सांख्यिकी (Statistics)

माहितीचे वर्गीकरण करणे म्हणजे मोठ्या प्रमाणात उपलब्ध असलेल्या माहितीला सोप्या आणि सुव्यवस्थित पद्धतीने मांडणे. यामुळे माहितीचे विश्लेषण करणे सोपे होते.

वर्गीकृत वारंवारता वितरण सारणीचे प्रकार

माहितीच्या स्वरूपानुसार आणि गरजेनुसार दोन मुख्य पद्धती वापरल्या जातात:

1. समावेशक पद्धती (खंडित वर्ग) (Inclusive Method)

• या पद्धतीत, वर्गाची वरची वर्गमर्यादा पुढील वर्गाच्या खालच्या वर्गमर्यादेपेक्षा वेगळी असते. म्हणजेच, एका वर्गाची वरची मर्यादा पुढील वर्गाच्या खालच्या मर्यादेमध्ये समाविष्ट नसते.
• उदाहरणार्थ: 6-10, 11-15, 16-20.
• या वर्गांमध्ये, 10 हा अंक 6-10 या वर्गात येतो, परंतु 11 हा अंक 11-15 या वर्गात येतो. दशांश अपूर्णांक असलेल्या प्राप्तांकांसाठी ही पद्धत योग्य नाही, कारण ते कोणत्याही वर्गात समाविष्ट होऊ शकत नाहीत (उदा. 10.3).
• वापर: जेव्हा प्राप्तांक पूर्णांक असतात आणि दोन वर्गांच्या मर्यादांमध्ये कोणताही प्राप्तांक येण्याची शक्यता नसते, तेव्हा ही पद्धत वापरली जाते. उदा. बुटाचा क्रमांक, विद्यार्थ्यांची संख्या.

1. असमावेशक पद्धती (अखंडित वर्ग) (Exclusive Method)

• या पद्धतीत, एका वर्गाची वरची वर्गमर्यादा पुढील वर्गाची खालची वर्गमर्यादा असते.
• उदाहरणार्थ: 0-10, 10-20, 20-30.
• येथे, वरची वर्गमर्यादा (उदा. 10) त्या वर्गात समाविष्ट केली जात नाही, तर ती पुढील वर्गात (10-20) समाविष्ट केली जाते.
• नियम: जर प्राप्तांक वर्गाच्या वरच्या मर्यादेइतका असेल, तर तो पुढील वर्गात समाविष्ट केला जातो.
• वापर: जेव्हा प्राप्तांक दशांश अपूर्णांक असू शकतात किंवा जेव्हा माहिती अखंडित स्वरूपात असते, तेव्हा ही पद्धत वापरली जाते. उदा. उंची, वजन, गुण.

वारंवारता वितरण सारणी तयार करण्याचे टप्पे

1. सर्वात लहान आणि सर्वात मोठा प्राप्तांक शोधा: यामुळे माहितीचा विस्तार (Range) समजतो.
2. वर्गांतर निश्चित करा: माहितीचा विस्तार आणि आवश्यक असलेल्या वर्गांची संख्या विचारात घेऊन योग्य वर्गांतर (Class Width) ठरवा.
3. वर्ग तयार करा: निवडलेल्या पद्धतीनुसार (समावेशक किंवा असमावेशक) वर्ग तयार करा.
4. ताळ्ाच्या खुणा (Tally Marks) करा: प्रत्येक प्राप्तांकासाठी योग्य वर्गात एक ताळ्ाची खूण करा. प्रत्येक पाचव्या खुणेसाठी तिरपी रेषा (||||) वापरा.
5. वारंवारता (Frequency) लिहा: प्रत्येक वर्गातील ताळ्ाच्या खुणा मोजून वारंवारता लिहा.
6. एकूण वारंवारता (Total Frequency) काढा: सर्व वर्गांच्या वारंवारतांची बेरीज करा. ही बेरीज एकूण प्राप्तांकांच्या संख्येइतकी असावी.

उदाहरण: समावेशक पद्धती

दिलेले प्राप्तांक: 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 20

सर्वात लहान प्राप्तांक: 6 सर्वात मोठा प्राप्तांक: 20 विस्तार: 20 - 6 = 14

वर्ग: 6-10, 11-15, 16-20

| वर्ग | ताळ्ाच्या खुणा | वारंवारता (f) | | :------ | :------------- | :------------ | | 6 ते 10 | |||| |||| || | 10 | | 11 ते 15| |||| |||| |||| |||| | 20 | | 16 ते 20| |||| |||| |||| |||| |||| | 20 | | N = | | 50 |

उदाहरण: असमावेशक पद्धती

दिलेले प्राप्तांक: 6, 10, 10.3, 11, 15.7, 19, 20, 12, 13

वर्ग: 5-10, 10-15, 15-20, 20-25

| वर्ग (अखंडित) | ताळ्ाच्या खुणा | वारंवारता (f) | | :------------- | :------------- | :------------ | | 5-10 | | | 1 | | 10-15 | |||| | | 5 | | 15-20 | || | 2 | | 20-25 | | | 1 | | N = | | 9 |

सांख्यिकीमध्ये माहितीचे विश्लेषण करण्यासाठी काही मूलभूत संज्ञा समजून घेणे आवश्यक आहे:

1. वर्ग (Class):

• माहितीचे सोईस्कर आकाराच्या गटांना वर्ग असे म्हणतात. उदा. 6-10, 11-15, 0-10, 10-20.
• हे वर्ग माहितीला सुव्यवस्थित करण्यास मदत करतात.

1. वर्गमर्यादा (Class Limits):

• वर्ग दर्शवणाऱ्या संख्यांना वर्गमर्यादा म्हणतात.
• प्रत्येक वर्गाला खालची वर्गमर्यादा (Lower Class Limit) आणि वरची वर्गमर्यादा (Upper Class Limit) असते.
• उदा. 6 ते 10 या वर्गात, 6 ही खालची वर्गमर्यादा आहे आणि 10 ही वरची वर्गमर्यादा आहे.

1. वारंवारता (Frequency):

• प्रत्येक वर्गात जेवढे प्राप्तांक येतात, त्या प्राप्तांकांच्या एकूण संख्येला त्या वर्गाची वारंवारता म्हणतात.
• हे दर्शवते की विशिष्ट वर्गातील प्राप्तांक किती वेळा आले आहेत.
• उदा. 11 ते 15 या वर्गात 20 प्राप्तांक येतात, तर या वर्गाची वारंवारता 20 आहे.

1. वर्गांतर किंवा वर्गअवकाश (Class Width/Size):

• अखंडित वर्ग दिले असताना, लगतच्या दोन वर्गांच्या खालच्या (किंवा वरच्या) मर्यादांतील फरकाला वर्गांतर असे म्हणतात.
• \(वर्गांतर = पुढील वर्गाची खालची मर्यादा - चालू वर्गाची खालची मर्यादा\)
• उदा. 5-10, 10-15, 15-20 असे वर्ग असल्यास, 5-10 या वर्गाचे वर्गांतर = 10 - 5 = 5 आहे.
• समावेशक पद्धतीत, वर्गांतर काढण्यासाठी, आधी असमावेशक वर्गात रूपांतरित करावे लागते, किंवा (वरची वर्गमर्यादा - खालची वर्गमर्यादा + 1) असे सूत्र वापरावे लागते.

1. वर्गमध्य (Class Mark):

• वर्गाच्या खालच्या व वरच्या वर्गमर्यादेच्या सरासरीस वर्गमध्य म्हणतात.
• \(वर्गमध्य = \frac{खालची वर्गमर्यादा + वरची वर्गमर्यादा}{2}\)
• उदा. 11 ते 15 या वर्गाचा वर्गमध्य = \(\frac{11 + 15}{2} = \frac{26}{2} = 13\)
• वर्गमध्य हा त्या वर्गातील प्राप्तांकांचे प्रतिनिधित्व करतो.

वर्गमर्यादा आणि वर्गांतर (समावेशक पद्धतीसाठी)

समावेशक पद्धतीत वर्गमर्यादा आणि वर्गांतर काढताना थोडी काळजी घ्यावी लागते.

उदा. वर्ग: 6-10, 11-15

• या वर्गांसाठी, वास्तविक वर्गमर्यादा (True Class Limits) काढणे आवश्यक आहे.
• पहिल्या वर्गाची वरची मर्यादा (10) आणि दुसऱ्या वर्गाची खालची मर्यादा (11) यांच्यातील फरक 1 आहे. या फरकाचा अर्धा (0.5) घेऊन वर्गमर्यादा समायोजित केल्या जातात.
• 6-10 या वर्गासाठी: खालची वास्तविक वर्गमर्यादा = \(6 - 0.5 = 5.5\), वरची वास्तविक वर्गमर्यादा = \(10 + 0.5 = 10.5\).
• 11-15 या वर्गासाठी: खालची वास्तविक वर्गमर्यादा = \(11 - 0.5 = 10.5\), वरची वास्तविक वर्गमर्यादा = \(15 + 0.5 = 15.5\).
• आता, वर्गांतर = \(10.5 - 5.5 = 5\) किंवा \(15.5 - 10.5 = 5\).
• थोडक्यात, समावेशक पद्धतीत वर्गांतर काढण्यासाठी, (वरची वर्गमर्यादा - खालची वर्गमर्यादा + 1) हे सूत्र वापरता येते. उदा. 10 - 6 + 1 = 5.

संचित वारंवारता म्हणजे विशिष्ट वर्गापर्यंत किंवा त्या वर्गाच्या पुढे किती प्राप्तांक जमा झाले आहेत हे दर्शवते. याचे दोन मुख्य प्रकार आहेत:

1. पेक्षा कमी संचित वारंवारता (Less than Cumulative Frequency)

• एखाद्या विशिष्ट वर्गाची वारंवारता आणि त्या वर्गाच्या आधीच्या सर्व वर्गांच्या वारंवारतांची बेरीज म्हणजे त्या वर्गाची 'पेक्षा कमी' संचित वारंवारता होय.
• ही सारणी प्रत्येक वर्गाच्या वरच्या वर्गमर्यादेपेक्षा कमी असलेल्या प्राप्तांकांची संख्या दर्शवते.
• कसे काढायचे: प्रत्येक वर्गाची वारंवारता मागील वर्गाच्या संचित वारंवारतेमध्ये मिळवा.

उदाहरण: पेक्षा कमी संचित वारंवारता

| वर्ग (गुण) | वारंवारता (f) | पेक्षा कमी संचित वारंवारता | | :--------- | :------------ | :------------------------ | | 0-10 | 2 | 2 | | 10-20 | 12 | 2 + 12 = 14 | | 20-30 | 20 | 14 + 20 = 34 | | 30-40 | 16 | 34 + 16 = 50 |

• अर्थ:
• 10 पेक्षा कमी गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 2
• 20 पेक्षा कमी गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 14
• 30 पेक्षा कमी गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 34
• 40 पेक्षा कमी गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 50

1. पेक्षा जास्त किंवा तेवढीच संचित वारंवारता (Greater than or equal to Cumulative Frequency)

• एखाद्या विशिष्ट वर्गाची वारंवारता आणि त्या वर्गाच्या पुढील सर्व वर्गांच्या वारंवारतांची बेरीज म्हणजे त्या वर्गाची 'पेक्षा जास्त किंवा तेवढीच' संचित वारंवारता होय.
• ही सारणी प्रत्येक वर्गाच्या खालच्या वर्गमर्यादेइतके किंवा त्यापेक्षा जास्त असलेल्या प्राप्तांकांची संख्या दर्शवते.
• कसे काढायचे: एकूण वारंवारतेतून प्रत्येक वर्गाची वारंवारता क्रमाने वजा करत जा (वरून खाली).

उदाहरण: पेक्षा जास्त किंवा तेवढीच संचित वारंवारता

| वर्ग (गुण) | वारंवारता (f) | पेक्षा जास्त किंवा तेवढीच संचित वारंवारता | | :--------- | :------------ | :--------------------------------------- | | 0-10 | 2 | 50 | | 10-20 | 12 | 50 - 2 = 48 | | 20-30 | 20 | 48 - 12 = 36 | | 30-40 | 16 | 36 - 20 = 16 |

• अर्थ:
• 0 किंवा 0 पेक्षा जास्त गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 50
• 10 किंवा 10 पेक्षा जास्त गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 48
• 20 किंवा 20 पेक्षा जास्त गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 36
• 30 किंवा 30 पेक्षा जास्त गुण मिळवणारे विद्यार्थी = 16

केंद्री प्रवृत्ती म्हणजे सांख्यिकीय माहितीतील एक असा गुणधर्म, जिथे माहितीतील बहुतेक प्राप्तांक एका विशिष्ट मूल्याभोवती केंद्रित झालेले दिसतात. हे केंद्रीय मूल्य त्या संपूर्ण माहितीचे प्रतिनिधित्व करते. या केंद्रीय मूल्याला 'केंद्री प्रवृत्तीचे परिमाण' म्हणतात. मुख्य तीन परिमाणे आहेत:

1. मध्य (Mean)

• माहितीतील सर्व संख्यांच्या अंकगणितीय सरासरीला 'मध्य' असे म्हणतात.
• हा सर्वात सामान्यपणे वापरला जाणारा केंद्री प्रवृत्तीचा उपाय आहे.
• अवर्गीकृत माहितीसाठी मध्य:

\(मध्य (\bar{x}) = \frac{माहितीतील सर्व प्राप्तांकांची बेरीज}{माहितीतील प्राप्तांकांची एकूण संख्या}\) \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}\)

• वर्गीकृत माहितीसाठी मध्य (वारंवारता वितरण सारणी):

\(मध्य (\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\) किंवा \(\frac{\sum f_i x_i}{N}\)

• येथे, \(x_i\) म्हणजे वर्गमध्य (Class Mark) आणि \(f_i\) म्हणजे त्या वर्गाची वारंवारता (Frequency).
• \(\sum f_i x_i\) म्हणजे प्रत्येक वर्गाच्या वर्गमध्य आणि वारंवारतेच्या गुणाकारांची बेरीज.
• \(\sum f_i\) किंवा \(N\) म्हणजे एकूण वारंवारता (एकूण प्राप्तांक).

उदाहरण: अवर्गीकृत माहितीचा मध्य

प्राप्तांक: 25, 30, 27, 23, 25 मध्य = \(\frac{25 + 30 + 27 + 23 + 25}{5} = \frac{130}{5} = 26\)

उदाहरण: वर्गीकृत माहितीचा मध्य

| गुण (\(x_i\)) | विद्यार्थी संख्या (\(f_i\)) | \(f_i \times x_i\) | | :------------- | :-------------------------- | :------------------ | | 14 | 1 | 14 | | 15 | 2 | 30 | | 16 | 5 | 80 | | 17 | 2 | 34 | | 20 | 3 | 60 | | 23 | 2 | 46 | | 25 | 3 | 75 | | 30 | 3 | 90 | | 35 | 2 | 70 | | 36 | 2 | 72 | | 37 | 4 | 148 | | 39 | 3 | 117 | | 40 | 3 | 120 | | N = 35 | | \(\sum f_i x_i = 956\) | मध्य \(\bar{x} = \frac{956}{35} \approx 27.31\)

1. मध्यक (Median)

• माहितीतील संख्या चढत्या (किंवा उतरत्या) क्रमाने मांडल्यास, मध्यभागी येणारी संख्या म्हणजे त्या सामग्रीचा मध्यक होय.
• मध्यक काढण्याचे टप्पे:

1. दिलेले प्राप्तांक चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने मांडा.
2. प्राप्तांकांची एकूण संख्या (n) मोजा.
3. जर n विषम असेल: मध्यक हा \((\frac{n+1}{2})\) वा प्राप्तांक असतो.
4. जर n सम असेल: मध्यक हा \((\frac{n}{2})\) वा आणि \((\frac{n}{2} + 1)\) वा प्राप्तांक यांच्या सरासरीइतका असतो.

उदाहरण: विषम संख्या (n) साठी मध्यक

प्राप्तांक: 72, 66, 87, 92, 63, 78, 54 चढता क्रम: 54, 63, 66, 72, 78, 87, 92 येथे n = 7 (विषम). मध्यक = \((\frac{7+1}{2})\) वा = 4 था प्राप्तांक = 72.

उदाहरण: सम संख्या (n) साठी मध्यक

प्राप्तांक: 30, 25, 32, 23, 42, 36, 40, 33, 21, 43 चढता क्रम: 21, 23, 25, 30, 32, 33, 36, 40, 42, 43 येथे n = 10 (सम). मध्यभागी येणारे प्राप्तांक 5 वा (32) आणि 6 वा (33). मध्यक = \(\frac{32 + 33}{2} = \frac{65}{2} = 32.5\)

1. बहुलक (Mode)

• माहितीमध्ये सर्वाधिक वेळा येणारा प्राप्तांक म्हणजे त्या सामग्रीचा बहुलक होय.
• एका माहिती संचाला एक बहुलक (unimodal), दोन बहुलक (bimodal) किंवा अनेक बहुलक (multimodal) असू शकतात. काहीवेळा बहुलक नसतोही.

उदाहरण: बहुलक

प्राप्तांक: 90, 55, 67, 55, 75, 75, 40, 35, 55, 95 चढता क्रम: 35, 40, 55, 55, 55, 67, 75, 75, 90, 95 येथे 55 हा प्राप्तांक सर्वाधिक (3 वेळा) आला आहे. म्हणून बहुलक = 55.

उदाहरण: एकापेक्षा जास्त बहुलक

| वय (वर्षे) | कामगार संख्या | | :--------- | :------------ | | 19 | 5 | | 21 | 15 | | 25 | 13 | | 27 | 15 | | 30 | 7 |

येथे, सर्वाधिक वारंवारता 15 आहे, जी 21 आणि 27 या दोन्ही वयांसाठी आहे. म्हणून बहुलक = 21 आणि 27.