गुणोततर व प्रमाण

गुणोत्तर म्हणजे दोन समान राशींची तुलना भागाकाराने करणे. जर \(a\) आणि \(b\) या दोन राशी असतील, तर त्यांचे गुणोत्तर \(a:b\) किंवा \(\frac{a}{b}\) असे दर्शवले जाते. येथे \(b \neq 0\) असणे आवश्यक आहे.

• गुणोत्तराची मूलभूत संकल्पना:
• दोन राशींचे गुणोत्तर काढताना, त्या राशींची एकके समान असावीत. उदा. 500 ग्रॅम आणि 2 किलोग्रॅम यांचे गुणोत्तर काढताना, दोन्ही राशी किलोग्रॅममध्ये (0.5 किलोग्रॅम आणि 2 किलोग्रॅम) किंवा ग्रॅममध्ये (500 ग्रॅम आणि 2000 ग्रॅम) रूपांतरित कराव्या लागतील.
• गुणोत्तराला एकक नसते. कारण ते दोन समान एककांच्या भागाकाराने मिळते.
• गुणोत्तर हे नेहमी अंश आणि छेद स्वरूपात किंवा \(a:b\) स्वरूपात दर्शवले जाते.

• तीन किंवा अधिक राशींचे गुणोत्तर:
• जर \(a, b, c\) या तीन राशी असतील, तर त्यांचे प्रमाण \(a:b:c\) असे दर्शवले जाते.
• याचा अर्थ \(a:b\) आणि \(b:c\) ही गुणोत्तरे एकत्र दर्शवली जातात.
• उदा. तूप, रवा आणि साखर यांचे प्रमाण \(1:3:2\) असेल, तर याचा अर्थ तूप \(1k\), रवा \(3k\) आणि साखर \(2k\) आहे, जिथे \(k\) हा कोणताही शून्य नसलेला स्थिरांक आहे.
• या \(k\) ला सामान्य गुणक (Common Multiple) म्हणतात.

• उदाहरणे:
• एका वर्गात 20 मुले आणि 15 मुली आहेत. मुले आणि मुलींचे गुणोत्तर \(20:15 = 4:3\) आहे.
• एका खतामध्ये नायट्रोजन, फॉस्फरस आणि पोटॅशियमचे प्रमाण \(18:18:10\) आहे. जर खताचे एकूण वजन 20 किलोग्रॅम असेल, तर प्रत्येक घटकाचे वजन काढण्यासाठी:
• एकूण प्रमाण भाग = \(18+18+10 = 46\)
• नायट्रोजनचे प्रमाण = \(\frac{18}{46} \times 20\) किलोग्रॅम
• फॉस्फरसचे प्रमाण = \(\frac{18}{46} \times 20\) किलोग्रॅम
• पोटॅशियमचे प्रमाण = \(\frac{10}{46} \times 20\) किलोग्रॅम

• प्रमाण (Proportion): जेव्हा दोन गुणोत्तरे समान असतात, तेव्हा त्या चार राशी प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर \(a, b, c, d\) या प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. याला \(a:b::c:d\) असेही लिहितात.
• येथे \(a\) आणि \(d\) यांना बाह्य पदे (Extremes) म्हणतात.
• \(b\) आणि \(c\) यांना मध्य पदे (Means) म्हणतात.
• प्रमाणाचा मूलभूत नियम: बाह्य पदांचा गुणाकार = मध्य पदांचा गुणाकार (i.e., \(ad = bc\)).

गुणोत्तराचे काही महत्त्वाचे गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेत:

1. व्यस्त गुणोत्तर (Inverse Ratio): जर \(a:b\) हे एक गुणोत्तर असेल, तर त्याचे व्यस्त गुणोत्तर \(b:a\) असते. उदा. \(3:5\) चे व्यस्त गुणोत्तर \(5:3\) आहे.

1. एकक समान असणे: गुणोत्तर काढताना दोन्ही राशींची एकके समान असणे आवश्यक आहे. जर एकके भिन्न असतील, तर त्यांना समान एककात रूपांतरित करावे लागते.

1. एकक नसणे: गुणोत्तराला कोणतेही एकक नसते, कारण ते दोन समान एककांच्या भागाकाराने मिळते.

1. लघुत्तम रूप (Simplest Form): गुणोत्तर नेहमी त्याच्या लघुत्तम रूपात दर्शवले जाते. उदा. \(10:15\) ऐवजी \(2:3\).

1. गुणाकार आणि भागाकार: गुणोत्तराच्या दोन्ही पदांना (अंश आणि छेद) एकाच शून्य नसलेल्या संख्येने गुणल्यास किंवा भागल्यास गुणोत्तराची किंमत बदलत नाही. \(\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk}\) आणि \(\frac{a}{b} = \frac{a/k}{b/k}\) जिथे \(k \neq 0\).

1. तुलना (Comparison): दोन गुणोत्तरांची तुलना करण्यासाठी, त्यांचे छेद समान करून अंश तपासले जातात किंवा दशांश अपूर्णांकात रूपांतरित केले जाते. उदा. \(\frac{2}{3}\) आणि \(\frac{3}{4}\) यांची तुलना करण्यासाठी, \(\frac{8}{12}\) आणि \(\frac{9}{12}\) असे करून \(\frac{3}{4} > \frac{2}{3}\) असे मिळते.

1. वर्ग गुणोत्तर (Duplicate Ratio): \(a:b\) चे वर्ग गुणोत्तर \(a^2:b^2\) असते. उदा. \(2:3\) चे वर्ग गुणोत्तर \(4:9\).

1. वर्गमूळ गुणोत्तर (Sub-duplicate Ratio): \(a:b\) चे वर्गमूळ गुणोत्तर \(\sqrt{a}:\sqrt{b}\) असते. उदा. \(9:16\) चे वर्गमूळ गुणोत्तर \(3:4\).

1. घन गुणोत्तर (Triplicate Ratio): \(a:b\) चे घन गुणोत्तर \(a^3:b^3\) असते. उदा. \(2:3\) चे घन गुणोत्तर \(8:27\).

1. घनमूळ गुणोत्तर (Sub-triplicate Ratio): \(a:b\) चे घनमूळ गुणोत्तर \(\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}\) असते. उदा. \(8:27\) चे घनमूळ गुणोत्तर \(2:3\).

जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर खालील क्रिया सत्य असतात:

1. व्यस्त क्रिया (Invertendo):

• जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\).
• म्हणजे, गुणोत्तराचे व्यस्त घेतल्यास समानता कायम राहते.
• उदाहरण: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) तर \(\frac{3}{2} = \frac{6}{4}\).

1. एकांतर क्रिया (Alternendo):

• जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).
• म्हणजे, मध्य पदे अदलाबदल केल्यास समानता कायम राहते.
• उदाहरण: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) तर \(\frac{2}{4} = \frac{3}{6}\).

1. योग क्रिया (Componendo):

• जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\).
• म्हणजे, अंशात छेद मिळवून छेद तसाच ठेवल्यास समानता कायम राहते.
• उदाहरण: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) तर \(\frac{2+3}{3} = \frac{4+6}{6}\) म्हणजेच \(\frac{5}{3} = \frac{10}{6}\).

1. वियोग क्रिया (Dividendo):

• जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर \(\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}\).
• म्हणजे, अंशातून छेद वजा करून छेद तसाच ठेवल्यास समानता कायम राहते.
• उदाहरण: \(\frac{5}{3} = \frac{10}{6}\) तर \(\frac{5-3}{3} = \frac{10-6}{6}\) म्हणजेच \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\).

1. योग-वियोग क्रिया (Componendo-Dividendo):

• जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\).
• ही क्रिया योग क्रिया आणि वियोग क्रिया यांचा एकत्रित वापर आहे.
• उदाहरण: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) तर \(\frac{2+3}{2-3} = \frac{4+6}{4-6}\) म्हणजेच \(\frac{5}{-1} = \frac{10}{-2}\) म्हणजेच \(-5 = -5\).

या क्रियांचा वापर करून बीजगणितीय समीकरणांमध्ये गुणोत्तरांचे प्रश्न सोडवणे सोपे होते.

हा सिद्धांत गणितातील अनेक क्लिष्ट गुणोत्तर प्रश्न सोडवण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त आहे.

• सिद्धांत: जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (आणि \(b, d \neq 0\)) असेल, तर प्रत्येक गुणोत्तर \(\frac{a+c}{b+d}\) याच्या समान असते. म्हणजेच, \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}\).

• व्यापक रूप (Generalization): जर \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = ... = \frac{a_n}{b_n}\) आणि \(b_1+b_2+...+b_n \neq 0\) असेल, तर प्रत्येक गुणोत्तर \(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}\) याच्या समान असते.

• k-पद्धती (k-Method):
• जेव्हा आपल्याला \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असे दिलेले असते, तेव्हा आपण \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) असे मानू शकतो, जिथे \(k\) हा एक स्थिरांक आहे.
• यावरून आपल्याला \(a = bk\) आणि \(c = dk\) असे मिळते.
• या किमती मूळ समीकरणात किंवा सिद्ध करावयाच्या समीकरणात घालून प्रश्न सोडवणे सोपे होते.
• उदाहरण: जर \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) असेल, तर सिद्ध करा की \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2} = \frac{ac}{bd}\).
• \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) मानू.
• म्हणून \(a=bk\) आणि \(c=dk\).
• डावी बाजू (LHS): \(\frac{(bk)^2+(dk)^2}{b^2+d^2} = \frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2} = \frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2} = k^2\).
• उजवी बाजू (RHS): \(\frac{(bk)(dk)}{bd} = \frac{bdk^2}{bd} = k^2\).
• LHS = RHS, म्हणून सिद्ध झाले.

• महत्त्व: ही पद्धत अनेक स्पर्धा परीक्षांमध्ये आणि बोर्ड परीक्षांमध्ये गुणोत्तर आणि प्रमाणावरील क्लिष्ट प्रश्न सोडवण्यासाठी वापरली जाते. विशेषतः जेव्हा अनेक गुणोत्तरे समान दिलेली असतात आणि आपल्याला काही बीजगणितीय संबंध सिद्ध करायचे असतात, तेव्हा ही पद्धत अत्यंत प्रभावी ठरते.

तीन राशी \(a, b, c\) परंपरित प्रमाणात आहेत असे म्हणतात, जर \(a:b = b:c\) असेल. याचा अर्थ \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\).

• मध्य प्रमाणपद (Mean Proportional):
• जर \(a, b, c\) परंपरित प्रमाणात असतील, तर \(b\) ला \(a\) आणि \(c\) चे मध्य प्रमाणपद म्हणतात.
• \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\) यावरून \(b^2 = ac\) मिळते. म्हणून \(b = \pm\sqrt{ac}\).
• सामान्यतः, जेव्हा राशी धन असतात, तेव्हा \(b = \sqrt{ac}\) हे मध्य प्रमाणपद असते.

• तिसरे प्रमाणपद (Third Proportional):
• जर \(a, b, c\) परंपरित प्रमाणात असतील, तर \(c\) ला \(a\) आणि \(b\) चे तिसरे प्रमाणपद म्हणतात.
• \(c = \frac{b^2}{a}\).

• उदाहरण: 4 आणि 9 चे मध्य प्रमाणपद काढा.
• येथे \(a=4, c=9\).
• मध्य प्रमाणपद \(b = \sqrt{ac} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6\).
• म्हणजे 4, 6, 9 या परंपरित प्रमाणात आहेत (\(4:6 = 2:3\) आणि \(6:9 = 2:3\)).

• चार किंवा अधिक राशी परंपरित प्रमाणात:
• जर \(a, b, c, d\) या चार राशी परंपरित प्रमाणात असतील, तर \(a:b = b:c = c:d\) असे असते.
• याचा अर्थ \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k\) (k-पद्धतीचा वापर).
• यावरून \(c = dk\), \(b = ck = (dk)k = dk^2\), \(a = bk = (dk^2)k = dk^3\) असे मिळते.
• या किमती वापरून अनेक प्रश्न सोडवता येतात.

दोन राशींमध्ये संबंध दर्शवण्यासाठी समप्रमाण आणि व्यस्त प्रमाण या संकल्पना वापरल्या जातात.

• समप्रमाण (Direct Proportion):
• जर दोन राशी \(x\) आणि \(y\) अशा असतील की, \(x\) वाढल्यास \(y\) सुद्धा वाढते आणि \(x\) कमी झाल्यास \(y\) सुद्धा कमी होते, तर त्या राशी समप्रमाणात आहेत असे म्हणतात.
• याला \(x \propto y\) असे दर्शवतात.
• गणितीय स्वरूपात, \(\frac{x}{y} = k\) किंवा \(x = ky\), जिथे \(k\) हा स्थिरांक आहे. या \(k\) ला चलनाचा स्थिरांक (Constant of Variation) म्हणतात.
• उदाहरण: पेट्रोलची किंमत आणि खरेदी केलेले पेट्रोलचे प्रमाण. जास्त पेट्रोल खरेदी केल्यास जास्त पैसे लागतील. गाडीने कापलेले अंतर आणि वापरलेले पेट्रोल. जास्त अंतर कापल्यास जास्त पेट्रोल लागेल.

• व्यस्त प्रमाण (Inverse Proportion):
• जर दोन राशी \(x\) आणि \(y\) अशा असतील की, \(x\) वाढल्यास \(y\) कमी होते आणि \(x\) कमी झाल्यास \(y\) वाढते, तर त्या राशी व्यस्त प्रमाणात आहेत असे म्हणतात.
• याला \(x \propto \frac{1}{y}\) असे दर्शवतात.
• गणितीय स्वरूपात, \(xy = k\) किंवा \(x = \frac{k}{y}\), जिथे \(k\) हा स्थिरांक आहे.
• उदाहरण: कामगारांची संख्या आणि काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारा वेळ. जास्त कामगार असल्यास काम लवकर पूर्ण होते (वेळ कमी लागतो). गाडीचा वेग आणि प्रवासासाठी लागणारा वेळ. वेग जास्त असल्यास वेळ कमी लागतो.

• संयुक्त प्रमाण (Joint Proportion):
• जेव्हा एक राशी दोन किंवा अधिक राशींच्या समप्रमाणात किंवा व्यस्त प्रमाणात असते, तेव्हा त्याला संयुक्त प्रमाण म्हणतात.
• उदा. \(x \propto yz\) किंवा \(x \propto \frac{y}{z}\).
• गणितीय स्वरूपात, \(x = kyz\) किंवा \(x = k\frac{y}{z}\).

या संकल्पनांचा वापर करून दैनंदिन जीवनातील अनेक समस्या सोडवता येतात.