चक्रवाढ वयाज

आपण मागील इयत्तेत सरळव्याज शिकलो आहोत. सरळव्याज म्हणजे केवळ मुद्दलावर आकारले जाणारे व्याज.

• सरळव्याजाचे सूत्र: \(I = \frac{P \times N \times R}{100}\)
• \(I\) = व्याज (Interest)
• \(P\) = मुद्दल (Principal)
• \(N\) = मुदत (काळ, वर्षांमध्ये)
• \(R\) = व्याजदर (द.सा.द.शे. - दर साल दर शेकडा)

चक्रवाढ व्याज हे सरळव्याजापेक्षा वेगळे आहे. चक्रवाढ व्याजामध्ये, प्रत्येक वर्षाच्या शेवटी मिळणारे व्याज मुद्दलात मिळवले जाते आणि पुढील वर्षासाठी हे वाढलेले मुद्दल (म्हणजेच रास) नवीन मुद्दल म्हणून विचारात घेतले जाते. यालाच 'व्याजावर व्याज' असेही म्हणतात.

• फरक: सरळव्याज प्रत्येक वर्षी मूळ मुद्दलावरच आकारले जाते, तर चक्रवाढ व्याज प्रत्येक वर्षी मागील वर्षाच्या राशीवर (मुद्दल + व्याज) आकारले जाते. चक्रवाढ व्याज हे नेहमी सरळव्याजापेक्षा जास्त असते (मुदत एका वर्षापेक्षा जास्त असल्यास).

उदाहरण: 10,000 रुपये, 10% दराने 2 वर्षांसाठी.

| बाब | सरळव्याज (रु.) | चक्रवाढ व्याज (रु.) | | :-------------- | :------------- | :----------------- | | पहिले वर्ष | | | | मुद्दल | 10,000 | 10,000 | | व्याज (10%) | 1,000 | 1,000 | | वर्षाअखेर रास | 11,000 | 11,000 | | दुसरे वर्ष | | | | मुद्दल | 10,000 | 11,000 | | व्याज (10%) | 1,000 | 1,100 | | वर्षाअखेर रास | 12,000 | 12,100 | | एकूण व्याज | 2,000 | 2,100 |

या उदाहरणावरून स्पष्ट होते की, चक्रवाढ व्याजामुळे जास्त रक्कम मिळते/द्यावी लागते.

चक्रवाढ व्याजाने रास काढण्यासाठी एक विशिष्ट सूत्र आहे. हे सूत्र तुम्हाला प्रत्येक वर्षी स्वतंत्रपणे व्याज काढण्याची गरज टाळण्यास मदत करते.

चक्रवाढ व्याजाने रास काढण्याचे सूत्र:

\(A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N\)

येथे,

• \(A\) = रास (Amount) - \(N\) वर्षांनंतर मिळणारी एकूण रक्कम.
• \(P\) = मुद्दल (Principal) - सुरुवातीला गुंतवलेली किंवा कर्ज घेतलेली रक्कम.
• \(R\) = व्याजदर (Rate of Interest) - दर साल दर शेकडा (per annum).
• \(N\) = मुदत (Time) - वर्षांमध्ये.

चक्रवाढ व्याज (Compound Interest) काढण्याचे सूत्र:

\(CI = A - P\) \(CI = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N - P\) \(CI = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N - 1 \right]\)

हे सूत्र वापरताना, R हा दर नेहमी टक्केवारीत (उदा. 10% साठी 10) घ्यावा लागतो.

सूत्राचा वापर कसा करावा?

1. दिलेली माहिती (P, R, N) सूत्रात घाला.
2. कंसातील बेरीज करा.
3. कंसातील संख्येचा \(N\) वा घात काढा.
4. त्याला \(P\) ने गुणा.
5. मिळालेली रक्कम ही रास (A) असेल.
6. चक्रवाढ व्याज काढण्यासाठी रासमधून मुद्दल वजा करा.

उदाहरणार्थ: 10,000 रुपयांचे 10% दराने 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याजाने रास काढा.

• \(P = 10,000\)
• \(R = 10\)
• \(N = 2\)

\(A = 10000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2\) \(A = 10000 \left(1 + \frac{1}{10}\right)^2\) \(A = 10000 \left(\frac{11}{10}\right)^2\) \(A = 10000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10}\) \(A = 10000 \times \frac{121}{100}\) \(A = 100 \times 121\) \(A = 12100\) रुपये

चक्रवाढ व्याज \(CI = A - P = 12100 - 10000 = 2100\) रुपये.

आतापर्यंत आपण पाहिले की, व्याज दरवर्षी आकारले जाते. परंतु, काही आर्थिक व्यवहारांमध्ये व्याज दर सहा महिन्यांनी (अर्धवार्षिक) किंवा दर महिन्यांनी (मासिक) आकारले जाते. अशा वेळी सूत्रात थोडे बदल करावे लागतात.

1. अर्धवार्षिक व्याज आकारणी (Half-yearly Compounding)

जेव्हा व्याज दर सहा महिन्यांनी आकारले जाते, तेव्हा:

• व्याजदर (R): वार्षिक दराच्या निम्मा होतो. \(R_{new} = \frac{R}{2}\)
• मुदत (N): वर्षांतील सहामाही टप्प्यांची संख्या दुप्पट होते. \(N_{new} = 2N\)

अर्धवार्षिक व्याज आकारणीसाठी सूत्र: \(A = P \left(1 + \frac{R/2}{100}\right)^{2N}\) किंवा \(A = P \left(1 + \frac{R}{200}\right)^{2N}\)

उदाहरण: 10,000 रुपयांचे 10% दराने 1 वर्षासाठी अर्धवार्षिक चक्रवाढ व्याजाने रास काढा.

• \(P = 10,000\)
• \(R = 10\%\) (वार्षिक)
• \(N = 1\) वर्ष

येथे, \(R_{new} = \frac{10}{2} = 5\%\) आणि \(N_{new} = 2 \times 1 = 2\) टप्पे.

\(A = 10000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2\) \(A = 10000 \left(\frac{105}{100}\right)^2\) \(A = 10000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\) \(A = 10000 \times \frac{441}{400}\) \(A = 25 \times 441\) \(A = 11025\) रुपये

2. मासिक व्याज आकारणी (Monthly Compounding)

जेव्हा व्याज दर महिन्यांनी आकारले जाते, तेव्हा:

• व्याजदर (R): वार्षिक दराच्या 12 वा भाग होतो. \(R_{new} = \frac{R}{12}\)
• मुदत (N): वर्षांतील महिन्यांची संख्या 12 पट होते. \(N_{new} = 12N\)

मासिक व्याज आकारणीसाठी सूत्र: \(A = P \left(1 + \frac{R/12}{100}\right)^{12N}\) किंवा \(A = P \left(1 + \frac{R}{1200}\right)^{12N}\)

उदाहरण: 12,000 रुपयांचे 12% दराने 1 वर्षासाठी मासिक चक्रवाढ व्याजाने रास काढा.

• \(P = 12,000\)
• \(R = 12\%\) (वार्षिक)
• \(N = 1\) वर्ष

येथे, \(R_{new} = \frac{12}{12} = 1\%\) आणि \(N_{new} = 12 \times 1 = 12\) टप्पे.

\(A = 12000 \left(1 + \frac{1}{100}\right)^{12}\) \(A = 12000 \left(\frac{101}{100}\right)^{12}\) (याची गणना कॅल्क्युलेटरशिवाय कठीण आहे, पण संकल्पना समजून घेणे महत्त्वाचे आहे.)

दैनंदिन व्याज आकारणी (Daily Compounding): काही बँका दैनिक व्याज आकारणी करतात. अशा वेळी \(R_{new} = R/365\) आणि \(N_{new} = 365N\) असे बदल करावे लागतात.

चक्रवाढ व्याजाचे सूत्र केवळ आर्थिक व्यवहारांपुरते मर्यादित नाही, तर ते अनेक इतर क्षेत्रांमध्येही वापरले जाते, जिथे वाढ किंवा घट एका विशिष्ट दराने होते.

1. लोकसंख्या वाढ (Population Growth)

जर एखाद्या शहराची किंवा प्रदेशाची लोकसंख्या दरवर्षी एका विशिष्ट दराने वाढत असेल, तर \(N\) वर्षांनंतरची लोकसंख्या काढण्यासाठी चक्रवाढ व्याजाचे सूत्र वापरता येते.

• सूत्र: \(A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^N\)
• \(P\) = सध्याची लोकसंख्या
• \(R\) = लोकसंख्या वाढीचा वार्षिक दर
• \(N\) = वर्षांची संख्या
• \(A\) = \(N\) वर्षांनंतरची लोकसंख्या

उदाहरण: एका शहराची लोकसंख्या 2020 मध्ये 50,000 होती आणि ती दरवर्षी 5% दराने वाढत आहे. 2022 मध्ये लोकसंख्या किती असेल?

• \(P = 50,000\)
• \(R = 5\)
• \(N = 2022 - 2020 = 2\) वर्षे

\(A = 50000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2\) \(A = 50000 \left(\frac{105}{100}\right)^2\) \(A = 50000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\) \(A = 50000 \times \frac{441}{400}\) \(A = 125 \times 441\) \(A = 55125\)

म्हणून, 2022 मध्ये शहराची लोकसंख्या 55,125 असेल.

2. घसारा (Depreciation)

काही वस्तूंची किंमत वापरल्यामुळे किंवा काळाच्या ओघात कमी होते. किमतीतील या घटीला घसारा म्हणतात. घसाऱ्याचा दर सामान्यतः वार्षिक टक्केवारीत दिला जातो. अशा वेळी, किमतीतील घट दर्शवण्यासाठी \(R\) चा दर ऋण (negative) घेतला जातो.

• सूत्र: \(A = P \left(1 - \frac{R}{100}\right)^N\)
• \(P\) = वस्तूची मूळ किंमत
• \(R\) = घसाऱ्याचा वार्षिक दर
• \(N\) = वर्षांची संख्या
• \(A\) = \(N\) वर्षांनंतरची वस्तूची किंमत

उदाहरण: एका कारची किंमत 8,00,000 रुपये आहे. तिची किंमत दरवर्षी 10% दराने घसरत आहे. 2 वर्षांनंतर तिची किंमत किती असेल?

• \(P = 8,00,000\)
• \(R = 10\) (घसारा असल्याने वजाबाकी)
• \(N = 2\) वर्षे

\(A = 800000 \left(1 - \frac{10}{100}\right)^2\) \(A = 800000 \left(\frac{90}{100}\right)^2\) \(A = 800000 \times \frac{9}{10} \times \frac{9}{10}\) \(A = 800000 \times \frac{81}{100}\) \(A = 8000 \times 81\) \(A = 648000\) रुपये

म्हणून, 2 वर्षांनंतर कारची किंमत 6,48,000 रुपये असेल.

टीप: लोकसंख्या घट किंवा इतर घट होणाऱ्या बाबींसाठीही घसाऱ्याच्या सूत्राप्रमाणेच \(R\) चा दर ऋण घेऊन सूत्र वापरले जाते.

चक्रवाढ व्याजाच्या सूत्रात \(A, P, R, N\) या चार बाबी असतात. यापैकी कोणतीही तीन बाबी दिल्यास, चौथी बाब शोधता येते. यासाठी बीजगणिताच्या नियमांचा वापर करावा लागतो.

1. मुद्दल (P) शोधणे

जर आपल्याला रास (A), दर (R) आणि मुदत (N) दिली असेल, तर मुद्दल (P) शोधण्यासाठी सूत्र खालीलप्रमाणे मांडता येते:

\(P = \frac{A}{\left(1 + \frac{R}{100}\right)^N}\)

उदाहरण: एका रकमेची 10% दराने 2 वर्षांनी चक्रवाढ व्याजाने 12,100 रुपये रास होते. तर ती रक्कम (मुद्दल) काढा.

• \(A = 12,100\)
• \(R = 10\)
• \(N = 2\)

\(12100 = P \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2\) \(12100 = P \left(\frac{11}{10}\right)^2\) \(12100 = P \times \frac{121}{100}\) \(P = \frac{12100 \times 100}{121}\) \(P = 100 \times 100\) \(P = 10000\) रुपये

म्हणून, मुद्दल 10,000 रुपये आहे.

2. मुदत (N) शोधणे

जर आपल्याला रास (A), मुद्दल (P) आणि दर (R) दिला असेल, तर मुदत (N) शोधण्यासाठी घातांकांच्या नियमांचा वापर करावा लागतो.

उदाहरण: 10,000 रुपयांचे 10% दराने चक्रवाढ व्याज 2,100 रुपये होते. तर मुदत (N) काढा.

• \(P = 10,000\)
• \(R = 10\)
• \(CI = 2,100\)

प्रथम रास (A) काढा: \(A = P + CI = 10000 + 2100 = 12100\)

आता सूत्रात किमती घाला: \(12100 = 10000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^N\) \(12100 = 10000 \left(\frac{11}{10}\right)^N\) \(\frac{12100}{10000} = \left(\frac{11}{10}\right)^N\) \(\frac{121}{100} = \left(\frac{11}{10}\right)^N\)

आपल्याला माहीत आहे की \(121 = 11^2\) आणि \(100 = 10^2\). म्हणून, \(\left(\frac{11}{10}\right)^2 = \left(\frac{11}{10}\right)^N\) घातांक समान असल्याने, \(N = 2\) वर्षे.

3. दर (R) शोधणे

जर आपल्याला रास (A), मुद्दल (P) आणि मुदत (N) दिली असेल, तर दर (R) शोधण्यासाठी वर्गमूळ किंवा घनमूळ काढण्याची गरज लागू शकते.

उदाहरण: 10,000 रुपयांचे 2 वर्षांत चक्रवाढ व्याजाने 12,100 रुपये रास होते. तर व्याजदर (R) काढा.

• \(A = 12,100\)
• \(P = 10,000\)
• \(N = 2\)

\(12100 = 10000 \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2\) \(\frac{12100}{10000} = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2\) \(\frac{121}{100} = \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2\)

दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेतल्यास: \(\sqrt{\frac{121}{100}} = 1 + \frac{R}{100}\) \(\frac{11}{10} = 1 + \frac{R}{100}\) \(\frac{11}{10} - 1 = \frac{R}{100}\) \(\frac{11 - 10}{10} = \frac{R}{100}\) \(\frac{1}{10} = \frac{R}{100}\) \(R = \frac{100}{10}\) \(R = 10\)

म्हणून, व्याजदर 10% आहे.