पृष्ठफळ व घनफळ
या धड्यात विद्यार्थी त्रिमितीय आकारांचे, जसे की इष्टिकाचिती, घन आणि वृत्तचिती यांचे पृष्ठफळ आणि घनफळ कसे काढायचे हे शिकतात. यात मापनाची दशमान पद्धत, आर, हेक्टर, गुंठा आणि एकर यांसारख्या एककांची ओळख करून दिली आहे. विविध आकारांच्या वस्तूंचे पृष्ठफळ आणि घनफळ काढण्यासाठी सूत्रे आणि त्यांची उदाहरणे दिली आहेत, ज्यामुळे दैनंदिन जीवनातील समस्या सोडवण्यासाठी गणिताचा उपयोग कसा होतो हे समजते.
क्षेत्रफळ आणि घनफळाची उजळणी व एकके
या विभागात आपण मागील इयत्तांमध्ये शिकलेल्या काही संकल्पनांची उजळणी करणार आहोत आणि काही नवीन एकके पाहणार आहोत.
- क्षेत्रफळ (Area):
- एखाद्या सपाट पृष्ठभागाने व्यापलेली जागा म्हणजे त्याचे क्षेत्रफळ.
- क्षेत्रफळाचे एकक नेहमी चौकोनी एककात (square units) असते, उदा. चौसेमी (cm²), चौमी (m²).
- आलेख कागदावर आकृत्यांचे अंदाजे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी लहान चौरस मोजले जातात.
- पूर्ण भरलेले चौरस मोजा.
- अर्ध्यापेक्षा जास्त भरलेले चौरस पूर्ण मानून मोजा.
- अर्ध्यापेक्षा कमी भरलेले चौरस सोडून द्या.
- मापनाची दशमान पद्धत (Decimal System of Measurement):
- भारतात मापनासाठी दशमान पद्धत वापरली जाते.
- जमिनीची क्षेत्रफळे 'आर' (Are) आणि 'हेक्टर' (Hectare) या दशमान एककांमध्ये नोंदवली जातात.
- 100 चौमी = 1 आर
- 100 आर = 1 हेक्टर = 10,000 चौमी
- व्यवहारात 'गुंठा' आणि 'एकर' ही एकके अजूनही वापरली जातात.
- 1 गुंठा ≈ 1 आर ≈ 100 चौमी
- 1 एकर ≈ 0.4 हेक्टर
- घनफळ (Volume):
- त्रिमितीय वस्तूने (घनाकृतीने) अवकाशात व्यापलेली जागा म्हणजे तिचे घनफळ.
- घनफळाचे प्रमाणित एकक घन एककात (cubic units) असते, उदा. घसेमी (cm³), घमी (m³).
- 1 घसेमी (1 cm³) म्हणजे 1 सेमी बाजू असलेल्या घनाचे घनफळ.
- द्रवाचे घनफळ (Volume of Liquids):
- द्रवाचे आकारमान म्हणजे त्याचे घनफळ.
- द्रवाचे आकारमान मोजण्यासाठी 'मिलिलिटर' (ml) आणि 'लीटर' (L) ही एकके वापरतात.
- 1 लीटर = 1000 मिली
- 1 लीटर = 1000 घसेमी
- यावरून, 1 घसेमी = 1 मिली हे लक्षात ठेवा.
- म्हणजेच, 1 सेमी बाजू असलेल्या घनामध्ये 1 मिली पाणी मावते.
एकके योग्यरित्या रूपांतरित करणे हे गणिते सोडवताना खूप महत्त्वाचे आहे. उदा. लांबी मीटरमध्ये आणि रुंदी सेंटीमीटरमध्ये असल्यास, दोन्ही एकाच एककात (मीटर किंवा सेंटीमीटर) आणा.
आलेख कागदावर क्षेत्रफळ काढताना, अर्ध्यापेक्षा जास्त भरलेले चौरस पूर्ण मोजा आणि अर्ध्यापेक्षा कमी भरलेले चौरस सोडून द्या. हे अंदाजे क्षेत्रफळ असते.
इष्टिकाचिती आणि घनाचे घनफळ
इष्टिकाचिती (Cuboid) आणि घन (Cube) या त्रिमितीय आकारांचे घनफळ काढण्यासाठी विशिष्ट सूत्रे आहेत.
- इष्टिकाचिती (Cuboid):
- इष्टिकाचितीला लांबी (l), रुंदी (b) आणि उंची (h) असते.
- इष्टिकाचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची
- सूत्र: \(V = l \times b \times h\)
- उदाहरण: 3 सेमी लांब, 2 सेमी रुंद आणि 1 सेमी उंच इष्टिकाचितीचे घनफळ \(3 \times 2 \times 1 = 6\) घसेमी असेल.
- घन (Cube):
- घनाच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या असतात. जर बाजू 'l' असेल, तर लांबी = रुंदी = उंची = l.
- घनाचे घनफळ = बाजू × बाजू × बाजू
- सूत्र: \(V = l^3\)
- उदाहरण: 2 सेमी बाजू असलेल्या घनाचे घनफळ \(2 \times 2 \times 2 = 8\) घसेमी असेल.
घनफळाचे उपयोजन:
- एखाद्या वस्तूमध्ये किती द्रव मावेल हे काढण्यासाठी (उदा. पाण्याची टाकी).
- एका मोठ्या वस्तूमध्ये लहान आकाराच्या किती वस्तू मावतील हे काढण्यासाठी (उदा. गोदामात खोकी).
इष्टिकाचितीचे घनफळ: \(V = l \times b \times h\) घनाचे घनफळ: \(V = l^3\)
घनफळ काढताना वेगवेगळ्या एककांचा वापर करू नका. सर्व मापे एकाच एककात (उदा. सर्व सेमीमध्ये किंवा सर्व मीटरमध्ये) रूपांतरित करा.
वृत्तचितीचे पृष्ठफळ
वृत्तचिती (Cylinder) हे एक त्रिमितीय आकार आहे ज्याला दोन वर्तुळाकार तळ आणि एक वक्र पृष्ठभाग असतो.
- वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ (Curved Surface Area - CSA):
- वृत्तचितीच्या वक्र भागाचे क्षेत्रफळ.
- कल्पना करा की वृत्तचितीच्या वक्र भागावर एक आयताकार कागद गुंडाळला आहे. तो कागद उलगडल्यावर एक आयत तयार होतो.
- या आयताची लांबी = वृत्तचितीच्या तळाचा परीघ = \(2\pi r\)
- या आयताची रुंदी = वृत्तचितीची उंची = \(h\)
- म्हणून, वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ = आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी = \(2\pi r \times h\)
- सूत्र: \(CSA = 2\pi rh\)
- वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ (Total Surface Area - TSA):
- बंदिस्त वृत्तचितीला दोन वर्तुळाकार तळ (वरचा आणि खालचा) आणि एक वक्र पृष्ठभाग असतो.
- एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + वरच्या तळाचे क्षेत्रफळ + खालच्या तळाचे क्षेत्रफळ
- वरच्या तळाचे क्षेत्रफळ = वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = \(\pi r^2\)
- खालच्या तळाचे क्षेत्रफळ = वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = \(\pi r^2\)
- म्हणून, वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ = \(2\pi rh + \pi r^2 + \pi r^2 = 2\pi rh + 2\pi r^2\)
- सूत्र: \(TSA = 2\pi r (h + r)\)
महत्त्वाचे मुद्दे:
- जर वृत्तचिती एका बाजूने उघडी असेल (उदा. डबा), तर एकूण पृष्ठफळ काढताना फक्त एका तळाचे क्षेत्रफळ विचारात घ्यावे.
- उघड्या वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ = \(2\pi rh + \pi r^2\)
- '\(\pi\)' (पाय) ची किंमत सामान्यतः \(22/7\) किंवा \(3.14\) वापरली जाते, जी उदाहरणात दिलेली असेल ती वापरा.
वृत्तचितीचे वक्रपृष्ठफळ: \(CSA = 2\pi rh\) वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ: \(TSA = 2\pi r (h + r)\)
उदाहरणात 'झाकणासह' किंवा 'बंदिस्त' असे शब्द असल्यास एकूण पृष्ठफळ वापरा. 'वक्रपृष्ठफळ' असे स्पष्ट नमूद असल्यास तेच वापरा.
वृत्तचितीचे घनफळ
वृत्तचितीमध्ये किती जागा आहे किंवा किती द्रव मावेल हे काढण्यासाठी वृत्तचितीचे घनफळ काढले जाते.
- कोणत्याही चितीचे घनफळ (Volume of any Prism):
- कोणत्याही चितीचे घनफळ काढण्यासाठी एक सामान्य सूत्र आहे: तळाचे क्षेत्रफळ × उंची.
- वृत्तचितीचे घनफळ (Volume of a Cylinder):
- वृत्तचितीचा तळ वर्तुळाकार असतो.
- वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = \(\pi r^2\)
- वृत्तचितीची उंची = \(h\)
- म्हणून, वृत्तचितीचे घनफळ = तळाचे क्षेत्रफळ × उंची = \(\pi r^2 \times h\)
- सूत्र: \(V = \pi r^2 h\)
घनफळाचे उपयोजन:
- पाण्याच्या टाकीत किती पाणी मावेल हे काढणे.
- एका धातूच्या वृत्तचितीला वितळवून लहान वस्तू बनवल्यास, किती वस्तू बनतील हे काढणे (येथे घनफळ स्थिर राहते).
वृत्तचितीचे घनफळ: \(V = \pi r^2 h\)
जेव्हा एखादी वस्तू वितळवून दुसरी वस्तू बनवली जाते, तेव्हा दोन्ही वस्तूंचे घनफळ समान राहते. फक्त आकार बदलतो.
