बैजिक राशींचे अवयव
या धड्यात विद्यार्थी बैजिक राशींचे अवयव पाडणे शिकतात. यात वर्ग त्रिपदीचे अवयव, a³ + b³ आणि a³ - b³ यांसारख्या घनांच्या बेरजेचे आणि वजाबाकीचे अवयव पाडणे समाविष्ट आहे. तसेच, गुणोत्तरीय बैजिक राशींना सोपे रूप देण्याचे नियम आणि पद्धती देखील शिकवले जातात. हे संकल्पना बीजगणितातील पुढील अभ्यासासाठी अत्यंत महत्त्वाच्या आहेत.
मागील इयत्तेतील अवयवांची उजळणी
मागील इयत्तेत आपण काही मूलभूत बैजिक राशींचे अवयव पाडणे शिकलो आहोत. हे अवयव काढणे पुढील संकल्पना समजून घेण्यासाठी महत्त्वाचे आहे.
- सामाईक अवयव काढणे (Common Factor):
- एखाद्या बैजिक राशीतील प्रत्येक पदामध्ये सामाईक असणारा अवयव कंसाच्या बाहेर काढणे.
- उदाहरणार्थ: \(ax + ay = a(x + y)\)
- टीप: सामाईक अवयव काढल्याने राशीचे सोपे रूप मिळते.
- दोन वर्गपदांमधील फरक (Difference of Two Squares):
- दोन वर्गपदांच्या वजाबाकीचे अवयव पाडण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाते.
- सूत्र: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)
- उदाहरणार्थ: \(p^2 - 9q^2 = (p)^2 - (3q)^2 = (p - 3q)(p + 3q)\)
- हे सूत्र अनेकदा वापरले जाते, ते लक्षात ठेवा.
- पूर्ण वर्ग त्रिपदी (Perfect Square Trinomial):
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- या त्रिपदींचे अवयव नेहमी \((a+b)^2\) किंवा \((a-b)^2\) असे असतात.
- अवयव पाडण्याची प्रक्रिया:
- दिलेल्या राशीतील सामाईक अवयव शोधा (असल्यास).
- राशी कोणत्या सूत्राशी जुळते हे ओळखा (उदा. \(a^2 - b^2\)).
- योग्य सूत्र वापरून अवयव पाडा.
महत्वाचे सूत्र: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) हे सूत्र बैजिक राशींचे अवयव पाडताना वारंवार वापरले जाते.
वर्ग त्रिपदीचे अवयव (Factors of a quadratic trinomial)
वर्ग त्रिपदी म्हणजे \(ax^2 + bx + c\) या स्वरूपातील बैजिक राशी.
\(x^2 + (a + b)x + ab\) या स्वरूपातील त्रिपदीचे अवयव:
- आपल्याला माहीत आहे की \((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\).
- म्हणून, \(x^2 + (a + b)x + ab\) चे अवयव \((x + a)\) आणि \((x + b)\) आहेत.
- अवयव पाडण्याची पद्धत (जेव्हा \(a=1\) असतो):
- दिलेली त्रिपदी \(x^2 + Bx + C\) या स्वरूपात असेल.
- अशा दोन संख्या \(a\) आणि \(b\) शोधा, ज्यांचा गुणाकार \(C\) असेल आणि बेरीज \(B\) असेल. (म्हणजे \(ab = C\) आणि \(a + b = B\))
- मध्यपद \(Bx\) हे \(ax + bx\) असे लिहा.
- पहिल्या दोन पदांमधून आणि शेवटच्या दोन पदांमधून सामाईक अवयव काढा.
- अंतिम अवयव मिळवा.
\(ax^2 + bx + c\) या स्वरूपातील त्रिपदीचे अवयव (जेव्हा \(a \ne 1\) असतो):
- पायरी 1: वर्गपदाचा सहगुणक (\(a\)) आणि स्थिरपद (\(c\)) यांचा गुणाकार करा (म्हणजे \(ac\)).
- पायरी 2: \(ac\) चे असे दोन अवयव शोधा, ज्यांची बेरीज मध्यपदाच्या सहगुणकाएवढी (\(b\)) असेल.
- समजा ते अवयव \(p\) आणि \(q\) आहेत, म्हणजे \(pq = ac\) आणि \(p + q = b\).
- पायरी 3: मध्यपद \(bx\) हे \(px + qx\) असे लिहा.
- पायरी 4: मिळालेल्या चार पदांचे दोन गट करा आणि प्रत्येक गटातून सामाईक अवयव काढा.
- पायरी 5: कंसातील पद सामाईक असेल, ते बाहेर काढून अंतिम अवयव मिळवा.
उदाहरण: \(2x^2 - 9x + 9\) चे अवयव पाडा.
- \(a = 2, c = 9\). गुणाकार \(ac = 2 \times 9 = 18\).
- \(18\) चे असे अवयव शोधा ज्यांची बेरीज \(-9\) (मध्यपदाचा सहगुणक) येईल. \((-6) \times (-3) = 18\) आणि \((-6) + (-3) = -9\).
- मध्यपद \(-9x\) हे \(-6x - 3x\) असे लिहा.
\(2x^2 - 9x + 9 = 2x^2 - 6x - 3x + 9\)
- गट करा आणि सामाईक अवयव काढा:
\(2x(x - 3) - 3(x - 3)\)
- अंतिम अवयव:
\((x - 3)(2x - 3)\)
वर्ग त्रिपदीचे अवयव पाडताना, गुणाकार आणि बेरीज योग्य प्रकारे जुळवणाऱ्या संख्या शोधणे महत्त्वाचे आहे. चिन्हांकडे लक्ष द्या!
जेव्हा \(ax^2 + bx + c\) मध्ये \(a \ne 1\) असतो, तेव्हा केवळ \(c\) चे अवयव न पाहता, \(ac\) चे अवयव पहावे लागतात.
a³ + b³ चे अवयव (Factors of a³ + b³)
दोन घनांच्या बेरजेचे अवयव पाडण्यासाठी विशिष्ट सूत्र वापरले जाते.
सूत्राची निर्मिती:
- आपल्याला माहीत आहे की \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).
- याला असेही लिहिता येते: \((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)\).
- आता, \(a^3 + b^3\) साठी सूत्र मिळवण्यासाठी, \(3ab(a + b)\) हे पद डाव्या बाजूला न्या:
\(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)
- या समीकरणातून \((a + b)\) हा सामाईक अवयव बाहेर काढा:
\(a^3 + b^3 = (a + b)[(a + b)^2 - 3ab]\)
- आता कंसातील \((a + b)^2\) चा विस्तार करा: \(a^2 + 2ab + b^2\)
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab)\)
- सरळ रूप दिल्यावर:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
सूत्र: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
वापरण्याची पद्धत:
- दिलेली राशी \(a^3 + b^3\) या स्वरूपात आहे का ते ओळखा.
- \(a\) आणि \(b\) ची किंमत निश्चित करा.
- सूत्रात \(a\) आणि \(b\) च्या किमती घालून अवयव मिळवा.
उदाहरण: \(x^3 + 27y^3\) चे अवयव पाडा.
- येथे, \(x^3 = (x)^3\) आणि \(27y^3 = (3y)^3\).
- म्हणून, \(a = x\) आणि \(b = 3y\).
- सूत्रात किमती घालूया:
\(x^3 + (3y)^3 = (x + 3y)(x^2 - x(3y) + (3y)^2)\) \(= (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)\)
टीप: जर राशीमध्ये सामाईक अवयव असेल, तर तो आधी बाहेर काढावा.
दोन घनांच्या बेरजेचे सूत्र: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) हे सूत्र तोंडपाठ असणे आवश्यक आहे.
a³ - b³ चे अवयव (Factors of a³ - b³)
दोन घनांच्या वजाबाकीचे अवयव पाडण्यासाठी देखील एक विशिष्ट सूत्र वापरले जाते.
सूत्राची निर्मिती:
- आपल्याला माहीत आहे की \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\).
- याला असेही लिहिता येते: \((a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)\).
- आता, \(a^3 - b^3\) साठी सूत्र मिळवण्यासाठी, \(-3ab(a - b)\) हे पद डाव्या बाजूला न्या:
\(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\)
- या समीकरणातून \((a - b)\) हा सामाईक अवयव बाहेर काढा:
\(a^3 - b^3 = (a - b)[(a - b)^2 + 3ab]\)
- आता कंसातील \((a - b)^2\) चा विस्तार करा: \(a^2 - 2ab + b^2\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2 + 3ab)\)
- सरळ रूप दिल्यावर:
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
सूत्र: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
वापरण्याची पद्धत:
- दिलेली राशी \(a^3 - b^3\) या स्वरूपात आहे का ते ओळखा.
- \(a\) आणि \(b\) ची किंमत निश्चित करा.
- सूत्रात \(a\) आणि \(b\) च्या किमती घालून अवयव मिळवा.
उदाहरण: \(x^3 - 8y^3\) चे अवयव पाडा.
- येथे, \(x^3 = (x)^3\) आणि \(8y^3 = (2y)^3\).
- म्हणून, \(a = x\) आणि \(b = 2y\).
- सूत्रात किमती घालूया:
\(x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2)\) \(= (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)\)
टीप: \(a^3 + b^3\) आणि \(a^3 - b^3\) या दोन्ही सूत्रांमधील चिन्हांमधील फरक लक्षात ठेवा. हा एक सामान्य चुका करण्याचा बिंदू आहे.
दोन घनांच्या वजाबाकीचे सूत्र: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) हे सूत्र देखील तोंडपाठ असणे आवश्यक आहे.
घनाच्या सूत्रांमध्ये चिन्हे बदलताना गोंधळ होऊ शकतो. \(a^3 + b^3\) मध्ये पहिल्या कंसात \((a+b)\) आणि दुसऱ्या कंसात \(-ab\) असते, तर \(a^3 - b^3\) मध्ये पहिल्या कंसात \((a-b)\) आणि दुसऱ्या कंसात \(+ab\) असते.
गुणोत्तरीय बैजिक राशी (Rational algebraic expressions)
दोन बैजिक राशी \(A\) आणि \(B\) असतील, तर \(A/B\) या राशीला गुणोत्तरीय बैजिक राशी म्हणतात, जिथे \(B \ne 0\).
- गुणोत्तरीय बैजिक राशींवरील क्रिया:
- या राशींवरील बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार या क्रिया परिमेय संख्यांवरील क्रियांप्रमाणेच असतात.
- महत्वाचे: भागाकार करताना किंवा छेदामध्ये कधीही शून्य असू शकत नाही.
- सोपे रूप देणे (Simplification):
- दिलेल्या गुणोत्तरीय राशीतील अंश आणि छेद यांचे अवयव पाडा.
- अंश आणि छेदामध्ये असलेले सामाईक अवयव रद्द करा.
- अंतिम सोपे रूप लिहा.
- गुणाकार आणि भागाकार:
- गुणाकार: \(\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}\)
- भागाकार: \(\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}\) (भागाकाराची क्रिया करताना दुसऱ्या अपूर्णांकाचा व्यस्तांक घेऊन गुणाकार करतात).
उदाहरण 1: सोपे रूप द्या \(\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 - a - 12} \times \frac{a^2 - 4a}{a^2 - 9}\)
- प्रत्येक पदाचे अवयव पाडा:
- \(a^2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2)\)
- \(a^2 - a - 12 = (a - 4)(a + 3)\)
- \(a^2 - 4a = a(a - 4)\)
- \(a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)\) (दोन वर्गपदांमधील फरक)
- किमती सूत्रात घाला:
\(\frac{(a + 3)(a + 2)}{(a - 4)(a + 3)} \times \frac{a(a - 4)}{(a - 3)(a + 3)}\)
- सामाईक अवयव रद्द करा:
\(\frac{\cancel{(a + 3)}(a + 2)}{\cancel{(a - 4)}\cancel{(a + 3)}} \times \frac{a\cancel{(a - 4)}}{(a - 3)(a + 3)}\) \(= \frac{a(a + 2)}{(a - 3)(a + 3)}\)
उदाहरण 2: सोपे रूप द्या \(\frac{x^2 - 9y^2}{x^3 - 27y^3}\)
- अंश आणि छेद यांचे अवयव पाडा:
- अंश: \(x^2 - 9y^2 = (x)^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)\) (दोन वर्गपदांमधील फरक)
- छेद: \(x^3 - 27y^3 = (x)^3 - (3y)^3 = (x - 3y)(x^2 + x(3y) + (3y)^2) = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)\) (दोन घनांच्या वजाबाकीचे सूत्र)
- किमती सूत्रात घाला:
\(\frac{(x - 3y)(x + 3y)}{(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)}\)
- सामाईक अवयव रद्द करा:
\(\frac{\cancel{(x - 3y)}(x + 3y)}{\cancel{(x - 3y)}(x^2 + 3xy + 9y^2)}\) \(= \frac{x + 3y}{x^2 + 3xy + 9y^2}\)
गुणोत्तरीय बैजिक राशींमध्ये, छेदाची किंमत कधीही शून्य असू नये. \(B \ne 0\) आणि \(D \ne 0\) हे नेहमी लक्षात ठेवा.
गुणोत्तरीय राशींना सोपे रूप देताना, सर्व अवयव योग्य प्रकारे पाडणे आणि नंतरच सामाईक अवयव रद्द करणे महत्त्वाचे आहे. घाई करू नका.
