दोन चलांतील रेषीय समीकरणे

दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणजे काय?

• ज्या समीकरणात दोन चले वापरली जातात आणि प्रत्येक चलाचा घातांक फक्त 1 असतो, तसेच दोनही चले एकाच वेळी शून्य नसतात, त्या समीकरणाला दोन चलांतील रेषीय समीकरण म्हणतात.
• सामान्य रूप: \(ax + by + c = 0\) किंवा \(ax + by = c\)
• येथे, \(x\) आणि \(y\) ही चले आहेत.
• \(a, b, c\) या वास्तव संख्या आहेत.
• \(a\) आणि \(b\) हे एकाच वेळी शून्य नसतात (म्हणजे \(a \neq 0\) किंवा \(b \neq 0\) किंवा दोन्ही \( \neq 0\)).

उदाहरणे:

• \(x + y = 14\)
• \(x - y = 2\)
• \(2m + 3n = 5\)
• \(5p - q = 10\)

समीकरणाची उकल (Solution):

• ज्या \(x\) आणि \(y\) च्या किमती समीकरणात ठेवल्यास समीकरणाचे समाधान होते, त्या किमतींना त्या समीकरणाची उकल म्हणतात.
• उकल नेहमी क्रमित जोडी (ordered pair) \((x, y)\) च्या रूपात लिहिली जाते.
• महत्वाचे: दोन चलांतील एका रेषीय समीकरणाला अनंत उकली असतात.

उदाहरण: \(x + y = 14\) या समीकरणाच्या काही उकली:

• \((9, 5)\) कारण \(9 + 5 = 14\)
• \((7, 7)\) कारण \(7 + 7 = 14\)
• \((8, 6)\) कारण \(8 + 6 = 14\)
• \((10, 4)\) कारण \(10 + 4 = 14\)
• \((-1, 15)\) कारण \(-1 + 15 = 14\)

एकसामयिक समीकरणे (Simultaneous Equations):

• जेव्हा दोन चलांतील दोन रेषीय समीकरणांचा एकाच वेळी विचार करतो, तेव्हा त्या समीकरणांना एकसामयिक समीकरणे म्हणतात.
• या समीकरणांची सामाईक उकल (common solution) म्हणजे \(x\) आणि \(y\) च्या अशा किमती, ज्या दोन्ही समीकरणांचे एकाच वेळी समाधान करतात.
• एकसामयिक समीकरणांना एकच, अद्वितीय उकल असते (काही विशिष्ट अपवादात्मक परिस्थिती वगळता).

उदाहरण:

• \(x + y = 14\) (समीकरण I)
• \(x - y = 2\) (समीकरण II)

या दोन्ही समीकरणांची सामाईक उकल \((8, 6)\) आहे कारण:

• समीकरण I मध्ये: \(8 + 6 = 14\) (सत्य)
• समीकरण II मध्ये: \(8 - 6 = 2\) (सत्य)

टीप: \((9, 5)\) ही समीकरण I ची उकल आहे, पण समीकरण II ची नाही (कारण \(9 - 5 = 4 \neq 2\)). त्यामुळे \((9, 5)\) ही सामाईक उकल नाही.

चलाचा लोप करून एकसामयिक समीकरणे सोडवण्याची पद्धत:

• या पद्धतीत, दोन समीकरणांपैकी एका चलाचा सहगुणक (coefficient) समान करून तो लोप केला जातो.
• यामुळे आपल्याला एका चलातील रेषीय समीकरण मिळते, जे सोडवणे सोपे असते.

पायऱ्या:

1. समीकरणे व्यवस्थित लिहा: दोन्ही समीकरणे \(ax + by = c\) या स्वरूपात लिहा.
2. लोप करावयाचे चल निवडा: \(x\) किंवा \(y\) यापैकी कोणत्या चलाचा लोप करायचा हे ठरवा.
3. सहगुणक समान करा: निवडलेल्या चलाचे सहगुणक दोन्ही समीकरणांमध्ये समान करा. यासाठी योग्य संख्येने समीकरणांना गुणावे लागते.

• जर समान सहगुणकांचे चिन्ह विरुद्ध असतील, तर समीकरणांची बेरीज करा.
• जर समान सहगुणकांचे चिन्ह समान असतील, तर समीकरणांची वजाबाकी करा.

1. एका चलाची किंमत काढा: बेरीज किंवा वजाबाकी केल्यावर एका चलाचा लोप होतो आणि आपल्याला एका चलातील समीकरण मिळते. ते सोडवून त्या चलाची किंमत काढा.
2. दुसऱ्या चलाची किंमत काढा: मिळालेली किंमत मूळ समीकरणांपैकी कोणत्याही एका समीकरणात ठेवून दुसऱ्या चलाची किंमत काढा.
3. उकल लिहा: मिळालेली \(x\) आणि \(y\) ची किंमत क्रमित जोडी \((x, y)\) च्या रूपात लिहा.
4. पडताळा (Optional पण महत्वाचे): मिळालेली उकल दोन्ही मूळ समीकरणांमध्ये ठेवून समाधान होते का, हे तपासा.

उदाहरण 1: (सहगुणक आधीच समान)

• समीकरण I: \(x + y = 14\)
• समीकरण II: \(x - y = 2\)

येथे \(y\) चे सहगुणक \(+1\) आणि \(-1\) आहेत, जे विरुद्ध चिन्हांसह समान आहेत. म्हणून बेरीज करू.

उदाहरण 2: (सहगुणक समान करावे लागतील)

• समीकरण I: \(3x + y = 5\)
• समीकरण II: \(2x + 3y = 1\)

येथे \(y\) चा लोप करण्यासाठी समीकरण I ला \(3\) ने गुणू, जेणेकरून \(y\) चा सहगुणक \(3y\) होईल.

• समीकरण I \( \times 3 \Rightarrow 9x + 3y = 15\) (समीकरण III)
• समीकरण II: \(2x + 3y = 1\)

आता \(y\) चे सहगुणक समान आणि समान चिन्हाचे आहेत, म्हणून समीकरण III मधून समीकरण II वजा करू.

एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात ठेवून चलाचा लोप करण्याची पद्धत:

• या पद्धतीत, एका समीकरणातून एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात काढली जाते आणि ती किंमत दुसऱ्या समीकरणात ठेवली जाते.
• यामुळे आपल्याला एका चलातील रेषीय समीकरण मिळते.

पायऱ्या:

1. एक समीकरण निवडा: दोन्ही समीकरणांपैकी एक समीकरण निवडा.
2. एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात काढा: निवडलेल्या समीकरणातून \(x\) ची किंमत \(y\) च्या रूपात (उदा. \(x = ...y...\)) किंवा \(y\) ची किंमत \(x\) च्या रूपात (उदा. \(y = ...x...\)) काढा. ज्या चलाची किंमत काढणे सोपे असेल ते निवडा.
3. किंमत प्रतिस्थापित करा: मिळालेली चलाची किंमत दुसऱ्या समीकरणात (ज्यातून किंमत काढली नाही) प्रतिस्थापित करा. यामुळे आपल्याला एका चलातील समीकरण मिळेल.
4. एका चलाची किंमत काढा: मिळालेले एका चलातील समीकरण सोडवून त्या चलाची किंमत काढा.
5. दुसऱ्या चलाची किंमत काढा: मिळालेली किंमत पायरी 2 मध्ये काढलेल्या चलाच्या किंमतीच्या समीकरणात ठेवून दुसऱ्या चलाची किंमत काढा.
6. उकल लिहा: मिळालेली \(x\) आणि \(y\) ची किंमत क्रमित जोडी \((x, y)\) च्या रूपात लिहा.
7. पडताळा (Optional पण महत्वाचे): मिळालेली उकल दोन्ही मूळ समीकरणांमध्ये ठेवून समाधान होते का, हे तपासा.

उदाहरण:

• समीकरण I: \(8x + 3y = 11\)
• समीकरण II: \(3x - y = 2\)

येथे समीकरण II मधून \(y\) ची किंमत काढणे सोपे आहे:

• \(3x - y = 2 \Rightarrow y = 3x - 2\)

आता \(y = 3x - 2\) ही किंमत समीकरण I मध्ये ठेवू:

• \(8x + 3(3x - 2) = 11\)
• \(8x + 9x - 6 = 11\)
• \(17x - 6 = 11\)
• \(17x = 17\)
• \(x = 1\)

आता \(x = 1\) ही किंमत \(y = 3x - 2\) मध्ये ठेवू:

• \(y = 3(1) - 2\)
• \(y = 3 - 2\)
• \(y = 1\)

म्हणून उकल \((1, 1)\) आहे.

सामान्य रूप: \(ax + by + c = 0\)

• येथे \(a, b, c\) या वास्तव संख्या आहेत.
• \(a\) आणि \(b\) एकाच वेळी शून्य नसतात.
• या स्वरूपात समीकरणे दिल्यास, ती सोडवण्यापूर्वी \(ax + by = -c\) किंवा \(ax + by = c'\) या स्वरूपात आणणे सोयीचे ठरते.

उदाहरण: \(3x - 4y - 15 = 0\)

• हे समीकरण सामान्य रूपात आहे.
• याला \(3x - 4y = 15\) असे लिहिल्यास लोप किंवा प्रतिस्थापन पद्धत वापरणे सोपे होते.

समीकरणांचे रूपांतरण:

• काही वेळा समीकरणे अपूर्णांक किंवा दशांश अपूर्णांकांच्या स्वरूपात दिली जातात. अशा वेळी ती पूर्णांक सहगुणकांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक असते.
• अपूर्णांक: समीकरणातील प्रत्येक पदाला छेदांच्या लसाविने गुणा.
• दशांश अपूर्णांक: समीकरणातील प्रत्येक पदाला \(10, 100, 1000\) इत्यादी योग्य संख्येने गुणा.

उदाहरण:

• \(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5\)
• \(3\) आणि \(4\) चा लसावि \(12\) आहे.
• समीकरणाला \(12\) ने गुणल्यास: \(4x + 3y = 60\)
• \(0.2x + 0.3y = 1.3\)
• समीकरणाला \(10\) ने गुणल्यास: \(2x + 3y = 13\)

विशेष प्रकरण:

• जर \(a=0\) असेल, तर समीकरण \(by + c = 0\) किंवा \(by = -c\) असे होते, जे \(y\) अक्षाला समांतर रेषा दर्शवते.
• जर \(b=0\) असेल, तर समीकरण \(ax + c = 0\) किंवा \(ax = -c\) असे होते, जे \(x\) अक्षाला समांतर रेषा दर्शवते.
• दोन्ही \(a\) आणि \(b\) शून्य असू शकत नाहीत, कारण मग ते दोन चलांतील रेषीय समीकरण राहणार नाही.

शाब्दिक उदाहरणे सोडवण्यासाठी खालील पायऱ्यांचा अवलंब करा:

पायऱ्या:

1. उदाहरण काळजीपूर्वक वाचा: उदाहरणातील माहिती आणि काय शोधायचे आहे ते समजून घ्या.
2. चले माना: उदाहरणातील अज्ञात राशींसाठी \(x\) आणि \(y\) ही चले माना. कोणत्या राशीसाठी कोणते चल मानले हे स्पष्टपणे लिहा.
3. अटींवरून समीकरणे तयार करा: उदाहरणात दिलेल्या अटींनुसार दोन रेषीय समीकरणे तयार करा. प्रत्येक अट एका समीकरणात रूपांतरित करण्याचा प्रयत्न करा.
4. समीकरणे सोडवा: तयार झालेली एकसामयिक समीकरणे लोप पद्धत किंवा प्रतिस्थापन पद्धत वापरून सोडवा.
5. उकल तपासा: मिळालेली \(x\) आणि \(y\) ची किंमत मूळ उदाहरणातील अटी पूर्ण करते का, हे तपासा.
6. अंतिम उत्तर लिहा: उदाहरणात विचारलेल्या प्रश्नानुसार स्पष्ट शब्दात उत्तर लिहा.

शाब्दिक उदाहरणांचे प्रकार:

• वयांशी निगडित उदाहरणे: उदा. आई आणि मुलाचे वय, दोन व्यक्तींच्या वयांची बेरीज/फरक.
• संख्यांशी निगडित उदाहरणे: उदा. दोन संख्यांची बेरीज/वजाबाकी, एका संख्येचे दुसऱ्या संख्येशी असलेले नाते.
• अपूर्णांकांवर आधारित उदाहरणे: उदा. अपूर्णांकाचा अंश आणि छेद यांच्यातील संबंध.
• आर्थिक व्यवहारांवर आधारित उदाहरणे: उदा. खरेदी-विक्री, नफा-तोटा, गुंतवणूक.
• भौमितिक आकृत्यांच्या गुणधर्मांवर आधारित उदाहरणे: उदा. आयताची लांबी-रुंदी, परिमिती, क्षेत्रफळ.
• वेग, अंतर, वेळ यांवर आधारित उदाहरणे: उदा. प्रवासाचा वेग, अंतर, लागणारा वेळ.

दोन अंकी संख्यांची उदाहरणे:

• मूळ संख्या: एकक स्थानचा अंक \(x\) आणि दशक स्थानचा अंक \(y\) असल्यास, मूळ संख्या \(10y + x\) असते.
• अंकांची बेरीज: \(x + y\)
• अंकांची अदलाबदल केल्यावर मिळणारी संख्या: \(10x + y\)

उदाहरण: दोन संख्यांची बेरीज 36 आहे. एका संख्येच्या आठ पटीतून 9 वजा केले असता दुसरी संख्या मिळते. त्या संख्या शोधा.

• पायरी 1: पहिली संख्या \(x\) मानू, दुसरी संख्या \(y\) मानू.
• पायरी 2 (समीकरणे):
• \(x + y = 36\) (समीकरण I)
• \(8x - 9 = y\) (समीकरण II)
• पायरी 3 (सोडवणे): समीकरण II मधील \(y\) ची किंमत समीकरण I मध्ये ठेवू (प्रतिस्थापन पद्धत).
• \(x + (8x - 9) = 36\)
• \(9x - 9 = 36\)
• \(9x = 45\)
• \(x = 5\)
• \(x = 5\) ही किंमत समीकरण II मध्ये ठेवू: \(y = 8(5) - 9 = 40 - 9 = 31\)
• पायरी 4 (उत्तर): त्या संख्या 5 आणि 31 आहेत.