³ = (100 - 1)³.

उदाहरणे:

1. (x - 2)³

• येथे a = x, b = 2
• x³ - 3(x)²(2) + 3(x)(2)² - 2³
• = x³ - 6x² + 12x - 8

1. (4p - 5q)³

• येथे a = 4p, b = 5q
• (4p)³ - 3(4p)²(5q) + 3(4p)(5q)² - (5q)³
• = 64p³ - 3(16p²)(5q) + 3(4p)(25q²) - 125q³
• = 64p³ - 240p²q + 300pq² - 125q³

1. (99)³

• (100 - 1)³
• = 100³ - 3(100)²(1) + 3(100)(1)² - 1³
• = 1000000 - 3(10000)(1) + 3(100)(1) - 1
• = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299

सोपे रूप द्या (Simplification):

• (p + q)³ + (p - q)³
• = (p³ + 3p²q + 3pq² + q³) + (p³ - 3p²q + 3pq² - q³)
• = p³ + 3p²q + 3pq² + q³ + p³ - 3p²q + 3pq² - q³
• = (p³ + p³) + (3p²q - 3p²q) + (3pq² + 3pq²) + (q³ - q³)
• = 2p³ + 0 + 6pq² + 0 = 2p³ + 6pq²

• (2x + 3y)³ - (2x - 3y)³
• = [(2x)³ + 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)² + (3y)³] - [(2x)³ - 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)² - (3y)³]
• = [8x³ + 3(4x²)(3y) + 3(2x)(9y²) + 27y³] - [8x³ - 3(4x²)(3y) + 3(2x)(9y²) - 27y³]
• = [8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³] - [8x³ - 36x²y + 54xy² - 27y³]
• = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ - 8x³ + 36x²y - 54xy² + 27y³
• = (8x³ - 8x³) + (36x²y + 36x²y) + (54xy² - 54xy²) + (27y³ + 27y³)
• = 0 + 72x²y + 0 + 54y³ = 72x²y + 54y³

तीन पदांच्या बेरजेचा वर्ग (Square of sum of three terms) काढण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाते. हे सूत्र भूमितीमध्ये त्रिकोणाच्या बाजू किंवा इतर आकारांच्या क्षेत्रफळांच्या संदर्भात उपयोगी पडू शकते.

विस्तार सूत्र: \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\)

सूत्राची सिद्धता (Derivation): \((a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)\) \(= a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)\) \(= a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2\) \(= a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ab) + (bc + bc) + (ac + ac)\) \(= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\)

या सूत्राचा उपयोग:

• तीन पदांच्या बेरजेचा वर्ग काढण्यासाठी.
• जेव्हा एखाद्या पदाचे चिन्ह ऋण असते, तेव्हा ते पद a, b किंवा c च्या जागी चिन्हासह घ्यावे लागते.

उदाहरणे:

1. (p + q + 3)²

• येथे a = p, b = q, c = 3
• p² + q² + 3² + 2(p)(q) + 2(q)(3) + 2(p)(3)
• = p² + q² + 9 + 2pq + 6q + 6p
• = p² + q² + 2pq + 6q + 6p + 9 (पदांची क्रमवारी बदलू शकते)

1. (2p + 3m + 4n)²

• येथे a = 2p, b = 3m, c = 4n
• (2p)² + (3m)² + (4n)² + 2(2p)(3m) + 2(3m)(4n) + 2(2p)(4n)
• = 4p² + 9m² + 16n² + 12pm + 24mn + 16pn

1. (x - 2y + 5)²

• येथे a = x, b = -2y, c = 5
• x² + (-2y)² + 5² + 2(x)(-2y) + 2(-2y)(5) + 2(x)(5)
• = x² + 4y² + 25 - 4xy - 20y + 10x

सरळरूप द्या (Simplification):

• (l + 2m + n)² + (l - 2m + n)²
• पहिल्या कंसाचा विस्तार: (l + 2m + n)² = l² + (2m)² + n² + 2(l)(2m) + 2(2m)(n) + 2(l)(n)

= l² + 4m² + n² + 4lm + 4mn + 2ln

• दुसऱ्या कंसाचा विस्तार: (l - 2m + n)² = l² + (-2m)² + n² + 2(l)(-2m) + 2(-2m)(n) + 2(l)(n)

= l² + 4m² + n² - 4lm - 4mn + 2ln

• दोघांची बेरीज:

(l² + 4m² + n² + 4lm + 4mn + 2ln) + (l² + 4m² + n² - 4lm - 4mn + 2ln) = l² + 4m² + n² + 4lm + 4mn + 2ln + l² + 4m² + n² - 4lm - 4mn + 2ln = (l² + l²) + (4m² + 4m²) + (n² + n²) + (4lm - 4lm) + (4mn - 4mn) + (2ln + 2ln) = 2l² + 8m² + 2n² + 0 + 0 + 4ln = 2l² + 8m² + 2n² + 4ln