संच

संच म्हणजे सुस्पष्टपणे परिभाषित केलेल्या वस्तूंचा समूह.

संच लिहिण्याच्या दोन मुख्य पद्धती आहेत:

• यादी पद्धत (Roster Method / Listing Method):
• या पद्धतीत संचातील सर्व घटक महिरपी कंसात ({ }) लिहितात.
• प्रत्येक घटकामध्ये स्वल्पविराम (कॉमा) देतात.
• घटकांचा क्रम महत्त्वाचा नसतो, परंतु प्रत्येक घटक एकदाच लिहायचा असतो.
• उदा. A = {1, 2, 3, 4, 5} (पहिली पाच नैसर्गिक संख्यांचा संच)

• गुणधर्म पद्धत (Set-Builder Form / Rule Method):
• या पद्धतीत संचातील घटकांचा सामाईक गुणधर्म महिरपी कंसात लिहितात.
• घटक 'x' या अक्षराने दर्शवतात आणि ' | ' किंवा ' : ' हे चिन्ह 'असा की' या अर्थाने वापरतात.
• उदा. B = {x | x ही 1 ते 10 मधील मूळ संख्या आहे.}
• याचा अर्थ: B हा अशा x चा संच आहे, जिथे x ही 1 ते 10 मधील मूळ संख्या आहे.
• यादी पद्धतीत: B = {2, 3, 5, 7}

महत्त्वाचे:

• संच नेहमी कॅपिटल अक्षरांनी (A, B, C...) दर्शवतात.
• संचातील घटक लहान अक्षरांनी (a, b, c...) किंवा संख्यांनी दर्शवतात.
• ∈ हे चिन्ह 'घटक आहे' (belongs to) दर्शवते.
• ∉ हे चिन्ह 'घटक नाही' (does not belong to) दर्शवते.

उदाहरणे: | गुणधर्म पद्धत | यादी पद्धत | |---|---| | A = { x | x हा DIVISION या शब्दातील अक्षर आहे.} | A = {D, I, V, S, O, N} | | B = { y | y ही संख्या अशी आहे की y² = 9} | B = {-3, 3} | | C = {z | z ही 5 च्या पटीतील 30 पेक्षा लहान नैसर्गिक संख्या आहे.} | C = {5, 10, 15, 20, 25} |

सराव: | यादी पद्धत | गुणधर्म पद्धत | |---|---| | A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} | A = {x | x ही 15 पेक्षा लहान सम नैसर्गिक संख्या आहे.} | | B = {1, 4, 9, 16} | B = {x | x ही 1 ते 20 मधील पूर्ण वर्गसंख्या आहे.} | | C = {a, e, i, o, u} | C = {x | x हा इंग्रजी वर्णमालेतील स्वर आहे.} | | D = {लाल, नारंगी, पिवळा, हिरवा, निळा, पारवा, जांभळा} | D = {y | y हा इंद्रधनुष्यातील रंग आहे.} | | P = {-2, -1, 0, 1, 2} | P = {x | x ही पूर्णांक संख्या अशी आहे की, -3 < x < 3} | | M = {1, 8, 27, 64, 125, ...} | M = {x | x हा धन पूर्णांकांचा घन आहे.} |

संचातील घटकांच्या संख्येनुसार संचांचे विविध प्रकार पडतात:

• एकघटक संच (Singleton Set):
• ज्या संचात फक्त एकच घटक असतो, त्याला एकघटक संच म्हणतात.
• उदा. A = {2} (A हा सम मूळ संख्यांचा संच आहे.)

• रिक्त संच (Null Set / Empty Set):
• ज्या संचात एकही घटक नसतो, त्याला रिक्त संच म्हणतात.
• हा संच { } किंवा ∅ (फाय) या चिन्हाने दाखवतात.
• उदा. B = {x | x ही 2 व 3 मधील नैसर्गिक संख्या आहे.} \( \Rightarrow \) B = { } किंवा ∅

• सांत संच (Finite Set):
• जो संच रिक्त असतो किंवा ज्या संचातील घटकांची संख्या मर्यादित असते व मोजता येते, त्याला सांत संच म्हणतात.
• उदा. C = {p | p ही 1 ते 22 मधील 4 ने विभाज्य संख्या आहे.} \( \Rightarrow \) C = {4, 8, 12, 16, 20}

• अनंत संच (Infinite Set):
• ज्या संचातील घटकांची संख्या अमर्याद असते व मोजता येत नाही, त्याला अनंत संच म्हणतात.
• उदा. N = {1, 2, 3, ...} (नैसर्गिक संख्यांचा संच)

लक्षात ठेवा:

• N, W, I, Q, R हे सर्व संख्या संच अनंत संच आहेत.

उदाहरणे (वर्गीकरण):

1. A = {x | x ∈ N आणि x ही विषम संख्या आहे.}

• A = {1, 3, 5, 7, ...}
• हा अनंत संच आहे, कारण विषम नैसर्गिक संख्या अमर्याद आहेत.

1. B = {x | x ∈ N आणि 3x - 1 = 0}

• 3x - 1 = 0 \( \Rightarrow \) 3x = 1 \( \Rightarrow \) x = \( \frac{1}{3} \)
• परंतु \( \frac{1}{3} \) ही नैसर्गिक संख्या नाही (\( \frac{1}{3} \) ∉ N).
• म्हणून, B = { }
• हा रिक्त संच आहे, आणि म्हणून सांत संच आहे.

1. C = {x | x ∈ N आणि x ही 7 ने विभाज्य संख्या आहे.}

• C = {7, 14, 21, ...}
• हा अनंत संच आहे, कारण 7 ने विभाज्य नैसर्गिक संख्या अमर्याद आहेत.

1. D = {(a, b) | a, b ∈ W, a + b = 9}

• D = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)}
• घटकांच्या जोड्या मोजता येतात व निश्चित आहेत.
• हा सांत संच आहे.

1. E = {x | x ∈ I, x² = 100}

• x² = 100 \( \Rightarrow \) x = ±10
• E = {-10, 10}
• हा सांत संच आहे.

1. F = {(a, b) | a, b ∈ Q, a + b = 11}

• F = {(6, 5), (3, 8), (3.5, 7.5), (-15, 26), ...}
• अशा असंख्य परिमेय संख्यांच्या जोड्या मिळतात.
• हा अनंत संच आहे.

दोन संच A आणि B हे समान असतात, जर:

• संच A मधील प्रत्येक घटक संच B मध्ये असेल.
• आणि संच B मधील प्रत्येक घटक संच A मध्ये असेल.
• समान संच A = B असे लिहितात.

उदाहरणे:

1. A = {x | x हे ‘listen’ या शब्दातील अक्षर आहे.}

• A = {l, i, s, t, e, n}

B = {y | y हे ‘silent’ या शब्दातील अक्षर आहे.}

• B = {s, i, l, e, n, t}
• A आणि B यांतील घटकांचा क्रम वेगळा असला तरी, घटक तेच आहेत. म्हणून, A = B.

1. A = {x | x = 2n, n ∈ N, 0 < x ≤ 10}

• A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {y | y ही समसंख्या आहे, 1 ≤ y ≤ 10}

• B = {2, 4, 6, 8, 10}
• A व B हे समान संच आहेत. म्हणून, A = B.

1. C = {1, 3, 5, 7}

D = {2, 3, 5, 7}

• येथे 1 ∈ C पण 1 ∉ D. तसेच 2 ∈ D पण 2 ∉ C.
• म्हणून, C व D हे समान संच नाहीत. C ≠ D.

1. A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

• येथे 4 ∈ B पण 4 ∉ A.
• म्हणून, A व B हे समान संच नाहीत. A ≠ B.

1. A = {x | x ही मूळ संख्या व 10 < x < 20}

• A = {11, 13, 17, 19}

B = {11, 13, 17, 19}

• येथे A आणि B मधील घटक समान आहेत. म्हणून, A = B.

ब्रिटिश तर्कशास्त्रज्ञ जॉन वेन यांनी संच दर्शवण्यासाठी बंदिस्त आकृत्यांचा वापर केला. या आकृत्यांना वेन आकृत्या म्हणतात.

• वेन आकृत्या संचांमधील संबंध समजून घेण्यासाठी आणि संचांवर आधारित उदाहरणे सोडवण्यासाठी खूप उपयुक्त आहेत.
• विश्वसंच (Universal Set) सामान्यतः आयताने (Rectangle) दर्शवतात.
• इतर संच (उदा. उपसंच) सामान्यतः वर्तुळाने किंवा अंडाकृतीने (Circles or Ovals) दर्शवतात.

उदाहरणे:

• A = {1, 2, 3, 4, 5}
• [IMAGE: TODO: Set A = {1, 2, 3, 4, 5} in a Venn diagram]
• या आकृतीत, एका वर्तुळात 1, 2, 3, 4, 5 हे घटक दर्शवले आहेत.

• B = {x | -10 ≤ x ≤ 0, x पूर्णांक}
• B = {0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10}
• [IMAGE: TODO: Set B = {0, -1, ..., -10} in a Venn diagram]
• या आकृतीत, एका वर्तुळात B संचाचे सर्व घटक दर्शवले आहेत.

जर दोन संच A आणि B असतील आणि संच B चा प्रत्येक घटक संच A चा देखील घटक असेल, तर संच B ला संच A चा उपसंच म्हणतात.

• उपसंच B ⊆ A अशा चिन्हाने दाखवतात.
• याचे वाचन 'B उपसंच A' किंवा 'B हा A चा उपसंच आहे' असे करतात.

उदाहरणे:

1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {2, 4, 6, 8}

• B मधील प्रत्येक घटक A चा देखील घटक आहे. म्हणून, B ⊆ A.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing B as a subset of A]

1. N = नैसर्गिक संख्या संच

I = पूर्णांक संख्या संच

• आपल्याला माहीत आहे की सर्व नैसर्गिक संख्या या पूर्णांक संख्या सुद्धा असतात.
• म्हणून, N ⊆ I.

1. P = {x | x हे 25 चे वर्गमूळ आहे.}

• P = {-5, 5}

S = {y | y ∈ I, -5 ≤ y ≤ 5}

• S = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
• येथे P चा प्रत्येक घटक S चा घटक आहे. म्हणून, P ⊆ S.

उपसंचाचे गुणधर्म:

• प्रत्येक संच स्वतःचा उपसंच असतो. (A ⊆ A)
• रिक्त संच (∅) हा प्रत्येक संचाचा उपसंच असतो. (∅ ⊆ A)
• जर A = B असेल, तर A ⊆ B आणि B ⊆ A.
• जर A ⊆ B आणि B ⊆ A असेल, तर A = B.

उपसंच तयार करणे:

• जर A = {1, 3, 4, 7, 8} असेल, तर त्याचे काही उपसंच:
• P = {1, 3}
• T = {4, 7, 8}
• V = {1, 4, 8}
• S = {1, 4, 7, 8}
• {1} (एकघटक संच)
• { } (रिक्त संच)
• {1, 3, 4, 7, 8} (स्वतः संच A)
• असे अनेक उपसंच तयार करता येतात.

आपण ज्या संचांचा विचार करत आहोत, त्या सर्वांना सामावून घेणारा एक मोठा संच विश्वसंच म्हणून घेता येतो.

• विश्वसंच सामान्यतः U या अक्षराने दर्शवतात.
• वेन आकृतीमध्ये विश्वसंच सामान्यतः आयताने (Rectangle) दाखवतात.
• विचारात घेतलेला प्रत्येक संच हा विश्वसंचाचा उपसंच असतो.

उदाहरणे:

1. शाळेतील विद्यार्थ्यांच्या अनुपस्थितीचा अभ्यास:

• जर आपल्याला 9 वीच्या काही विद्यार्थ्यांच्या अनुपस्थितीचा अभ्यास करायचा असेल, तर 9 वीच्या इयत्तेतील सर्व विद्यार्थ्यांचा संच किंवा शाळेतील सर्व विद्यार्थ्यांचा संच हा विश्वसंच (U) म्हणून घेता येईल.

1. क्रिकेट संघ निवडणे:

• जर आपल्याला शाळेतील क्रिकेट खेळणाऱ्या मुलांमधून 15 मुलांचा संघ निवडायचा असेल, तर शाळेतील क्रिकेट खेळणाऱ्या सर्व खेळाडूंचा संच हा विश्वसंच (U) होऊ शकतो.
• निवडलेला 15 खेळाडूंचा संघ हा त्या विश्वसंचाचा उपसंच (Subset) असेल.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing cricket team as subset of all cricket players in school]

समजा U हा विश्वसंच आहे आणि B हा U चा उपसंच आहे (B ⊆ U).

• संच B मध्ये नसलेले, परंतु विश्वसंच U मध्ये असलेले घटक, यांच्या संचाला संच B चा पूरक संच म्हणतात.
• संच B चा पूरक संच B' किंवा Bᶜ ने दर्शवतात.
• गुणधर्म पद्धतीत: B' = {x | x ∈ U आणि x ∉ B}

उदाहरणे:

1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {2, 4, 6, 8, 10}

• A' = {1, 3, 5, 7, 9}
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing A and A' within U]

1. U = {1, 3, 9, 11, 13, 18, 19}

B = {3, 9, 11, 13}

• B' = {1, 18, 19}
• आता (B')' काढूया:
• (B')' म्हणजे B' मध्ये नसलेले, परंतु U मध्ये असलेले घटक.
• (B')' = {3, 9, 11, 13}
• आपल्याला दिसते की (B')' = B.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing B and B' within U]

पूरक संचाचे गुणधर्म:

• A आणि A' यांच्यामध्ये सामाईक घटक नसतो. (A ∩ A' = ∅)
• A ⊆ U आणि A' ⊆ U. (A आणि A' दोन्ही विश्वसंचाचे उपसंच असतात.)
• विश्वसंचाचा पूरक संच हा रिक्त संच असतो. (U' = ∅)
• रिक्तसंचाचा पूरक संच हा विश्वसंच असतो. (∅' = U)
• (A')' = A (पूरक संचाचा पूरक संच हा मूळ संच असतो.)

दोन संच A आणि B यांच्यातील सामाईक घटकांच्या संचाला A आणि B या संचांचा छेदसंच म्हणतात.

• तो A ∩ B असा लिहितात आणि त्याचे वाचन 'A छेद B' असे करतात.
• गुणधर्म पद्धतीत: A ∩ B = {x | x ∈ A आणि x ∈ B}

उदाहरणे:

1. A = {1, 3, 5, 7}

B = {2, 3, 6, 8}

• A आणि B या दोन्ही संचांतील 3 हा सामाईक घटक आहे.
• म्हणून, A ∩ B = {3}.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing intersection of A and B with common element 3]

1. A = {1, 3, 9, 11, 13}

B = {1, 9, 11}

• संच A व संच B मध्ये 1, 9, 11 हे सामाईक घटक आहेत.
• म्हणून, A ∩ B = {1, 9, 11}.
• येथे B हा A चा उपसंच आहे (B ⊆ A). अशा स्थितीत, A ∩ B = B.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing B as subset of A, intersection is B]

छेदसंचाचे गुणधर्म:

• क्रमनिरपेक्षता (Commutative Property): A ∩ B = B ∩ A
• जर A ⊆ B असेल, तर A ∩ B = A.
• जर A ∩ B = B असेल, तर B ⊆ A.
• A ∩ B ⊆ A आणि A ∩ B ⊆ B. (छेदसंच दोन्ही मूळ संचांचा उपसंच असतो.)
• A ∩ A' = ∅. (संच आणि त्याचा पूरक संच यांचा छेद रिक्त संच असतो.)
• A ∩ A = A. (एखाद्या संचाचा स्वतःशी छेद तोच संच असतो.)
• A ∩ ∅ = ∅. (एखाद्या संचाचा रिक्त संचाशी छेद रिक्त संच असतो.)

जर दोन संच A आणि B यांच्यामध्ये एकही सामाईक घटक नसेल, म्हणजेच त्यांचा छेदसंच रिक्त असेल (A ∩ B = ∅), तर त्या संचांना विभिन्न संच किंवा विभक्त संच म्हणतात.

• वेन आकृतीमध्ये विभिन्न संच एकमेकांना छेदत नाहीत, ते स्वतंत्रपणे दर्शवले जातात.

उदाहरणे:

1. A = {1, 3, 5, 9}

B = {2, 4, 8}

• या संचांमध्ये एकही सामाईक घटक नाही.
• A ∩ B = ∅
• म्हणून, A आणि B हे विभिन्न संच आहेत.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing two disjoint sets A and B]

1. LAUGH या शब्दातील अक्षरांचा संच = {L, A, U, G, H}

CRY या शब्दातील अक्षरांचा संच = {C, R, Y}

• या दोन्ही संचांमध्ये एकही सामाईक अक्षर नाही.
• म्हणून, हे विभिन्न संच आहेत.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing disjoint sets for letters in LAUGH and CRY]

दोन संच A आणि B यांच्यातील सर्व घटकांनी मिळून होणाऱ्या संचाला A आणि B या संचांचा संयोग संच म्हणतात.

• तो A ∪ B असा लिहितात आणि 'A संयोग B' असे वाचतात.
• गुणधर्म पद्धतीत: A ∪ B = {x | x ∈ A किंवा x ∈ B}
• याचा अर्थ, x हा A मध्ये असेल किंवा B मध्ये असेल किंवा दोन्हीमध्ये असेल.

उदाहरणे:

1. A = {-1, -3, -5, 0}

B = {0, 3, 5}

• A ∪ B = {-3, -5, 0, -1, 3, 5}
• लक्षात घ्या, 0 हा दोन्ही संचांमध्ये आहे, पण तो संयोग संचात एकदाच लिहिला जातो.

1. वेन आकृतीवरून संच काढणे:

• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing U, A, B, A∪B, A∩B, A', B', (A∪B)', (A∩B)' with numbers]
• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
• A = {2, 4, 6, 8, 10}
• B = {1, 3, 5, 7, 8, 10}
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
• A ∩ B = {8, 10}
• A' = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12}
• B' = {2, 4, 6, 9, 11, 12}
• (A ∪ B)' = {9, 11, 12}
• (A ∩ B)' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12}

1. A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3}

• येथे B हा A चा उपसंच आहे (B ⊆ A).
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
• या स्थितीत, A ∪ B = A.
• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing B as subset of A, union is A]

संयोग संचाचे गुणधर्म:

• क्रमनिरपेक्षता (Commutative Property): A ∪ B = B ∪ A
• जर A ⊆ B असेल, तर A ∪ B = B. (मोठा संच हा संयोग संच असतो.)
• A ⊆ A ∪ B आणि B ⊆ A ∪ B. (मूळ संच हे संयोग संचाचे उपसंच असतात.)
• A ∪ A' = U. (संच आणि त्याचा पूरक संच यांचा संयोग विश्वसंच असतो.)
• A ∪ A = A. (एखाद्या संचाचा स्वतःशी संयोग तोच संच असतो.)
• A ∪ ∅ = A. (एखाद्या संचाचा रिक्त संचाशी संयोग तोच संच असतो.)

एखाद्या संचातील घटकांची संख्या n(A) या चिन्हाने दर्शवतात.

उदाहरण:

• A = {3, 6, 9, 12, 15} \( \Rightarrow \) n(A) = 5
• B = {6, 12, 18, 24, 30, 36} \( \Rightarrow \) n(B) = 6

संयोग संच आणि छेद संच यांतील घटकांची संख्या:

• आपल्याला माहीत आहे की, A ∪ B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 30, 36}
• म्हणून, n(A ∪ B) = 9
• A ∩ B = {6, 12}
• म्हणून, n(A ∩ B) = 2

महत्त्वाचे सूत्र: जेव्हा आपण n(A) + n(B) करतो, तेव्हा A ∩ B मधील घटक दोनदा मोजले जातात (एकदा A मध्ये आणि एकदा B मध्ये). म्हणून, ते एकदा वजा करावे लागतात.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

वरील उदाहरणासाठी पडताळा:

• n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 5 + 6 - 2 = 11 - 2 = 9
• आणि n(A ∪ B) = 9
• म्हणून, 9 = 9, सूत्र बरोबर आहे.

वेन आकृतीवरून पडताळा:

• [IMAGE: TODO: Venn diagram showing n(A), n(B), n(A∩B), n(A∪B) for verification]
• या आकृतीमध्ये, A मधील घटक, B मधील घटक आणि सामाईक घटक स्पष्ट दिसतात.
• n(A) = (फक्त A मधील घटक) + n(A ∩ B)
• n(B) = (फक्त B मधील घटक) + n(A ∩ B)
• n(A ∪ B) = (फक्त A मधील घटक) + (फक्त B मधील घटक) + n(A ∩ B)
• यावरूनही सूत्र सिद्ध होते.

सूत्राचे दुसरे रूप: n(A) + n(B) = n(A ∪ B) + n(A ∩ B)