चलन
या धड्यात विद्यार्थी समचलन (Direct variation) आणि व्यस्त चलन (Inverse variation) या दोन मुख्य प्रकारच्या चलनांचा अभ्यास करतात. त्यांना चलनाचे समीकरण कसे तयार करावे, चलनाचे स्थिरांक (constant of variation) कसे काढावे आणि दैनंदिन जीवनातील समस्या सोडवण्यासाठी चलनाचे नियम कसे वापरावे हे शिकवले जाते. उदाहरणांमध्ये वस्तूंची किंमत आणि संख्या, काळ, काम आणि वेग यांसारख्या संकल्पनांचा समावेश आहे. हा धडा गणितातील प्रमाणबद्धता आणि संबंध समजून घेण्यासाठी पायाभूत ज्ञान देतो.
चलनाची ओळख: समचलन आणि व्यस्त चलन
गणित आणि विज्ञानात, दोन राशींमधील संबंध दर्शवण्यासाठी 'चलन' ही संकल्पना वापरली जाते. जेव्हा एका राशीत बदल होतो, तेव्हा दुसऱ्या राशीतही विशिष्ट पद्धतीने बदल होतो. हे बदल दोन मुख्य प्रकारात मोडतात:
चलनाचे प्रकार
- समचलन (Direct Variation):
- जेव्हा एक राशी वाढते, तेव्हा दुसरी राशीही त्याच प्रमाणात वाढते.
- जेव्हा एक राशी कमी होते, तेव्हा दुसरी राशीही त्याच प्रमाणात कमी होते.
- उदा. सफरचंदांची संख्या वाढल्यास त्यांची किंमत वाढते.
- गणिती चिन्हात: x \( \propto \) y (x हे y शी समचलनात आहे).
- समीकरण: \( x = ky \) किंवा \( \frac{x}{y} = k \), जिथे \( k \) हा चलनांकाचा स्थिरांक आहे.
- व्यस्त चलन (Inverse Variation):
- जेव्हा एक राशी वाढते, तेव्हा दुसरी राशी त्याच प्रमाणात कमी होते.
- जेव्हा एक राशी कमी होते, तेव्हा दुसरी राशी त्याच प्रमाणात वाढते.
- उदा. काम पूर्ण करण्यासाठी लागणाऱ्या मजुरांची संख्या वाढल्यास लागणारे दिवस कमी होतात.
- गणिती चिन्हात: x \( \propto \frac{1}{y} \) (x हे y शी व्यस्त चलनात आहे).
- समीकरण: \( x = \frac{k}{y} \) किंवा \( xy = k \), जिथे \( k \) हा चलनांकाचा स्थिरांक आहे.
चलनाचे समीकरण आणि स्थिरांक
- चलनाचे समीकरण (Equation of Variation): चलनाच्या संबंधाला समीकरणाच्या स्वरूपात मांडणे, ज्यात चलनांकाचा स्थिरांक \( k \) असतो.
- चलनांकाचा स्थिरांक (Constant of Variation, k): दोन राशींमधील चलनाचा संबंध दर्शवणारे एक स्थिर मूल्य. हे मूल्य बदलत नाही.
चलन (Variation) म्हणजे दोन किंवा अधिक राशींमधील विशिष्ट संबंध, जिथे एका राशीतील बदलामुळे दुसऱ्या राशीतही बदल होतो.
ग्रीक अक्षर \( \alpha \) (अल्फा) हे 'चलन' या अर्थी वापरले जाते. उदा. \( x \propto y \).
समचलन (Direct Variation)
जेव्हा दोन राशी \( x \) आणि \( y \) समचलनात असतात, तेव्हा त्यांचा भागाकार \( \frac{x}{y} \) नेहमी स्थिर असतो. या स्थिरांकाला चलनांकाचा स्थिरांक \( k \) म्हणतात.
समचलनाची वैशिष्ट्ये
- स्थिर गुणोत्तर: \( \frac{x}{y} = k \) (स्थिर).
- आलेख: समचलनाचा आलेख हा आरंभबिंदूतून (origin) जाणारी सरळ रेषा असते.
- उदाहरण:
- वर्तुळाचा परीघ (C) त्याच्या त्रिज्येच्या (r) समचलनात असतो: \( C \propto r \Rightarrow C = 2\pi r \). येथे \( k = 2\pi \).
- वर्तुळाचे क्षेत्रफळ (A) त्याच्या त्रिज्येच्या वर्गाच्या (\( r^2 \)) समचलनात असते: \( A \propto r^2 \Rightarrow A = \pi r^2 \). येथे \( k = \pi \).
- द्रवाचा दाब (p) हा त्या द्रवाच्या खोलीशी (d) समचलनात असतो: \( p \propto d \Rightarrow p = kd \).
समचलन वापरून उदाहरणे सोडवण्याची पद्धत
- चलनाचा संबंध ओळखा: दिलेले राशी समचलनात आहेत हे निश्चित करा (उदा. \( x \propto y \)).
- चलनाचे चिन्ह काढा आणि स्थिरांक \( k \) वापरा: \( x = ky \) असे लिहा.
- दिलेल्या मूल्यांचा वापर करून \( k \) काढा: उदा. \( x = 5 \) आणि \( y = 30 \) दिल्यास, \( 5 = k \times 30 \Rightarrow k = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \).
- चलनाचे समीकरण लिहा: \( k \) चे मूल्य समीकरणात ठेवा (उदा. \( x = \frac{1}{6}y \) किंवा \( y = 6x \)).
- इतर अज्ञात मूल्ये शोधा: चलनाचे समीकरण वापरून इतर प्रश्नांची उत्तरे द्या.
उदा. (NCERT 7.2 मधून): x हे y शी समचलनात आहे, x = 5 असतांना y = 30, तर चलनाचा स्थिरांक काढा व चलनाचे समीकरण लिहा.
- उकल:
- \( x \propto y \) म्हणजेच \( x = ky \).
- \( x = 5 \) आणि \( y = 30 \) दिल्यास:
\( 5 = k \times 30 \) \( k = \frac{5}{30} \) \( k = \frac{1}{6} \) (चलनाचा स्थिरांक)
- चलनाचे समीकरण: \( x = \frac{1}{6}y \) किंवा \( y = 6x \).
समचलनाचे सूत्र: \( \frac{x}{y} = k \) किंवा \( x = ky \) येथे, \( k \) हा चलनांकाचा स्थिरांक आहे.
समचलनाच्या गणितांमध्ये, \( k \) चे मूल्य काढणे हे पहिले आणि महत्त्वाचे पाऊल आहे. एकदा \( k \) मिळाल्यावर, कोणतेही अज्ञात मूल्य शोधणे सोपे होते.
व्यस्त चलन (Inverse Variation)
जेव्हा दोन राशी \( x \) आणि \( y \) व्यस्त चलनात असतात, तेव्हा त्यांचा गुणाकार \( xy \) नेहमी स्थिर असतो. या स्थिरांकाला चलनांकाचा स्थिरांक \( k \) म्हणतात.
व्यस्त चलनाची वैशिष्ट्ये
- स्थिर गुणाकार: \( xy = k \) (स्थिर).
- आलेख: व्यस्त चलनाचा आलेख हा वक्र (hyperbola) असतो, जो अक्षांना कधीही छेदत नाही.
- उदाहरण:
- ठराविक काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारे मजूर आणि लागणारे दिवस: मजुरांची संख्या वाढल्यास दिवस कमी होतात.
- ठराविक अंतर कापण्यासाठी वाहनाचा वेग आणि लागणारा वेळ: वेग वाढल्यास वेळ कमी लागतो.
- एका निश्चित क्षेत्रासाठी लांबी आणि रुंदी: लांबी वाढल्यास रुंदी कमी होते (क्षेत्रफळ स्थिर ठेवण्यासाठी).
व्यस्त चलन वापरून उदाहरणे सोडवण्याची पद्धत
- चलनाचा संबंध ओळखा: दिलेले राशी व्यस्त चलनात आहेत हे निश्चित करा (उदा. \( x \propto \frac{1}{y} \)).
- चलनाचे चिन्ह काढा आणि स्थिरांक \( k \) वापरा: \( x = \frac{k}{y} \) किंवा \( xy = k \) असे लिहा.
- दिलेल्या मूल्यांचा वापर करून \( k \) काढा: उदा. \( a = 6 \) आणि \( b = 20 \) दिल्यास, \( k = 6 \times 20 = 120 \).
- चलनाचे समीकरण लिहा: \( k \) चे मूल्य समीकरणात ठेवा (उदा. \( ab = 120 \)).
- इतर अज्ञात मूल्ये शोधा: चलनाचे समीकरण वापरून इतर प्रश्नांची उत्तरे द्या.
उदा. (NCERT 7.4 मधून): जर a हे b शी व्यस्त चलनात असेल तर खालील सारणी पूर्ण करा.
| a | 6 | 12 | 15 | ... | |---|---|---|---|---| | b | 20 | ... | ... | 4 | | a * b | 120 | 120 | ... | ... |
- उकल:
- \( a \propto \frac{1}{b} \) म्हणजेच \( ab = k \).
- \( a = 6 \) आणि \( b = 20 \) दिल्यास, \( k = 6 \times 20 = 120 \) (चलनाचा स्थिरांक).
- चलनाचे समीकरण: \( ab = 120 \).
- जेव्हा \( a = 12 \): \( 12 \times b = 120 \Rightarrow b = \frac{120}{12} = 10 \).
- जेव्हा \( a = 15 \): \( 15 \times b = 120 \Rightarrow b = \frac{120}{15} = 8 \).
- जेव्हा \( b = 4 \): \( a \times 4 = 120 \Rightarrow a = \frac{120}{4} = 30 \).
पूर्ण सारणी:
| a | 6 | 12 | 15 | 30 | |---|---|---|---|---| | b | 20 | 10 | 8 | 4 | | a * b | 120 | 120 | 120 | 120 |
व्यस्त चलनाचे सूत्र: \( xy = k \) किंवा \( x = \frac{k}{y} \) येथे, \( k \) हा चलनांकाचा स्थिरांक आहे.
समचलन आणि व्यस्त चलन यांच्या सूत्रांमध्ये गोंधळ करू नका. समचलनात भागाकार स्थिर असतो, तर व्यस्त चलनात गुणाकार स्थिर असतो.
काळ, काम, वेग आणि चलनाचे उपयोजन
व्यवहारिक जीवनात अनेक ठिकाणी चलनाचे नियम वापरले जातात. विशेषतः काळ (Time), काम (Work) आणि वेग (Speed) यांच्याशी संबंधित उदाहरणे सोडवण्यासाठी चलनाची संकल्पना खूप उपयुक्त ठरते.
काळ आणि काम
- मजूर संख्या आणि कामाचे दिवस: कामाची निश्चित मात्रा पूर्ण करण्यासाठी लागणारे मजूर आणि लागणारे दिवस यांच्यात व्यस्त चलन असते.
- मजूर वाढल्यास दिवस कमी लागतात आणि मजूर कमी झाल्यास दिवस जास्त लागतात.
- सूत्र: \( M \times D = k \) (जिथे M = मजूर, D = दिवस).
उदा. (NCERT 7.5 मधून): एका शेतातील शेंगा काढण्याचे काम 15 स्त्रिया 8 दिवसांत पूर्ण करतात. तेच काम 6 दिवसांत पूर्ण करायचे असल्यास किती स्त्रिया कामावर असाव्या?
- उकल:
- दिवसांची संख्या (d) आणि स्त्रियांची संख्या (n) यांत व्यस्त चलन आहे. \( d \propto \frac{1}{n} \) म्हणजेच \( dn = k \).
- \( n = 15 \) तेव्हा \( d = 8 \).
- \( k = dn = 15 \times 8 = 120 \) (चलनाचा स्थिरांक).
- चलनाचे समीकरण: \( dn = 120 \).
- आता \( d = 6 \) असतांना \( n \) काढू:
\( 6 \times n = 120 \) \( n = \frac{120}{6} \) \( n = 20 \).
- म्हणून, काम 6 दिवसांत पूर्ण करण्यासाठी 20 स्त्रिया कामावर असाव्या.
वेग आणि वेळ
- वाहनाचा वेग आणि लागणारा वेळ: ठराविक अंतर कापण्यासाठी वाहनाचा वेग आणि लागणारा वेळ यांच्यात व्यस्त चलन असते.
- वेग वाढल्यास वेळ कमी लागतो आणि वेग कमी झाल्यास वेळ जास्त लागतो.
- सूत्र: \( V \times T = k \) (जिथे V = वेग, T = वेळ, k = अंतर).
उदा. (NCERT 7.5 मधून): एका वाहनाचा सरासरी वेग ताशी 48 किमी असतांना काही अंतर जाण्यासाठी 6 तास लागतात, तर वेग ताशी 72 किमी असतांना तेवढेच अंतर जाण्यासाठी किती वेळ लागेल?
- उकल:
- वेग (V) आणि वेळ (T) यांत व्यस्त चलन आहे. \( V \propto \frac{1}{T} \) म्हणजेच \( VT = k \).
- \( V = 48 \) किमी/तास तेव्हा \( T = 6 \) तास.
- \( k = VT = 48 \times 6 = 288 \) (चलनाचा स्थिरांक, म्हणजेच एकूण अंतर 288 किमी).
- चलनाचे समीकरण: \( VT = 288 \).
- आता \( V = 72 \) किमी/तास असतांना \( T \) काढू:
\( 72 \times T = 288 \) \( T = \frac{288}{72} \) \( T = 4 \) तास.
- म्हणून, वेग ताशी 72 किमी असतांना तेवढेच अंतर जाण्यासाठी 4 तास लागतील.
काळ, काम, वेग यांसारख्या समस्यांमध्ये, 'एकूण काम' किंवा 'एकूण अंतर' हे चलनांकाचा स्थिरांक \( k \) दर्शवते.
शाब्दिक उदाहरणे सोडवताना, प्रथम कोणत्या राशींमध्ये समचलन आहे की व्यस्त चलन आहे हे ओळखा. त्यानंतर योग्य सूत्र वापरून \( k \) काढा आणि समीकरण तयार करा.
