बहुपदींचा भागाकार
या धड्यात तुम्ही बैजिक राशींवरील मूलभूत क्रियांचा आढावा घेता आणि बहुपदींची सखोल ओळख करून घेता. बहुपदी म्हणजे काय, त्यांची कोटी कशी ठरवायची आणि एकपदीने तसेच द्विपदीने बहुपदीला कसे भागायचे हे तुम्ही शिकता. हे ज्ञान तुम्हाला पुढील गणितातील अधिक जटिल बैजिक संकल्पना समजून घेण्यासाठी पायाभूत ठरते. भागाकाराच्या विविध पद्धती आणि बाकी व भागाकार कसा काढायचा हे या धड्यात सविस्तरपणे स्पष्ट केले आहे.
बहुपदीची ओळख आणि कोटी
बहुपदीची ओळख
- एका चलातील बैजिक राशीच्या प्रत्येक पदातील चलाचा घातांक पूर्ण संख्या (whole number) असेल, तर ती राशी एका चलातील बहुपदी असते.
- उदाहरणार्थ:
- \(x^2 + 2x + 3\) ही एक बहुपदी आहे. (येथे घातांक 2, 1, 0 आहेत, जे पूर्ण संख्या आहेत)
- \(3y^3 + 2y^2 + y + 5\) ही एक बहुपदी आहे.
- बहुपदी नसलेल्या राशींची उदाहरणे:
- \(x + \frac{1}{x}\) म्हणजेच \(x + x^{-1}\) (येथे \(-1\) ही पूर्ण संख्या नाही).
- \(\sqrt{x} + 5\) म्हणजेच \(x^{\frac{1}{2}} + 5\) (येथे \(\frac{1}{2}\) ही पूर्ण संख्या नाही).
- बहुपदी या विशिष्ट बैजिक राशीच असतात, त्यामुळे त्यांच्यावरील बेरीज, वजाबाकी व गुणाकार या क्रिया बैजिक राशींप्रमाणेच केल्या जातात.
बहुपदीची कोटी (Degree of a polynomial)
- दिलेल्या बहुपदीतील चलाच्या सर्वात मोठ्या घातांकास त्या बहुपदीची कोटी म्हणतात.
- उदाहरणार्थ:
- \(3x^2 + 4x\) या बहुपदीतील चलाचा सर्वात मोठा घातांक 2 आहे. म्हणून या बहुपदीची कोटी 2 आहे.
- \(7x^3 + 5x + 4x^5 + 2x^2\) या बहुपदीतील चलाचा सर्वात मोठा घातांक 5 आहे. म्हणून या बहुपदीची कोटी 5 आहे.
- \(5\) या स्थिर बहुपदीची कोटी 0 असते, कारण तिला \(5x^0\) असे लिहिता येते.
बहुपदी (Polynomial): ज्या बैजिक राशीमध्ये चलाचे घातांक पूर्ण संख्या असतात, त्या राशीला बहुपदी म्हणतात.
बहुपदीची कोटी ठरवताना, बहुपदीतील प्रत्येक पदातील चलाचा घातांक तपासा आणि त्यापैकी सर्वात मोठा घातांक निवडा.
एकपदीला एकपदीने भागणे
बहुपदींचा भागाकार करताना, भागाकार ही गुणाकाराची उलट क्रिया आहे हे लक्षात ठेवा.
पायऱ्या:
- भाजक आणि भाज्य यांच्या चिन्हांचा विचार करा.
- संख्यात्मक सहगुणकांचा भागाकार करा.
- चलांच्या घातांकांचा भागाकार करा. (घातांक नियमानुसार, \(a^m \div a^n = a^{m-n}\))
उदाहरण 1: \(15p^3 \div 3p\)
- चिन्हे: धन \(\div\) धन = धन
- सहगुणक: \(15 \div 3 = 5\)
- चले: \(p^3 \div p^1 = p^{3-1} = p^2\)
- भागाकार: \(5p^2\)
उदाहरण 2: \((-36x^4) \div (-9x)\)
- चिन्हे: ऋण \(\div\) ऋण = धन
- सहगुणक: \(36 \div 9 = 4\)
- चले: \(x^4 \div x^1 = x^{4-1} = x^3\)
- भागाकार: \(4x^3\)
उदाहरण 3: \((5m^2) \div (-m)\)
- चिन्हे: धन \(\div\) ऋण = ऋण
- सहगुणक: \(5 \div 1 = 5\)
- चले: \(m^2 \div m^1 = m^{2-1} = m^1 = m\)
- भागाकार: \(-5m\)
उदाहरण 4: \((-20y^5) \div (2y^3)\)
- चिन्हे: ऋण \(\div\) धन = ऋण
- सहगुणक: \(20 \div 2 = 10\)
- चले: \(y^5 \div y^3 = y^{5-3} = y^2\)
- भागाकार: \(-10y^2\)
घातांकाचा नियम: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
भागाकार करताना, चिन्हांचे नियम (धन \(\div\) धन = धन, ऋण \(\div\) ऋण = धन, धन \(\div\) ऋण = ऋण, ऋण \(\div\) धन = ऋण) नेहमी लक्षात ठेवा.
बहुपदीला एकपदीने भागणे
बहुपदीला एकपदीने भागताना, भागाकाराची क्रिया प्रत्येक पदासाठी स्वतंत्रपणे केली जाते.
पायऱ्या:
- बहुपदीतील प्रत्येक पदाला भाजक एकपदीने भागा.
- प्रत्येक भागाकाराचे पद मिळवण्यासाठी एकपदीला एकपदीने भागण्याच्या नियमांचा वापर करा.
- मिळालेल्या पदांची बेरीज करून भागाकार लिहा.
उदाहरण 1: \((6x^3 + 8x^2) \div 2x\)
- पायरी 1: \(6x^3 \div 2x = 3x^2\)
- पायरी 2: \(8x^2 \div 2x = 4x\)
- भागाकार: \(3x^2 + 4x\)
- बाकी: 0
उदाहरण 2: \((15y^4 + 10y^3 - 3y^2) \div 5y^2\)
- पायरी 1: \(15y^4 \div 5y^2 = 3y^2\)
- पायरी 2: \(10y^3 \div 5y^2 = 2y\)
- पायरी 3: \(-3y^2 \div 5y^2 = -\frac{3}{5}\)
- भागाकार: \(3y^2 + 2y - \frac{3}{5}\)
- बाकी: 0
उदाहरण 3: \((12p^3 - 6p^2 + 4p) \div 3p^2\)
- पायरी 1: \(12p^3 \div 3p^2 = 4p\)
- पायरी 2: \(-6p^2 \div 3p^2 = -2\)
- पायरी 3: \(4p \div 3p^2 = \frac{4}{3p}\) (येथे चलाचा घातांक भाजकाच्या घातांकापेक्षा लहान आहे, त्यामुळे हे पद बाकीमध्ये येते.)
- भागाकार: \(4p - 2\)
- बाकी: \(4p\)
उदाहरण 4: \((5x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x - 6) \div x^2\)
- पायरी 1: \(5x^4 \div x^2 = 5x^2\)
- पायरी 2: \(-3x^3 \div x^2 = -3x\)
- पायरी 3: \(4x^2 \div x^2 = 4\)
- पायरी 4: \(2x \div x^2\) (येथे चलाचा घातांक भाजकाच्या घातांकापेक्षा लहान आहे.)
- पायरी 5: \(-6 \div x^2\) (येथे चलाचा घातांक भाजकाच्या घातांकापेक्षा लहान आहे.)
- भागाकार: \(5x^2 - 3x + 4\)
- बाकी: \(2x - 6\)
बहुपदीचा भागाकार करताना, जेव्हा बाकी शून्य उरते किंवा बाकीची कोटी ही भाजक बहुपदीच्या कोटीपेक्षा लहान असते, तेव्हा भागाकाराची क्रिया पूर्ण होते.
प्रत्येक पदाला भाजकाने भागणे विसरू नका. अनेकदा विद्यार्थी फक्त पहिल्या पदाला भागून भागाकार पूर्ण करतात.
बहुपदीला द्विपदीने भागणे
बहुपदीला द्विपदीने भागण्याची रीत बहुपदीला एकपदीने भागण्याच्या रीतीप्रमाणेच असते, परंतु येथे भाजकामध्ये दोन पदे असल्याने क्रिया थोडी अधिक लांबते. दीर्घ भागाकार पद्धत (Long Division Method) वापरली जाते.
पायऱ्या:
- मांडणी: भाज्य आणि भाजक बहुपदी घातांकांच्या उतरत्या क्रमाने लिहा. जर एखादे पद (उदा. \(x^3\)) अनुपस्थित असेल, तर ते \(0x^3\) असे सहगुणक शून्य घेऊन लिहा.
- पहिल्या पदाचा भागाकार: भाज्याच्या पहिल्या पदाला भाजकाच्या पहिल्या पदाने भागा. मिळालेले पद भागाकाराच्या ठिकाणी लिहा.
- गुणाकार: भागाकाराच्या नवीन पदाने भाजकाला गुणा. हे गुणनफल भाज्याच्या खाली लिहा.
- वजाबाकी: भाज्यातून हे गुणनफल वजा करा. (वजाबाकी करताना खालच्या पदांची चिन्हे बदला).
- पुढील पद खाली घ्या: वजाबाकीनंतर मिळालेल्या बहुपदीमध्ये भाज्याचे पुढील पद खाली घ्या.
- पुनरावृत्ती: पायरी 2 ते 5 ची पुनरावृत्ती करा, जोपर्यंत बाकीची कोटी भाजकाच्या कोटीपेक्षा लहान होत नाही.
उदाहरण 1: \((x^2 + 4x + 4) \div (x + 2)\) ` x + 2 _______ x + 2 | x^2 + 4x + 4
- (x^2 + 2x)
_________ 2x + 4
- (2x + 4)
_________ 0
